中考数学高频考点突破-+-圆的综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的综合1．如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得．(1)求证：是的切线；(2)若是的中点，，求的长．2．如图，为的内接三角形，，垂足为D，直径平分，交于点F，连结．(1)求证：；(2)若，求的长；3．如图，中，，点为上一点，以点为圆心，为半径的与相切于点，交延长线于点．(1)求证：．(2)若，求的长．4．如图，是⊙O的直径，弦，P为弧上一点，分别与直线交于M、N，延长至点E，使得．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，求的长．5．如图，，，点O在上，交延长线于点D，，以点O为圆心，为半径作圆．(1)求证：是的切线；(2)已知，，求的长.6．如图，与交于D，E两点，是直径且长为12，．(1)证明：；(2)若，求的长度．7．如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求半径与线段的长．8．如图，在中，，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交于点D，作直径，连接并延长交AC于点G，连接，，此时．(1)求证：；(2)当F为的中点且时，求⊙O的直径长．9．如图，在中，，分别以，，为直径作半圆围成两月牙形，过点作分别交三个半圆于点，，．(1)连接、，求证四边形为矩形；(2)若，，求阴影部分的面积．10．如图所示，，为⊙O的直径，、分别交⊙O于E、D，连结、．(1)求证：；(2)若，，求的长．11．如图，以的一边为直径作，与边的交点恰好为的中点D，过点D作的切线交于点E．(1)求证：；(2)若，求的值．12．如图，在中，，点D在上，，过A、D两点的圆的圆心O在上．(1)判断所在直线与的位置关系，并证明你的结论；(2)若，，求图中由、、围成阴影部分面积．13．如图，A、B是上的两点，过O作的垂线交于C，交于E，交的切线于D．(1)求证：；(2)当时，求及的长．14．如图，是的外接圆，平分，交于点F，交于点D，平分，交于点E，连接．(1)求证：；(2)若点A是的中点，求证：．15．如图，点O在的BC边上，经过点A、C，且与BC相交于点D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知．(1)求证：AB是的切线；(2)若，，求的值．16．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为6，，求的长．17．如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明：(1)是的角平分线；(2)．18．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．(1)若，求的度数；(2)若，，求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，与交与点，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；（2）通过延长交于点，连接、，可判断出．根据是的中点，，即可求出答案．【解析】（1）证明：连接，，与交与点，如图，，，，∽，，，．．，，，．，，，．．为的半径，是的切线．（2）解：延长交于点，连接，是的直径，，．，．，．．，∽．．．是的中点，，，．，．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．2．(1)见解析；(2)3．【分析】（1）由角平分线的定义得，由圆周角定理得，然后利用余角的性质即可证明结论成立；（2）过点F作于点M．则，通过证明可得，设，则，利用勾股定理可求解的值，再结合角平分线的性质可求解．【解析】（1）∵平分，∴，∵为的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）如图，过点F作于点M，则，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，设，则，∴，∵＝，∴，解得，即，∵平分，，∴．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分的性质等知识，熟练掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出为的角平分线，得到，根据余角的性质和角的代换可得到结论；（2）由第（1）问角度相等可知，通过设半径为，表示出，根据相似比例解出的值即可．【解析】（1）证明：连接，∵，是的切线，∴是的切线，，∵，∴是的角平分线，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，（2）解：，∴，，，，即，∴，设半径为，则，，，，，，，，．【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握角平分线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．(1)见解析(2)【分析】（1）作直径，连接，证明，通过等量代换求出，即可证明．（2），通过角的关系求出，再根据三角形相似三角形的相似比求出，即可解得．【解析】（1）证明：作直径，连接，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是⊙O的切线；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，

