数学21-数列的概念与简单表示法第1课时-课件人教A版必修

[数学]21-数列的概念与简单(jiǎndān)表示法第1课时-课件人教A版必修第一页，共44页。第二页，共44页。在日常生活中，我们(wǒmen)经常会遇到如存款利息、购房贷款等与人们生活密切相关的问题．“花明天的钱，圆今天的梦〞是一种新的消费观念．一那么流传很广的小笑话是：一名中国老妇与一名美国老妇在天国相遇，中国老妇说：“我存了一辈子钱，临终时终于买到了一套住房！〞而美国老妇那么说：“我在临终前，终于把分期付款的买房款全部还清了！〞如今，分期付款的方式被越来越多的人接受了．你能明白其中的微妙吗？第三页，共44页。本章通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式的研究．首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种(yīzhǒnɡ)特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法(列表、图象、通项公式、简单的递推公式)．等差数列是从现实生活中的一些实例引入，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式．等差数列的前n项和公式是通过1＋2＋3＋…＋100的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法．第四页，共44页。与等差数列呈现(chéngxiàn)方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂，计算机病毒感染，银行存款利息，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞问题的研究，探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项和，并用错位相减法探索发现等比数列的前n项和公式．第五页，共44页。最后，通过“九连环〞问题的阅读与思考以及“购房中的数学〞的探究与发现，进一步感受数列与现实生活的联系．本章内容设计突出了某些重要的数学思想方法，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及由特殊到一般的思想方法等．本章内容设计表达了现代信息技术的应用．实际(shíjì)学习中可根据具体情况适当地、适度地应用现代教育技术，以做到真正有利于我们的学习，帮助我们认识丰富多彩的大自然，帮助理解数学，提高学习数学的兴趣．第六页，共44页。§2.1数列(shùliè)的概念与简单表示法第七页，共44页。第1课时(kèshí)数列的概念与通项公式第八页，共44页。第九页，共44页。第十页，共44页。1．数列、数列的项：按照排列着的一列数叫做数列，叫做这个(zhège)数列的项．2．数列的通项公式： 与之间的关系可以用一个公式表示，这个(zhège)公式叫做这个(zhège)数列的通项公式．一定(yīdìng)顺序数列(shùliè)中的每个数数列{an}的第n项序号n第十一页，共44页。3．数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}的函数，当自变量 取值时对应(duìyìng)的一列函数值．4．数列可用图象来表示．在直角坐标系中， 来表示一个数列．图象是一些 ，它们位于 ．以序号为横坐标相应(xiāngyīng)的项为纵坐标描点画图孤立的点第一(dìyī)象限、第四象限或x轴的正半轴从小到大依次第十二页，共44页。第十三页，共44页。答案(dáàn)：B第十四页，共44页。解析：逐项验证(yànzhèng)．答案：B第十五页，共44页。解析(jiěxī)：由题意知，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.答案：20第十六页，共44页。4．数列{an}的通项公式为an＝4n＋7，那么数列中三位数的个数有________个．解析(jiěxī)：令100≤an≤999，即100≤4n＋7≤≤n≤248，又n∈N＋，∴24≤n≤248，n∈N＋.故数列中三位数共有248－24＋1＝225个．答案：225第十七页，共44页。5．数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)，问：(1)80、90是不是该数列的项？如果是，是第几项？(2)从第几项开始(kāishǐ)，该数列的项大于10000?解：(1)令n(n＋2)＝80，得n1＝8，n2＝－10(舍)，∴80是数列的第8项．令n(n＋2)＝90，而此方程无正整数解．∴90不是该数列的项．(2)∵a99＝99×101<10000，而a100＝100×102>10000，∴从第100项开始(kāishǐ)，该数列的项大于10000.第十八页，共44页。第十九页，共44页。第二十页，共44页。其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)[分析]由题目可获取以下主要信息：①注意省略号“…〞及其位置；②观察数列的项的变化趋势与规律；③利用数列的通项公式．解答(jiědá)此题要紧扣数列的有关概念完成判断．第二十一页，共44页。[答案(dáàn)](1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)(5)第二十二页，共44页。[点评]假设数列{an}满足an<an＋1，那么是递增数列；假设数列{an}满足an>an＋1，那么是递减数列；假设存在正整数T(T为常数)使an＋T＝an，那么数列的周期(zhōuqī)为T.解答此题应表达出“概念优先〞原那么．第二十三页，共44页。迁移变式1分别(fēnbié)写出下面的数列．(1)正整数1,2,3,4,5，…的倒数顺次构成的数列；(2)0到10的奇数按照从小到大的顺序构成的数列；(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，…顺次构成的数列．第二十四页，共44页。[分析]观察(guānchá)数列的前几项与序号之间的关系，即可写出．第二十五页，共44页。第二十六页，共44页。第二十七页，共44页。[点评]由数列的前几项写出一个通项公式，应尽量(jǐnliàng)防止盲目性，要善于从数值an与序号n之间的对应关系中发现规律，并且写出通项后要进行验证或调整．第二十八页，共44页。第二十九页，共44页。第三十页，共44页。第三十一页，共44页。第三十二页，共44页。[点评]通项公式(gōngshì)直接反映了an与n之间的关系，给出一个数a，可以通过通项公式(gōngshì)来判断数a是否为数列中的项，判断时只要看an＝a是否有正整数解即可．研究数列中项的某些性质时一般利用通项公式(gōngshì)，如由本例(2)的证明可知该数列具有周期性．第三十三页，共44页。迁移变式3数列(shùliè)的通项公式为an＝(n＋1)(n＋2)．假设an＝9900，问an是第几项？解：由an＝(n＋1)(n＋2)得(n＋1)(n＋2)＝9900即n2＋3n－9898＝0(n－98)(n＋101)＝0∴n＝98.第三十四页，共44页。[例4]在数列{an}中，an＝(n＋1) n(n∈N*)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减(dìjiǎn)；(2)求数列{an}的最大项．[分析]∵an＝(n＋1) n是积幂式子的形式，∵an>0，∴可用作商法比较an与an－1的大小．第三十五页，共44页。第三十六页，共44页。[点评]数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调(dāndiào)性的研究方法来研究数列的单调(dāndiào)性，或用证明不等式的方法证明数列的单调(dāndiào)性．第三十七页，共44页。迁移变式4数列(shùliè){an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列(shùliè)中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．第三十八页，共44页。第三十九页，共44页。1．数列的通项公式如果数列的第n项an与n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个(zhège)公式叫做这个(zhège)数列的通项公式．注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．第四十页，共44页。2．数列与函数的关系对任一数列{an}，每一项的序号n与这一项an的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点(guāndiǎn)看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函数值(图1)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…，n，…)有意义，那么可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….第四十一页，共44页。3．数列的表示法从函数观点看，数列