经济数学第讲函数极限概念

经济数学第讲函数极限概念第1页，共71页，2023年，2月20日，星期四函数的极限与连续性第一节函数的极限与性质三.极限定义及定理小结四.函数极限的基本性质第2页，共71页，2023年，2月20日，星期四由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数,所以,可望将数列的极限理论推广到函数中,并用极限理论研究函数的变化情形.的图形可以看出:如何描述它？第3页，共71页，2023年，2月20日，星期四有问题没有？好像没有问题.第4页，共71页，2023年，2月20日，星期四定义想想：如何从几何的角度来表示该定义？第5页，共71页，2023年，2月20日，星期四第6页，共71页，2023年，2月20日，星期四将图形对称过去后,你有什么想法?将图形对称第7页，共71页，2023年，2月20日，星期四定义第8页，共71页，2023年，2月20日，星期四现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第9页，共71页，2023年，2月20日，星期四你能否由此得出一个极限的定义和一个重要的定理.现在从整体上来看这个图形,你有什么想法?第10页，共71页，2023年，2月20日，星期四定义第11页，共71页，2023年，2月20日，星期四由于|x|>X>0x>X

或x<X,所以,x

按绝对值无限增大时,又包含了x的情形.既包含了x+,第12页，共71页，2023年，2月20日，星期四定理及极限的三个定义即可证明该定理.由绝对值关系式:第13页，共71页，2023年，2月20日，星期四证成立.由极限的定义可知:例1第14页，共71页，2023年，2月20日，星期四解无限缩小,可以小于任意小的正数.因而应该有下面证明我们的猜想:证明过程怎么写？例2第15页，共71页，2023年，2月20日，星期四这里想得通吗？第16页，共71页，2023年，2月20日，星期四由图容易看出：分析需要证明之处请同学们自己先证一下.例3第17页，共71页，2023年，2月20日，星期四证第18页，共71页，2023年，2月20日，星期四证第19页，共71页，2023年，2月20日，星期四例4证第20页，共71页，2023年，2月20日，星期四

x

x0

时函数的极限,是描述当x无限接近

x0

时,

函数f(x)的变化趋势.第21页，共71页，2023年，2月20日，星期四f(x)在点x0=0处有定义.函数f(x)在点x0=1处没有定义.例5第22页，共71页，2023年，2月20日，星期四第23页，共71页，2023年，2月20日，星期四((第24页，共71页，2023年，2月20日，星期四定义第25页，共71页，2023年，2月20日，星期四[注意]为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。反例第26页，共71页，2023年，2月20日，星期四证这是证明吗？非常非常严格！例6第27页，共71页，2023年，2月20日，星期四证例7第28页，共71页，2023年，2月20日，星期四证？如何处理它例8第29页，共71页，2023年，2月20日，星期四这里|x+2|没有直接的有界性可利用,但又必须设法去掉它.因为x1,所以,从某时候开始x

应充分地接近1.(

)0x21111+1••••••••••分析结论第30页，共71页，2023年，2月20日，星期四证证毕例8第31页，共71页，2023年，2月20日，星期四观察知[证]证毕例第32页，共71页，2023年，2月20日，星期四在极限定义中：1)

与

和x0有关,即=

(

,x0).一般说来,

值越小,相应的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要对任意的>0,同时也要对x

x0以任何方式进行都成立.3)函数f(x)以a为极限,但函数f(x)本身可以不取其极限值a.第33页，共71页，2023年，2月20日，星期四y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲线只能从该矩形的左右两边穿过第34页，共71页，2023年，2月20日，星期四考虑两个问题.第35页，共71页，2023年，2月20日，星期四y=ay=a

y=axOyx0x0+

函数在x0的左边可以无定义想想这种情形下,函数有极限吗?如何描述这种情形？第36页，共71页，2023年，2月20日，星期四想想这种情形下,函数有极限吗?y=ay=a

y=axOyx0x0

函数在x0的右边可无定义如何描述这种情形？第37页，共71页，2023年，2月20日，星期四3.函数的左、右极限定义第38页，共71页，2023年，2月20日，星期四定义第39页，共71页，2023年，2月20日，星期四(1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一：第40页，共71页，2023年，2月20日，星期四y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解例9第41页，共71页，2023年，2月20日，星期四y=ay=a

y=axOyx0x0+

y=ay=a

y=aOyx0x0

对此有什么想法没有？“左右重合”第42页，共71页，2023年，2月20日，星期四定理利用|xx0|<

<xx0<和极限的定义,即可证得.第43页，共71页，2023年，2月20日，星期四例第44页，共71页，2023年，2月20日，星期四解例10第45页，共71页，2023年，2月20日，星期四解例11第46页，共71页，2023年，2月20日，星期四例12证第47页，共71页，2023年，2月20日，星期四三、极限定义及定理小结第48页，共71页，2023年，2月20日，星期四极限定义一览表目标不等式过程描述度量极限形式第49页，共71页，2023年，2月20日，星期四重要定理—极限存在的充要条件第50页，共71页，2023年，2月20日，星期四第51页，共71页，2023年，2月20日，星期四第52页，共71页，2023年，2月20日，星期四函数极限几何意义第53页，共71页，2023年，2月20日，星期四()()第54页，共71页，2023年，2月20日，星期四在以后的叙述中,如果函数f(x)极限的某种性质与运算对任何一种极限过程均成立,则将使表示对任意一种极限过程的函数用符号四、函数极限的基本性质极限.函数极限的性质与数列极限的性质类似,我们只列举出来,其证明过程请同学们自己看书.第55页，共71页，2023年，2月20日，星期四2.有界性定理若limf(x)存在,则函数f(x)在该极限过程中必有界.1.唯一性定理若limf(x)存在,则极限值必唯一.3.保号性定理极限值的正负与函数值正负的关系函数值的正负与极限值正负的关系第56页，共71页，2023年，2月20日，星期四极限的性质的证明性质1:（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的.第57页，共71页，2023年，2月20日，星期四性质2:（有界性）函数极限如果存在，则函数一定有界(局部).第58页，共71页，2023年，2月20日，星期四性质3:（保号性）第59页，共71页，2023年，2月20日，星期四注意:f(x)>0推不出极限A>0.第60页，共71页，2023年，2月20日，星期四性质4:（函数极限与数列极限的关系）[证明]必要性根据假设第61页，共71页，2023年，2月20日，星期四第62页，共71页，2023年，2月20日，星期四第63页，共71页，2023年，2月20日，星期四性质5第64页，共71页，2023年，2月20日，星期四极限值的正负与函数值正负的关系该定理也称为第一保号性定理第65页，共71页，2023年，2月20日，星期四极限值正负与函数值正负关系的推论作辅助函数F(x)=f(x)c再利用定理的结论即可得证.第66页，共71页，2023年，2月20日，星期四函数值的正负与极限值正负的关系该定理也称为第二保号性定理第67页，共71页，2023年，2月20日，星期四第二保号性定理成立.运用反证法,设f(x)0

(f(x)0)时,有a<0(a>0),则由第一保号性定理将推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,该矛盾就证明了第68页，共71页，2023年，2月20日，星期四注意:当f(x)>0

(f(x)<0)时,按照第二保号性定理也只能得到a0(a0)结论.第69页，共71页，2023年，2月20日，星期四例13第70页，共71页，2023年，2月20日，星期四函数值正负与极限值正负关系的推论若极限limf(x)=a,