高考数学大一轮复习两角和与差的正弦余弦正切公式理苏教版

高考数学大一轮复习两角和与差的正弦余弦正切公式理苏教版第1页/共114页基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分第2页/共114页1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

(C(α－β))；cos(α＋β)＝

(C(α＋β))；sin(α－β)＝

(S(α－β))；sin(α＋β)＝

(S(α＋β))；cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ第3页/共114页2.二倍角公式sin2α＝

；cos2α＝

＝

＝

；2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α第4页/共114页3.在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如T(α±β)可变形为tanα±tanβ＝

，tan(α±β)(1∓tanαtanβ)第5页/共114页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.(

)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(

)√××第6页/共114页√√返回(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(

)第7页/共114页题号答案解析12341

Enter第8页/共114页解析∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx，∴f(x)的最大值为1.第9页/共114页题型一三角函数公式的基本应用例1

(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为

.解析答案思维升华第10页/共114页由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.题型一三角函数公式的基本应用例1

(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为

.解析答案思维升华第11页/共114页题型一三角函数公式的基本应用例1

(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为

.由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2.－3解析答案思维升华第12页/共114页三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.题型一三角函数公式的基本应用例1

(1)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为

.－3解析答案思维升华第13页/共114页解析答案思维升华第14页/共114页解析答案思维升华第15页/共114页解析答案思维升华第16页/共114页解析答案思维升华第17页/共114页三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.解析答案思维升华第18页/共114页跟踪训练1又∵sin2α＋cos2α＝1，第19页/共114页跟踪训练1第20页/共114页第21页/共114页第22页/共114页题型二三角函数公式的灵活应用解析答案思维升华例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为

.第23页/共114页题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为

.原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.解析答案思维升华第24页/共114页原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为

.解析答案思维升华第25页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为

.解析答案思维升华第26页/共114页解析答案思维升华第27页/共114页解析答案思维升华第28页/共114页解析答案思维升华第29页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.解析答案思维升华第30页/共114页解析答案思维升华第31页/共114页解析答案思维升华第32页/共114页解析答案思维升华第33页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.解析答案思维升华第34页/共114页第35页/共114页cosα第36页/共114页解析

因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，第37页/共114页第38页/共114页解析答案思维升华题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.第39页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第40页/共114页∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第41页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第42页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第43页/共114页1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第44页/共114页(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第45页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3

(1)已知α，β均为锐角，且sinα＝

，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝

，cosβ＝

.解析答案思维升华第46页/共114页解析答案思维升华第47页/共114页解析答案思维升华第48页/共114页解析答案思维升华第49页/共114页1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；解析答案思维升华第50页/共114页(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.解析答案思维升华第51页/共114页解析答案思维升华第52页/共114页又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β).第53页/共114页于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]第54页/共114页＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα第55页/共114页第56页/共114页第57页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第58页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系.(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第59页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第60页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第61页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第62页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第63页/共114页思维点拨解析温馨提醒第64页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系.(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第65页/共114页即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，思维点拨解析温馨提醒第66页/共114页思维点拨解析温馨提醒第67页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第68页/共114页思维点拨解析温馨提醒第69页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系.(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第70页/共114页思维点拨解析温馨提醒第71页/共114页思维点拨解析温馨提醒第72页/共114页∴2α为第三象限角，思维点拨解析温馨提醒第73页/共114页∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，思维点拨解析温馨提醒第74页/共114页思维点拨解析温馨提醒第75页/共114页思维点拨解析温馨提醒第76页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第77页/共114页思维点拨解析温馨提醒第78页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系.(3)可以利用sin2α＋cos2α＝1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第79页/共114页思维点拨解析温馨提醒第80页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧.返回思维点拨解析温馨提醒第81页/共114页方法与技巧第82页/共114页方法与技巧2.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.第83页/共114页失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.返回2.在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝

所对应的角α＋β不是唯一的.第84页/共114页23456789101第85页/共114页23456789101第86页/共114页23456789101第87页/共114页34567891012第88页/共114页24567891013∵tanα＝4，第89页/共114页235678910144.(2013·重庆)4cos50°－tan40°＝

.第90页/共114页23467891015－1第91页/共114页23457891016第92页/共114页7.已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝

.23456891017解析根据已知条件：cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，cosβ(cosα－sinα)＋sinβ(cosα－sinα)＝0，即(cosβ＋sinβ)(cosα－sinα)＝0.又α、β为锐角，则sinβ＋cosβ>0，∴cosα－sinα＝0，∴tanα＝1.1第93页/共114页234