数学北师大版高中5不等式高二期末复习

湘东中学高二数学组丁云广不等式期末复习专题考纲解读1.不等关系.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2.一元二次不等式.(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题.(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式：

≥(a、b≥0).(1)了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.5.理解绝对值的几何意义，并能用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)｜a+b｜≤|a|+|b|;(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|.(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax+b|≤c;②|ax+b|≥c;③|x-a|+|x-b|≥c.6.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.(1)柯西不等式向量形式:|α|·|β|≥|α·β|.(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.(3+>(通常称作三角不等式).7.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：·≥.8.会用向量递归方法讨论排序不等式.9.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.10.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0，n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时，贝努利不等式也成立.11.会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.12.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系a>b①

;a<b②

;a=b③

.2.不等式的性质(1)a>b④

,a<b⑤

(反对称性).(2)a>b,b>c⑥

;a<b,b<c⑦

(传递性).(3)a>ba+c>b+c,故a+b>c⑧

(移项法则).推论:a>b,c>d⑨

(同向不等式相加).a-b>0a-b<0a-b=0b<ab>aa>ca<ca>c-ba+c>b+d(4)a>b,c>0⑩

;a>b,c<0

.推论１:a>b>0,c>d>0

.推论２:a>b>0

.推论３:a>b>0

.3.基本不等式定理1:如果a、b∈R,那么a2+b2≥

(当且仅当a=b时取“＝”号).说明：(1)指出定理适用范围：a、b∈R;(2)强调取“＝”号的条件a=b.ac>bc12131411ac<bcac>bdan>bnnn152ab定理2:如果a,b是正数,那么≥

(当且仅当a=b时取“＝”号).说明：(1)这个定理适用的范围：a,b∈R+;(2)我们称为a,b的算术平均数，称

为a,b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.结论：若x,y∈R+,x+y=S,xy=P,则:如果P是

值，那么当x=y时，S的值最

;如果S是

值,那么当x=y时,P的值最

.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.1617定19小18定20大4.整式不等式的解法:根轴法步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例:①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.5.指数不等式的解法：转化为代数不等式af(x)>ag(x)(a>1)①

;af(x)>ag(x)(0<a<1)②

;af(x)>b(a>0,b>0)f(x)·lga>lgb.6.对数不等式的解法：转化为代数不等式logaf(x)>logag(x)(a>1)③

;logaf(x)>logag(x)(0<a<1)④

.f(x)>g(x)f(x)<g(x)f(x)>0g(x)>0f(x)>g(x)f(x)>0g(x)>0f(x)<g(x)7.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线；不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线.(2)判定不等式Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax+By+C=0的一侧任意取一点(x0,y0),将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式,不等式就表示①

的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的②

平面区域.(3)由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.该点所在一侧另一侧8.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫做③

,由所有可行解组成的集合叫④

；使目标函数取最大值或最小值的可行解叫做⑤

，生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题.可行解可行域最优解线性规划问题一般用图解法,其步骤如下：(1)根据题意，设出变量x、y;(2)找出线性约束条件；(3)确定线性目标函数z=f(x,y);(4)画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；(5)利用线性目标函数作平行直线f(x,y)=t(t为参数)；(6)观察图形，找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.不等式的证明常用的方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.9.比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.10.综合法是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推理方法，也就是“由因导果”的方法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知→可知1→可知２→…→结论”.11.分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法.分析法的思维全貌可概括下面形式：“结论←需知1←需知2←…←已知”.12.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法.13.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大和缩小，借助一个或多个中间量，使得B<B1,B1≤B2,…,B1≤A，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法.14.换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式.用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略.15.构造法：构造二次方程用“Δ”，构造函数用函数单调性，构造图形用数形结合方法.16.不等式与数学各知识点联系紧密，主要有:①运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）；②运用不等式研究方程解的问题；③运用不等式研究几何关系问题（如相切、相交、相离，圆内、圆外）.17.数学有关知识点转化为不等式问题，其转化的途径有：①利用几何意义；②利用判别式；③应用变量的有界性；④应用函数的单调性；⑤应用均值不等式.18.不等式应用题,即创设了一个实际情境,应用数学相关知识来解决问题.在解题中要注意:①读懂题目，收集相关的数据（包括图形、数据、表格）；其次，能理解和把握有关量之间的关系，能用代数式表示出来.②确定数学模型.在有的应用题中，数学模型已经告知，解题时利用模型即可；有的应用题中用自然语言告知了数学模型，用数学语言翻译即成（或用待定系数法确定模型）；有的应用题虽然没有告知数学模型，但这种实际问题可以联想与转化为熟悉的数学问题.③解与不等式有关的数学问题.1.(2009·湖南卷)若x>0,则x+的最小值为

