高考数学真题分类训练1（含答案解析）

高考数学真题分类—导数的几何意义

一、选择题(本大题共5小题，共25.0分)

1.函数f(x)的图像在点(1)(1))处的切线方程为()

A.y=-2x-1B.y=-2x4-1C.y=2x-3D.y=2%4-1

2.设函数f(%)=x3+(a-1)/+ax.若/'(%)为奇函数，则曲线y=/(%)在点(0,0)处的切线方程为

()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=%

3,若函数/(X)=Q/+1图象上点(1J(1))处的切线平行于直线y=2x+l,则a=()

A.—1B.0C.~D.1

4

4.曲线y=2sinx+cos%在点(7T.l)处的切线方程为()

A.x—y—n—1=0B.2x—y—2n—1=0

C.2%4-y—2TT+1=0D.x+y—TT+1=0

5.已知曲线y仙，+在点(l,ae)处的切线方程为y=2%+b,则()

A.a=e,6=—1B.a=e,b=1

C.a=2T,6=1D.a=e-1,b=-1

二、填空题(本大题共8小题，共40.0分)

6.曲线y=Inx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为一.

7.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=仇工上,且该曲线在点A处的切线经过点(-劭-l)(e为

自然对数的底数)，则点4的坐标是.

8.在平面直角坐标系X。)，中，P是曲线旷=%+；0>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的

距离的最小值是.

9.曲线y=3(/+x)/在点(0,0)处的切线方程为.

10.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

11.曲线y=21nx在点(1,0)处的切线方程为.

12.曲线y=cosx-:在点(0,1)处的切线方程为.

13.曲线y=(ax+l)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,贝ija=.

三、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

14.(12分)已知函数/(x)=aex-v—Inx+Ina.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若/(x)21,求。的取值范围.

15.已知函数f(x)=/+eR),/'(x)为/'(x)的导函数.

(1)当卜=6时，

(团)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(团)求函数g(x)=f(x)-广。)+：的单调区间和极值；

(II)当kN-3时，求证：对任意的无1，x2G[l,+oo),且%>小，有3^2>驾于2.

/X1—X2

16.已知函数/'(X)=12-%2.

(1)求曲线y=f(x)的斜率等于一2的切线方程；

(2)设曲线y=/(x)在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(0,求S(t)的最小值.

J1

17.已知函数/(x)=(lf-lux+Ina.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1/(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

第2页，共25页

(2)若求。的取值范围.

18.已知函数=1"上一一，-.

(1)讨论f(x)的单调性，并证明/(X)有且仅有两个零点；

(2)设&是/(X)的一个零点，证明曲线y=/nx在点4(久0，仇苑)处的切线也是曲线y=峭的切线.

19.设函数/(x)=[ax2—(4a+l)x+4a+3]ex.

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(l))处的切线与x轴平行，求〃；

(2)若/(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.

20.已知函数f(x)=a*,g(x)=logax,其中a>1.

(1)求函数/i(x)=/(%)-xlna的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)在点Qi,/(无1))处的切线与曲线y=g(x)在点(%2，。(%2))处的切线平行，证明

/、21nlna

xi+g3)=-FT；

(3)证明当a2£时，存在直线/，使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线丫=9。)的切线.

21.已知函数/'(X)=-尤2+X.

(I)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；

(11)当工€[-2,4]时，求证：x-6</(x)<x；

(m)设F(x)=|/(x)-(%+a)|(aeR),记F(x)在区间[-2,旬上的最大值为M(a).当叭a)最小时,

求〃的值.

22.设函数f(x)=[ax2—(3a+l)x+3a+2]ex.

(I)若曲线y=fQ)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a；

(口)若汽乃在x=1处取得极小值，求a的取值范围.

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23.设函数/(x)=(X-G)(X—t2)(x-J)，其中G，t2，13eR，且G，匕2，t3是公差为d的等差数

歹Ij.

(1)若12=0，d=l,求曲线y=f(x)在点(0)(0))处的切线方程；

(11)若£/=3,求/(x)的极值；

(DI)若曲线y=/(%)与直线y=-(x-t2)-6遮有三个互异的公共点，求4的取值范围.

答案与解析

1.答案：B

解析：

本题考查了函数的切线方程，属于基础题.

