5.巧用直线与圆的位置关系解题资料

# C推出52-r2=（丫亍>-（5-r）2，求出r，证△DPB^ACPA，得出CP=AP,代入求出PB即PDBP可；（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN,作OE±MN,求出OE<r，求出r范围，再根据相离得出r<5,即可得出答案解答：(1)AB=AC理由如下：连接OB•・•AB切。O于B,OA±AC,AZOBA=ZOAC=90AZOBP+ZABP=90°，/ACP+ZCPB=90°OP=OB,AZOBP=ZOPBVZOPB=ZAPC,AZACP=ZABCAAB=AC(2)延长AP交。O于D，连接BD,设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r,PA=5—r又VPC=2<5,AAB2=OA-OB=52-r2,AC2=PC-PA2=Q；5")-(5-r)2由(1)AB=AC得52—r2=Qv5)-6—r)2,解得：r=3AAB=AC=4VPD是直径，AZPBD=90°=ZPACVZDPB=ZCPA,AADPB^ACPAoACP=理，即2^=—，解得PB=6^5PDBP6BP 5（3）作线段AC的垂直平分线MN,作OE±MN,则UOE=-AC=-AB=1<52-r22 2 21: 又V圆O要与直线MN交点，AOE=-<52-r2Wr,2Ar三.芯又V圆O与直线l相离，Ar<5A0O的半径r的取值范围为、.5Wr<5.竞赛连接例7（2012年全国初中数学竞赛）如图，OO的内接四边形ABCD中，AC,BD是它的对角线，AC的中点I是^ABD的内心.求证：（1）OI是^IBD的外接圆的切线;（2）AB+AD=2BD.

解答：（1）根据三角形内心的性质及圆周角定理可知ZCID=2ZBAD=2ZBDA=ZCDI,•・CI=DI同理，CI=CB.•.点C是^IBD的外心连接OA,OC,VI是AC的中点，且OA=OC,•.OI±AC，即OI±CI•・OI是^IBD的外接圆的切线（2）设CI交BD于点E，：BC=CD,•・ZBDC=ZDAC,AAADC^ADEC,,ACAD•・'=——VAC=2CI，\AC=2CD，\AD=2DECDDE同理，AB=2BE・•・AB+AD=2BE+2DE=2BD.跟踪训练如图，矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm,点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作。O,点F为。O与射线BD的公共点，连接EF、CF,过点E作EG±EF,EG与。O相交于点G,连接CG.(1)试说明四边形EFCG是矩形.(2)当。O与射线BD相切时，点E停止移动在点E移动的过程中，①矩形EFGC的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值;若不存在，说明理由;提示：(1)只要证到有三个角是90°即可；(2)①由于提示：(1)只要证到有三个角是90°即可；(2)①由于S矩形ABCD=EF*CF=£CE2,然后只需求出CE的范围就可求出S矩形加⑺的范围；②根据圆周角定理和矩形的性质可证到ZGDC=ZFDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可.解答：（1）VCE为。O的直径，・•・/CFE=ZCGE=90°,VEG±EF,AZGEF=90°,.,.四边形EFCG为矩形.（2）①VZFCE与ZADB所对的弧都是EF,.ZFCE=ZADB,.tanZFCE=tanZADB,即AB=空=-，.EF=-CE,CF=4CE，,S ~=EF・CFADCF4 5 5 矩形EFCG=12CE2,・,.当CE=AC=5cm时，S =12cm2；当CE=CD=3cm时，S =108cm2.25 最大值 最小值25②如答图，连接DG,并延长DG交BC的延长线于点G.

,/ZGDC=//D£=定值，.••点G的移动路线为线段DG,起点为D，终点为G./ZGDC=Z