.22.设α∈(0,),β∈［0,］,那么2α-的取值范围是()DA.（0,）B.(-,)C.(0,π)D.(-,π)由题设得0<2α<π,0≤≤,所以-≤-≤0，所以-<2α-<π.3.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是()DA.0B.1C.2D.3由ab>0,bc-ad>0可得出->0,bc-ad>0两边同除以ab,得->0.同样由->0,ab>0,可得bc-ad>0.

bc-ad>0bc-ad>0->0>0由ab>0.故选D.4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中，不恒成立的是（）CA.|a-b|≤|a|+|b|B.a2+≥a+1aC.|a-b|+≥2D.-≤-

C选项|a-b|+≥2，当a-b<0时不成立.运用公式一定要注意公式成立的条件,如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“＝”号)，如果a、b是正数，那么≥(当且仅当a=b时取“＝”号).5.设x、y∈R，a>1，b>1，若ax=by=3，a+b=2,则+的最大值为（）CA.2B.C.1D.由ax+by=3，得x=loga3，y=logb3,+=log3(ab)≤log3()2=1，故选C.在不等式的性质中，要特别注意下面三点：1.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c,这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b后，就误认为能得到a>c.2.同向不等式可相加但不能相减,即由a>b,c>d,可以得出a+c>b+d,但不能得出a-c>b-d.3.不等式两边同时乘以一个数或式时，只有保证该数或式为正，才能得到同向的不等式，若不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正.在基本不等式的应用中，要特别注意下面结论：若x,y∈R+,x+y=S,xy=P,则：(1)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小.(2)如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.(3)当使用均值定理,等号不能成立，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

x+2(x≤0)-x+2(x>0)，则不等式f(x)≥x2的解集是()6.(2008·天津卷)已知函数f(x)=AA.［-1,1］B.［-2,2］C.［-2,1］D.［-1,2］

x+2≥x2-x+2≥x2

x≤0x>0,所以-1≤x≤0或0<x≤1,所以-1≤x≤1.

f(x)≥x2可化为或7.不等式(x-1)≥0的解为()CA.x≥1B.x>1C.x≥1或者x=-2D.x≥－2且x≠１

x+2>0

x-1≥0，所以x=-2或x≥１.原不等式可变为x+2=0或8.不等式2x2+2x-4≤()-4的解集为

.［-4,2］9.不等式(x2-2)log2x>0的解集是()AA.(0,1)∪(,+∞)B.(-,1)∪(,+∞)C.(,+∞)D.(-,)

x2-2>0x2-2<0log2x>0log2x<0,解得x>2或0<x<1.原不等式等价于或1.一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响，注意数形结合.2.解分式不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决.3.无理不等式：转化为有理不等式求解.4.指数不等式与对数不等式：转化为代数不等式求解.

x-3y+6≥0

x-y+2<0表示的平面区域是()10.不等式组B11.若双曲线x2-y2=4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，则表示该区域的不等式组是（）Ax-y≥0x-y≥0x+y≥0x+y≤00≤x≤30≤x≤3x-y≤0x-y≤0x+y≤0x+y≥00≤x≤30≤x≤3A.C.B.D.因为x2-y2=4的两条渐近线为y=±x,如图为所围成的区域，故选A.

x-y≥-1

x+y≤4

y≥2,则目标函数z=2x+4y的最大值为()12.设变量x、y满足约束条件CA.10B.12C.13D.14作出可行域，如图中阴影部分，再作出目标函数的等值线，如图中虚线.由图可知，等值线经过点A(,)时，目标函数取得最大值13.

x≥1

x-y+1≤02x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是

.13.已知实数x、y满足5

x-y+1=0

x=1，得最优解为A(1,2)，所以x2+y2的最小值为5.作出可行域，由14.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积是