求出导函数与点(1/(1))的切线斜率，由直线方程的点斜式可得切线方程，即可得解.

解析：

解：先求函数的导函数/'(x)=4炉一6/,

则由函数的几何意义可知在点(1J(D)的切线斜率为k=f(l)=-2.

又因为/(l)=-1,则切线方程为y-(-1)=-2(x-1),

则y--2x+1.

故答案选B.

2.答案：D

解析：

本题考查函数的奇偶性，导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程.

解：函数f(x)=7+(a-1)%2+若/(x)为奇函数，/(—x)=-/(%).

—X3+(a-l)x2—ax=—(x3+(a-l)x2+ax')=—x3—(a—l)x2—ax.

所以：(a—l)x2=—(a—l)x2,

可得a=1,

所以函数/'(x)=4+X,可得r(X)=3*2+1,

曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线的斜率为：1,

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则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程为：y=x.

故选。.

3.答案：D

解析：

本题考查导数的几何意义和两直线平行的条件，属于基础题.

求得函数/(%)的导数，可得切线的斜率，再由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得。的值.

解：函数/(%)=ax2+1的导数为f'(x)=2ax,

可得点(1J(D)处的切线斜率为2a,

由点处的切线平行于直线y=2%+1,

可得2a=2,

解得a=l,

故选：D.

4.答案：C

解析：

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础

题.

求出原函数的导函数，得到函数在X=7T时的导数，再由直线方程点斜式得答案.

解：由y=2sinx+cosx,Wyz=2cosx—sinx,

y'\x=n=2cosn—sinn——2,

二曲线y=2sinx+cosx在点(兀,一1)处的切线方程为y+1=-2(x-兀)，

即2x+y—2兀+1=0.

故选：C.

5.答案：D

解析：

本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，属于基础题.

求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+l+0=2,可得a,进而得到切点，

代入切线方程可得6的值.

解：y=aex+xhix的导数为y'=aex+Inx+1,

由在点(l,ae)处的切线方程为y=2x+b,

可得ae+0+1=2,解得a=e-1,

故切点为(1,1),可得l=2+b,即b=-l.

故选。.

6.答案：2x-y=0

解析：

本题主要考查导数的几何意义，属基础题.

根据导数的几何意义确定切点坐标，再根据直线的点斜式得到切线方程.

解：y=Inx+x+1,[V=1+1

设切点坐标为(&,%)，因为切线斜率为2,所以《+1=2,故和=1,

此时，y()=lnl+2=2,所以切点坐标为(1,2),二y-2=2(x-1)

所以切线方程为2x-y=0.

故答案为：2x—y=0.

7.答案：(e,l)

解析：

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题.

设4(沏,)沏)，利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解加即可.

解：设4(%0，"X0),由y=bix,得y'=：,

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y'\x=x0=则该曲线在点A处的切线方程为y-=^(%-%0)>

,•,切线经过点•••-1-lnx0=-f--1,

即仇'o=5，则％0=e.

XO

•••力点坐标为(e,1).

故答案为：(e,l).

8.答案：4

解析：解：由、=》+沁>0),得、'=1一9，

设斜率为一1的直线与曲线y=x+:(x>0)切于(殉,出+小

4

由1一悬=T,解得配=2(与>0).

曲线y=x+：(%>0)上，点p(VX3&)到直线x+y=0的距离最小，

最小值为岩普=4.

V2

故答案为：4.

利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+：(x>0)的切点，再由点到直线的距离公式求点P

到直线久+y=0的距离的最小值.

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题.

9.答案：y=3x

解析：

本题考查了导数的几何意义，属于基础题.

对y=3(>2+为靖求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程.

解：・・・、=3(%2+%)靖，

.・.yf=3(2X4-l)ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1),

.・,当％=o时，y'-3,

・・・y=3(/+x)e"在点(0,0)处的切线斜率々=3,

・,・曲线y=3(x2+在点(0,0)处的切线方程为：y=3%.

故答案为y=3x.

10.答案：y=2%

解析:

本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考

查运算求解能力.属于基础题.

欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几

何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.

解：Ty=2)(x+1),

-y-z+i*

当x=0时，y'=2,

•••曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,

故答案是y=2x.