∴．【点评】此题考查了圆的切线判定、三角形相似，解题的关键是做辅助线构造图形．5．(1)见解析(2)【分析】（1）作，垂足为E，根据垂直定义可得，再利用等角的余角相等可得，从而可得，然后利用角平分线的性质定理得出，即可解答；（2）先在中，利用勾股定理求出，，进而利用勾股定理进行计算即可解答．【解析】（1）证明：作，垂足为E，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∵，∵是半径，∴是的切线；（2）解：∵，，，∴，∴，在中，，∴，在中，设半径为R，∵，∴，∴，∴在中，【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形的内角和定理和圆内接四边形的性质可得，从而证明结论；（2）设，则，根据勾股定理可得，代入即可得出方程，从而解决问题．【解析】（1）证明：∵四边形内接于，∵，∴，∵，∴；（2）解：连接，由（1）得，∴，∵是直径，∴，设，则，∵，∴，解得：，∴．【点评】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．7．(1)见解析；(2)，【分析】(1)连接，证明即可．(2)连接，根据，得到计算即可．根据，列比例式计算即可．【解析】（1）连接，∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴直线是的切线．（2）连接，根据，∴，∴，解得．∵，∴．∴．【点评】本题考查了切线的证明，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握切线的证明，勾股定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．8．(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据，推出垂直平分，于是得到；（2）根据直角三角形的性质得到，求得，得到，求得，，于是得到结论．【解析】（1）证明：如图，连接，∵是⊙O的直径，∴，∵，∴，∵，∴是⊙O的直径，∴垂直平分，∴；（2）解：∵当F为的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴⊙O的直径长为2．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理、含角的直角三角形的性质、圆周角性质等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由直径所对的圆周角是，再结合平行线的性质，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明即可得证；（2）对于不规则阴影部分面积可以看成是以、为直径的两个半圆的面积加上一个的面积减去一个以为直径的半圆的面积，求出相应线段长，从而得到各个规则图形面积求解即可得到答案．【解析】（1）证明：连接、，如图所示：是直径，，是直径，，，，，四边形是矩形；（2）解：四边形是矩形，，是直径，，，，，，，，，，，直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积．【点评】本题考查矩形的判定及不规则图形面积的计算，涉及圆周角定理的推论、平行线性质、矩形判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理及扇形面积公式等知识，求不规则阴影部分的面积要间接看作是几个规则图形的面积的和或差是解决问题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，就是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出，根据圆周角定理即可得出弧=弧，便可证得．（2）由于，那么就是三角形中边上的高，可用面积的不同表示方法得出．进而求出的长．【解析】（1）如图，连接，则，在等腰三角形中，，∴（等腰三角形三线合一），∴弧=弧，∴；（2）∵，，∴根据勾股定理得：，∵，∴，∴．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等．11．(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，可以证得，根据三角形中位线定理证明，根据平行线的性质证明；（2）利用，求出与的比值，再根据正切的定义计算即可．【解析】（1）证明：连接，∵D是的中点，，∴是的中位线，∴，∵是的切线，∴，∴．（2）解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，解得：(舍去)，∴．【点评】本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出与的比值．12．(1)直线与的位置关系是相切，证明见解析(2)【分析】（1）连接、，证明，根据切线的判定推出即可；（2）分别求出扇形和的面积，根据即可求出答案．【解析】（1）证明：直线与的位置关系是相切，理由如下：连接、，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为半径，

∴是的切线．（2）解：∵是直径，∴，∵，，∴，，∵，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，

∴，由勾股定理得：，∴阴影部分的面积．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，含30°的直角三角形的性质，扇形的面积，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．13．(1)见解析(2)【分析】（1）要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以得到，结论得以证明；（2）根据（1）中的结论和勾股定理可以求得及的长．【解析】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴设，则，解得，，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查切线的性质，解答此类题目的关键是明确题目中所要证明的结论和所要解答的问题，然后根据数形结合和勾股定理的相关知识解答．14．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用角平分线平分角以及三角形外角的性质，得到，即可得证；（2）根据等弧对等弦，得到，证明，得到，再根据等角对等边，得到，即可得到．【解析】（1）证明：如图∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，即；（2）证明：∵点A是的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点评】本题考查圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，以及等弧对等弦，证明三角形全等，是解题的关键．15．(1)见解析(2)【分析】（1）连接、，利用“连半径，证垂直”只需证出即可；（2）设的半径为r，根据勾股定理求出，在中，继续利用勾股定理得出，再由正弦函数的定义求解即可．【解析】（1）证明：连接、，∵点是下半圆弧的中点，过，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，即，∵为半径，∴是的切线；（2）解：设的半径为r，∵，，∴，由（1）得，由勾股定理得：，∴，解得：或（不符合题意，舍去），∴．在中，，∴∴，∴．【点评】此题考查的是切线的判定和求一个角的锐角三角函数值，勾股定理解三角形等，掌握“连半径，证垂直”和利用直角三角形求一个角的锐角三角函数值是解决此题的关键．16．(1)证明见解析(2)6【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理即可证得结论；(2)过点O作于F，根据矩形的判定与性质，可得，，根据勾股定理求出，根据勾股定理计算，即可得到答案．【解析】（1）证明:如图：连接，，的外接圆为，是的直径，，，平分，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：如图：过点O作于点F，四边形是矩形，，，，，【点评】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．17．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）欲证明，只要证明≌即可．【解析】（1），，是的切线，，，，，，平分．（2）连接．是直径，，，，，，，，≌，．解法二