.8

|x-1|+|y-1|≤2可化为

x-1≥0x-1≥0

x-1≤0

y-1≥0y-1≤0y-1≥0

x+y-4≤0x-y-2≤0x-y+2≥0或或

x-1≤0

y-1≤0

x+y≥0.其平面区域如图：所以面积S=２××4×2=8.或简单的线性规划问题是高中数学的主干知识，也是近年高考命题的热点，是数形结合思想的载体之一.作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.图解法的实质是数形结合思想的两次运用：第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.此过程可简述为“可行域——直线系——最优解”.15.用反证法证明命题：若a、b、c∈(0,1)，则(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不同时大于，假设正确的是()AA.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于B.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时不大于C.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个大于D.(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至多有两个大于16.四个不相等的正数a、b、c、d成等差数列，则()AA.

>B.<C.=D.≤因为a+d=b+c,所以

=>(b、c互不相等).17.设m≠n，x=m4-m3n,y=n3m-n4,则x,y的大小关系是()AA.x>y

B.x=yC.x<yD.与m,n的取值有关因为x-y=m4-m3n-n3m+n4=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)>0,所以x>y.18.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是()BA.(a+b)(+)≥4B.a3+b3≥2ab2C.a2+b2+2≥2a+2bD.≥-因为a>0,b>0,所以(a+b)(+)≥≥４，故A恒成立；a3+b3≥2ab2,取a=,b=，则B不成立；a2+b2+2-(2a+2b)=(a-1)2+(b-1)2≥0，故C恒成立；若a<b,则≥-恒成立，若a≥b,则-(-)2=2

≥0，所以|a-b|≥a-b,故D恒成立.19.已知m>1,设A=

-

,B=-,则A、B之间的大小关系是

.A<B

A=-=,B=-=.因为m>1,所以+>+,所以A<B.不等式证明的常用方法有：比较法、综合法和分析法.它们是证明不等式的最基本的方法.另外，反证法、换元法、放缩法、函数性质法等也是常用的证明思路.注意以下几点：1.作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，或利用各因式的符号进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断.2.综合法证明不等式时，主要利用重要不等式，函数的单调性及不等式的性质，在严密的演绎推理下导出结论.3.分析法的思路是逆向思维，应注意证题格式.4.放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项,如(a+)2+>(a+)2;②将分子或分母放大(缩小),如<,>,<,>(k∈N,k>1)等.放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.5.换元法是数学中的基本方法，它的应用十分广泛，不仅在不等式的证明中用到它，在其他数学问题的研究中也经常用到它.三角换元法有一定的规律性.问题中含有“x2+y2=R2,x2+y2≤R2,”时可以考虑作“sinα,cosα”代换，尤其是R=1时，这样的代换的优势更为明显，作为这些代换的理论依据是“sin2α+cos2α=1”及“圆x2+y2=R2的参数方程x=Rcosαy=Rsinα.问题中含有“|x|≤1”时，可以考虑设x=sinα或x=cosα,其理论依据是|sinα|≤1，|cosα|≤1.6.在用判别式法时,若二次项系数含字母,往往要按其为零和不为零两种情况分类讨论.20.已知f(x)=-2x+1，对任意的正数ε，使得|f(x1)-f(x2)|<ε成立的一个充分但不必要条件是()CA.|x1-x2|<εB.|x1-x2|<C.|x1-x2|<

D.|x1-x2|>

|f(x1)-f(x2)|=2|x1-x2|<ε的充要条件是|x1-x2|<，所以选C.21.已知方程x2-2x+lg(2a2-a)=0有一正根与一负根，则a的取值范围是()CA.-＜a＜0B.0＜a＜C.-＜a＜0或＜a＜1D.-＜a≤0或≤a＜1lg(2a2-a)<02a2-a<1-<a<12a2-a>0a<0或a>-<a<0或<a<1.22.设M=(-1)(-1)(-1)且a+b+c=1,其中a、b、c∈R+，则M的取值范围是()DA.［０，］B.［,1)C.［1,8)D.［8,+∞)

M=(+)(+)(+)≥2·2·2=8.23.已知△ABC，∠C=90°，a、b、c为三边,则的取值范围是()CA.0<<2B.0<≤C.1<≤D.1≤≤在△ABC中,a+b>c>1.又a2+b2=c2,所以≤=c

≤,所以1<≤.24.已知x∈(0,)，则M=3sin2x+3cos2x的取值范围是()DA.［,3］