11.答案：y=2x-2

解析：

本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考

查运算求解能力.属于基础题.

欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=l的导函数值，再结合导数的几何

意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.

解：Ty=2仇x,

,2

•••y

当x=1时，y'=2,

曲线y=2/nx在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2.

故答案为y=2x-2.

12.答案：x+2y—2=0

解析：

本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义，根据直线的点斜式方程即可得到切线方程.本

题属基础题.

根据对曲线方程求导，然后将x=0代入导数方程得出在点(0,1)处的斜率，然后根据直线的点斜式方

程即可得到切线方程.

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解：由题意，可知：v-siiu--,

,/=-sinO-^=一/

曲线J/(在点(0,1)处的切线方程：y-l=-gx,

整理得：x+2y-2=0.

故答案为：x+2y—2=0.

13.答案：—3

解析：

本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，属于基础题.

利用切线的斜率列出方程求解即可.

解：曲线y=(ax+l)e3可得y'=ae*+(ax+l)e”,

曲线y=(ax+1)/在点(0,1)处的切线的斜率为一2,

可得：a+l=-2,解得a=—3.

故答案为-3.

14.答案：解：(1)当a=e时，f^=ex-lnx+l,

•••f'(x)=〃%

••・/'⑴=e—lf

•//(I)=e+l,

二曲线y=/(%)在点(1J(l))处的切线方程为y一(e+1)=(e-1)(%-1),

当x=0时，y=2,当y=0时，x—

.••曲线y=f(x)在点(1,/(l))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=Tx2x六=g.

(2)方法一：由/*(%)>1,可得ae*T—Inx+Ina>1,&flex~1+lna—Inx+Ina>1,

nlnx

即e"T+'Q+Ina+%—1>Inx+%=e+lnxf

令9(£)=e，+t,

则“(1)=-+1>0,

・•・g(t)在R上单调递增，

•・•g(lna+x-1)>g(lnx)

AIna+%—1>Inx,

即仇Q>Inx—%+1,

令九(X)=Inx—%+1,

，，/、1Y1-X

Ah(%)=——1=——,

xXX

当0<x<1时，h!(x)>0,函数<%)单调递增,

当%>1时,¥(%)<0,函数九。)单调递减，

:./i(x)<九(1)=0,

・•・Ina>0,

a>1,

故a的范围为［l,+oo).

方法二：由/(%)>1可得ae*T-Inx+Ina>1,

即ae*T-1>inx—Ina,

设g(x)=ex-x-

・•・g'(x)=ex-1>0恒成立，

・•・g(x)在(0,+8)单调递增，

:.g。)>g(0)=1—0—1=0,

ex-%-1>0,

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即e”>x+1,

再设九(%)=%—1—Inx,

wi-T

当0<x<l时，h!(x)<0,函数<%)单调递减,

当工>1时，九'(%)>0,函数九(%)单调递增，

・•・九(久)>/i(l)=0,

••x-1—Inx>0,

即％—1>Inx

va>0,

:.e"-i>x,贝iJae'T>ax,

此时只需要证ax>x-Ina,

即证X(Q-1)>-Ina,

当aN1时，

Aa>1,x(a—1)>0>一)a恒成立，

当0<a<1时,x(a—1)<0<—Ina,此时x(a—1)>一仇Q不成立，

综上所述。的取值范围为［1,+00).

方法三：由题意可得工£(0,+8),aE(0,+oo),

r(x)=aex~x—p

易知((%)在(0,+8)上为增函数，

①当0<a<1时，/⑴=a-1<0,=aea-1-a=a(e«-1-1)>0-

二存在%oe(L》使得/'(X。)=0,

当％e(Ln)时，/'(%)<0,函数/(x)单调递减，

・•./(%)</(I)=Q+Ina<a<1,不满足题意，

②当Q>1时，e%T>0,Ina>0,

:./(%)>—Inx,

令9(%)—e*T—Inx,

.・.g，(x)=e-—p

易知g'Q)在(0,+8)上为增函数，

g'(l)=0,

・•・当%6(0,1)口寸，g'(x)<0,函数g(%)单调递减,

当%G(1,+8)时，/(%)>0,函数g(%)单调递增,

Ag(x)>g(l)=1,

即f(%)>1,

综上所述a的取值范围为［1,+00).

