必修12数学222对数函数及其性质

§2.2.2对数函数及其性质（二）在（0，+∞）上是函数在（0，+∞）上是函数值域：定义域：性质图象

0<a<1

a>1对数函数y=logax的图像和性质

(0，+∞)恒过点（1，0），即当x=1时，y=0增减A答案：[1，2]

[例3]

(8分)求函数y＝log2(x2－4x＋6)的值域．

[思路点拨]

先确定真数的取值范围，再运用对数函数的单调性求解．[解]

∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函数，∴log2(x2－4x＋6)≥log22＝1.

∴函数的值域是[1，＋∞)．

[例3]

(8分)求函数y＝log2(x2－4x＋6)的值域．

[思路点拨]

先确定真数的取值范围，再运用对数函数的单调性求解．跟踪训练1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(

)A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：∵3x＞0，∴3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)>0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．答案：A解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．1．函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响

(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a

越大，图象向右越靠近x轴；0<a<1时，a越小，图象向右越靠近x

轴．

(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．

2．对于对数函数图象性质的助记口诀

对数增减有思路，函数图象看底数.底数只能大于0，等于1来也不行.底数若是大于1，图象逐渐往上升；底数0到1之间，图象逐渐往下降.无论函数增和减，图象都过(1，0)点．课堂练习课后作业[例1]

当0<a<1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象可能是 (

)

[思路点拨]

利用0<a<1时，y＝logax是减函数，y＝a－x是增函数进行判断．

[精解详析]当0<a<1时，a－1>1，因此y＝a－x＝(a－1)x为增函数且图像过(0，1)，y＝logax为减函数且图像过(1，0)，显然只有C符合．

[答案]

C

[一点通]解决这类题型的办法有直接法与排除法．直接法一般是借助函数的定义域、奇偶性、单调性、过定点等特征对函数的图象进行分析进而得解的方法．排除法通常是利用函数的定义域以及图象经过的一些特殊点进行验证的方法．1．已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函数为g(x)，且满足g(2)<0，则函数g(x＋1)的图象是下图中的(

)解析：由y＝ax解得x＝logay，∴g(x)＝logax.又∵g(2)<0，∴0<a<1.故g(x＋1)＝loga(x＋1)是单调递减的，并且图像是由函数g(x)＝logax的图像向左平移1个单位得到的．答案：A2．已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的

(

)解析：y＝loga(－x)只可能在左半平面，故排除A，C.再看单调性，y＝ax的单调性与y＝loga(－x)的单调性正好相反，又排除D.答案：B

[例2]

比较下列各组数的大小：

(1)log2π与log20.9；

(2)log20.3与log0.20.3；

(3)log0.76，0.76与60.7；

(4)log20.4，log30.4.

[思路点拨]

观察各组数的特征，利用对数单调性比较大小．

[精解详析]

(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π>0.9，所以log2π>log20.9.

(2)因为log20.3<log21＝0，log0.20.3>log0.21＝0，所以log20.3<log0.20.3.

(3)因为60.7>60＝1，0<0.76<0.70＝1，又log0.76<log0.71＝0，所以60.7>0.76>log0.76.

(4)底数不同，但真数相同.根据y＝logax的图象在a>1，0<x<1时，a越大，图象越靠近x轴(如图所示)，知log30.4>log20.4.

[一点通]

利用函数的单调性可进行对数大小的比较，常用的方法有

(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数的单调性比较．

(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为－1，0，1等．

(3)底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较．3．若a＝log0.23，b＝log0.2e，c＝log0.20.3，则(

)A．a>b>c

B．a<b<cC．a>c>b D．c>a>b解析：∵0.3<e<3，且y＝log0.2x在(0，＋∞)上是减函数，∴c>b>a.答案：B答案：C

(4)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，∴loga3<loga10.当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，∴loga3>loga10.[一点通]

1．求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间一般有如下几个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性；(3)判断出函数的增减性求出单调区间．2．函数y＝f[g(x)]的里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)单调性之间的关系见下表：函数单调性y＝f(μ)增函数增函数减函数减函数μ＝g(x)增函数减函数增函数减函数y＝f[g(x)]增函数减函数减函数增函数可简记为“同增异减”．解析：f(x)的图象如图所示，由图象可知