方法四：•・•/(%)=ae%T—%>0,a>0,

・•.f(x)=aex-1—i,

易知广㈤在(0,+8)上为增函数,

•・,存在第o£(0,+8),使得/'(%o)=ae*oT-^=0,则ae/T=^,则m。+&-i=一济》。，即

10XQ

Ina=1-x0—lnx0,

当％G(0,&)时，/'(%)<0,函数/(x)单调递减，

当xG(沏,+8)时，/(X)>0,函数/(%)单调递增，

11

XQ1

・•・/(%)>f(x0)=ae~—lnx0+Ina=----lnx04-1—x0—lnxQ=-----2lnxQ+1—x()>1

&x0

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1

：•---2/n%o—XQN0

x0

设g(%)=：-2仇%-%，

易知函数g(x)在(0,+8)上单调递减，月.g(l)=1-0-1=0,

・•・当％G(0,1］时，g(%)>0,

AxE(0,1］时,——2lnx—%o>0,

0xo0

设九(%)=1—x—mx,xG(0,1］,

=-l-i<0恒成立，

九(%)在(0刀上单调递减，

:.九(%)N九(1)=1—1—Ini=0,

当％->0时，h(%)T+8,

・•・Ina>0=Ini,

a>1.

解析：本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的最值的关系，考查了运算求解能力，转化与

化归能力，属于难题.

(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的面积；

(2)方法一：不等式等价于e*T+'n。+Ina+%—1>Inx+%=elnx+Inx,令g(£)=e'+3根据函

数单调性可得仇+再构造函数/i(x)=仇%->+1,利用导数求出函数的最值，即可

求出a的范围；

方法二：构造两个基本不等式e*>%-1,%-1N/》,则原不等式转化为工(Q-1)N-仇a,再分

类讨论即可求出〃的取值范围，

方法三：利用分类讨论的思想，当0＜。＜1,此时不符合题意，当a21时，/-(%)＞-Inx,令

g(x)=e"i—Inx,

再根据导数和函数最值的关系即可证明，

方法四：先根据导数和函数的最值的关系求出/■(x)2/(Xo)=5-2/nXo+l-Xo21，Ina=1-

xo

x0-lnx0,再求出配的范围，再利用导数求1-&-仇X。的范围，即可求出。的范围.

15.答案：解：(/)(i)当k=6时，/(%)=x3+6lnx,

故/'(x)=3x2+=,

"(1)=9,

•."(1)=1,

•••曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线方程为y-1=9(x-l),BP9x-y-8=0.

(ii)g(x)=f(x)-f，(x)+：=/+6/nx-3x2+：,x>0,

g'(x)=37_6x+£—W=3(，T)y+i),

令g'。)=o，解得％=1，

当0<久<1,g'(x)<0,

当%>1,g\x)>0,

・・・函数g(%)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

%=1是极小值点，极小值为g(l)=1,无极大值

证明：(^，由“刈二/+也九%,则/(%)=3/+3，

对任意的%1，x2E[1,+co),且X]>%2，令竟=口t>1,

则(%1—X2)[f'ix1)+f'(x2)]-2[/(%!)-/(x2)]=(#i_&)(3好+2+3以+§-2(婢一球+

以噌，

=%：—%2—3%2%2+3X^%2+&(广一1)—2/c"

=以(#—3t2+3t—1)+k(t———2仇t),(T)

令九(%)=%—：—2"%>1,

当%>1.时，/iz(x)=14-^—1=(1—：)2>o,

・・・九(%)在(1,+8)单调递增,

・•・当t>l,ft(t)>/i(l)=0,BPt-1-2Znt>0,

■:%2-1fI?-3tb2+3t—1=(t—l)?>0,kN—3,

第16页，共25页

%2(t3—3f2+3t—1)+fc(t---2Znt)>t3—•3t2+3t—1—3(t----2/nt)=/-3t2+6lnt+

；T,②,

由(I)(ii)可知当t>1时，g(t)>g(l)

即/—3t2+€>lnt+；>1,(3),

由①②③可得(Xi-(与)+((犯)]一2[/(必)+/(&)]>0,

:当k>一3时，对任意的右,x2e口,+8),且%>x2>有"6)7收)>

NX1—%2

解析：(I)。)根据导数的几何意义即可求出切线方程；

(ii)根据导数和函数单调性极值的关系，即可求出；

(H)要证不等式成立,只要证明(%1-%2)/(%1)+/'。2)]——>0,根据导数和函数

最值的关系，以及放缩法即可证明.

本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，不等式的证明，属于难题.

16.答案：解：(1)/(%)=12-/的导函数,(X)=-2x,

令切点为(m,n),可得切线的斜率为-2m=-2,

••m=19，几=12—1=11,

・・・切线的方程为y=-2x+13：

(2)曲线y=f0)在点(tj(t))处的切线的斜率为k=—2t,

切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),

令％=0,可得)/=12+/，令y=o,可得x=+

=']+[(12+t2),

由S(T)=S(t),可知S(t)为偶函数，

不妨设t>0,则S(t)=：(t+节)(12+t2),

S'(t)=-(3t2+24—殍)=三•(tj)(:+i2),

由S'(t)=0,得t=2,

当t>2时，S'(t)>0,S(t)单调递增；当0<t<2时，S'(t)<0,S(t)单调递减，

则S(t)在t=2处取得极小值，且为最小值32,

所以S(t)的最小值为32.

解析：本题考查导数的运用：求切线的方程和利用导数研究函数的单调性、极值和最值，考查方程

思想和运算能力，属于较难题.

(1)求得/(x)=12-/的导数，设切点为(科2，可得切线的斜率，解方程可得如〃，进而得到切

线的方程；

(2)求得切线的斜率和方程，分别令x=0,y=0,求得切线的横截距和纵截距，可得三角形的面积,

考虑t>0的情况，求得导数和单调区间、极值，然后求出S(t)的最小值.

17.答案：解：团当。=6,/(x)=ex-]nx+1,

1(x)=ex-^,k=八1)=e-l,f⑴=e+l,

所以切线方程为：y—e—1=(e—1)(%—1),

即y=(e-l)x+2,

所以切线在y轴上截距为2,在x轴上的截距为三，

所以三角形的面积S=：x2xW=三.

2e-1e-1

团f(%)=Qe"-i—in%+Ina=elna+x-1—In%4-Ina,

要使f(x)21,只需eina+*T-Inx+lnaN1,

即glna+xT+]na_1>In%,

lnx

即eina+%-i+]na-i4-x>Inx+x=e+In%,

x

令g(%)=e+x9g'(x)=e*+1>0,g(x)递增，

故只需g(na+%-1)>g(lnx),因为g(x)为增函数,

只需证Ina+%-1>Inx,

即Ina>In%4-1—%,

设九(x)=Inx4-1—%,

所以九(%)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,

九。)max=九(1)=0，

所以Ina>0,

a>l,即。的取值范围为[1,+8).

第18页，共25页

解析：本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性问题，属于较难题.

团根据导数的几何意义进行计算即可.

团把条件进行等价转化，利用导数研究函数的单调性、最值，再根据函数的单调性得不等式，求解即

可.

18.答案：解析：(1)函数/(%)="万一号，定义域为：(0,l)U(l,+8)；

X—1

12

广(x)=1+^7>0,(%>0且％力1),

•••/(%)在(0,1)和(1,+8)上单调递增,

①在(0,1)区间取值2，3代入函数，由函数零点的定义得，

♦•"熄)<0,死)>0,呜)"(》<0，

“X)在(0,1)有且仅有一个零点，

②在(1,+8)区间取值e,e2代入函数，由函数零点的定义得，

又•••f(e)<0,/(e2)>0,/(e)-f(e2)<0,

・•・/(x)在(L+8)上有且仅有一个零点，

故f(x)在定义域内有且仅有两个零点；

(2)的是/'(x)的一个零点，则有mXo=黑■，

曲线y=)工,则有y'=3

曲线y=/nx在点4(xo,m处的切线方程为：y—lnx=—x),

0x00

即y=-x-1+ITIXQ,

可得zy=­x+—,

XOXO-1

而曲线y=e”的切线在点(ln^,白)处的切线方程为：y--ln^),即丁二十无+六，

XQXQXQXQXQXQXQ—L

故曲线y=伍x在点A(%o，，nxo)处的切线也是曲线y=e”的切线.

故得证.

解析：本题考查/(©的单调性，函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，以及利用

曲线的切线方程定义证明.

(1)讨论f(x)的单调性，求函数导数，在定义域内根据零点存在性定理求零点个数，

(2)运用曲线的切线方程定义可证明y=在点处的切线方程为y=+—7，曲线

X

OXQ—1

y=1在点(In；1,1；)处的切线方程为y=1^x+-2^-,得证.

1

%oXQXQ%o-

19.答案:解：⑴函数f(%)=[a%?一(4a+i)%+4Q+3]e#的导数为

2x

f'(x)=[ax—(2a+l)x+2]ef

由题意可得曲线y=f(x)在点(l,f(1))处的切线斜率为0,

可得(a-2Q-1+2)e=0,且/(I)=(a+2)e。0,

解得a=l；

(2)/(%)的导数为尸(%)=[ax2—(2a+l)x+2]ex=(%—2)(ax—l)ex,

①当a<0时，则!<2,此时/(x)在弓,2)递增；在(2,+8),(_83)递减，

可得/(x)在x=2处取得极大值，不符题意；

②当a=0时，若x<2,则((x)>0,/(%)递增;若％>2,则((x)<0,/(%)递减,

可得在x=2处取得极大值，不符题意；

③当0<a<：时，则;>2,此时f(x)在(2,今递减；在(，+8),(-8,2)递增，

可得/Q)在x=2处取得极大值，不符题意；

④当a=[时，此时尸(%)=如一2)2^20,f(x)在R上递增，无极值，不符合题意;

日当a>泄，则:<2,此时f(x)在6,2)递减；在(2,+8),(-8,今递增，

可得/(%)在x=2处取得极小值，满足题意.

综上可得，a的取值范围是G，+8).

解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能

力，属于中档题.

(1)求得/(x)的导数，由导数的几何意义，可得(a-2a-l+2)e=0,进行求解即可；

(2)根据题意，分类讨论，进行求解即可.

20.答案：(1)解:由已知,h(x)=ax-xlna,有九'(%)=a""Q—"a,

令h'(%)=0,解得％=0.

由Q>1,可知当x变化时,〃(%),九(%)的变化情况如下表:

X(-00,0)0(0,+8)

"(X)—04-

h(x)极小值/

・・・函数九(%)的单调减区间为(一8,0),单调递增区间为(0,+8);

x

(2)证明：由/(%)=alnaf可得曲线y=/(%)在点(/，/(与))处的切线的斜率为产伍Q.

由“(X)=高，可得曲线V=9(%)在点(%2，。(%2))处的切线的斜率为六•

•••这两条切线平行，故有*伍。=就，即M(lna)2=l,

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两边取以a为底数的对数，得logm++2logalna=0,

21nlna

(3)证明：曲线y=f(x)在点(%i，a*i)处的切线4：y-aX1=aX1lna(x-

曲线y=gO)在点(%2，loga%2)处的切线，2：y-lo9a^2茴。一%2).

要证明当az上时，存在直线/，使/是曲线y=/(x)的切线，也是曲线y=以%)的切线,

只需证明当QZ蓝时，存在/£(一8,+8),%2W(0，+8)使得k与，2重合，

1(aX1lna=©

即只需证明当a2/时，方程组［

X1X1logx-^-@

Ia—x1alna=a2

由①得打二品而，代入②得：

aX1-xaX1lna++-^-+2lnlna=o,③

TxxInaIna

因此，只需证明当az£时，关于看的方程③存在实数解.

设函数u(x)=产一》谈)。+》+*+嘿^,即要证明当a2盛时，函数y="(%)存在零点.

z2xz

u(x)=1—(lna)xa9可知》€(—8,0)时,u(x)>0；%E(0,+8)时,对/(%)求导，易知1(%)单

调递减，

又M(0)=1>0,优扁=1-a而？<0.

2x

故存在唯一的%°,且％o>0,使得优(%。)=0,KP1—(lna)x0a0=0.

由此可得，〃(乃在(一8,&)上单调递增，在(&,+oo)上单调递减，

“(X)在％=Xo处取得极大值〃(%0).

va>.，故仇仇a>-1.

2

'u，uulnalnax0(lna)uinaina

下面证明存在实数6使得〃(t)<0,

由(1)可得Q%N1+XmQ,当力>盍时，有

u(x)<(14-x/na)(l—x/na)+%+4+2l^Lna=—(/na)2%24-%4-1+4-271n

lnalna''lnalna。.

存在实数t,使得u(t)<0.

因此，当a>/时，存在*16(-co,+oo),使得"(xj=0.

二当a之小时，存在直线/，使/是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

解析：本题考查利用导数研究函数单调性，导数的几何意义，考查函数与方程思想，化归思想，考

查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题.

(1)把“X)的解析式代入函数/i(x)=/(x)-xlna,求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由

导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；

(2)分别求出函数y=f(x)在点(久l，f(Xl))处与y=g(x)在点(不，9(&))处的切线的斜率，由斜率相等,

两边取对数可得结论；

(3)分别求出曲线y=/'(x)在点处的切线与曲线y=g(x)在点(X2，loga%2)处的切线方程，把

问题转化为证明当a>/时，存在与e(-00,+oo),x2G(0,+8)使得。与%重合，进一步转化为证明

当a2小时，方程内一匕产m。+勺+高+鬻=0存在实数解.然后利用导数证明即可.

21.答案：解：(I)/'(%)=；尤2-2%+1,

由/''(>)=1得=0,

得与-0,x2-|,

又f(0)=0,6)=另

•••切线方程为：丫:》和丫一段二无一会

即y=%和y="—条

(H)证明：欲证x-64/(X)W%,

只需证-6</(x)-%<0,

令g(x)=f(x)-x=一%2,x6［-2,4］,

则9<x)=|x2-2x=-|).

可知g'(x)在［—2,0)为正，在(0谭)为负，在4］为正，

・•・g(x)在［-2,0)递增，在(0词)递减,在(|,4］递增，

又9(-2)=-6,g(0)=0,=g(4)=0,

-6<g(x)<0,

■■x-6</(%)<x；

3)由(n)可得，

F(x)=|/(x)-(x+a)|

=|/(x)-x-a|

=I。。)-a\

•••在［-2,4］上，-6<g(x)<0,

令t=9(x)，h(t)=|t-a|.

则问题转化为当t6［-6,0］时，h(t)的最大值M(a)的问题了，

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②当a>-3时，M(a)=/i(-6)=|-6-a|=|64-a|,

6+a>3;

当a=-3时，M(a)=h(0)=h(-6)=3,

综上，当M(a)取最小值时a的值为-3.

解析：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查数形结合法，属于中档题.

(I)求导数f'Q),由f'Q)=l求得切点，即可得点斜式方程；

(n)把所证不等式转化为—6Wf(x)-xWO再令g(x)=f(x)-x,利用导数研究g(x)在[一2,4]的

单调性和极值点即可得证；

(皿)先把F(x)化为|g(x)-a],再利用(II)的结论，引进函数九(。=|t—a|,结合绝对值函数的对称

性，单调性，通过对称轴t=a与-3的关系分析即可.

22.答案：解：(I)函数/(*)=[a炉一(3a+1)%+3a+2]e”的导数为

f，(x)=[ax2一(a+l)x+l]ex.

曲线y=f(x)在点(2)(2))处的切线斜率为0,

可得(4a—2a—2+l)e2=0>

解得a=I；

(H)f(x)的导数为/''(x)=[ax2—(a+l)x+l]ex=(x—l)(ax—l)ex,

若a=0,则x<l时，f(x)>0,/(x)递增；

x>1时，f'(x)<0,/(%)递减.

所以x=1处f(x)取得极大值，不符题意；

若a=1,则r(x)=(x-l)2ex>0,f(x)递增，无极值；

若a>l,则!<1，f(x)在(，,1)递减；在(1,+8)递增，

可得/(x)在x=1处取得极小值；

若0<a<l,则｝>1,/(x)在(一8,1)递增；在(1[)递减，

可得/(x)在x=1处取得极大值，不符题意；

若"0,则.<