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文档简介
高考数学大一轮复习两角和与差的正弦余弦正切公式理苏教版第1页/共114页基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分第2页/共114页1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
(C(α-β));cos(α+β)=
(C(α+β));sin(α-β)=
(S(α-β));sin(α+β)=
(S(α+β));cosαcosβ-sinαsinβsinαcosβ-cosαsinβsinαcosβ+cosαsinβ第3页/共114页2.二倍角公式sin2α=
;cos2α=
=
=
;2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第4页/共114页3.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T(α±β)可变形为tanα±tanβ=
,tan(α±β)(1∓tanαtanβ)第5页/共114页思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(
)(2)在锐角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不确定.(
)√××第6页/共114页√√返回(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(
)第7页/共114页题号答案解析12341
Enter第8页/共114页解析∵f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)-φ]=sinx,∴f(x)的最大值为1.第9页/共114页题型一三角函数公式的基本应用例1
(1)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为
.解析答案思维升华第10页/共114页由根与系数的关系可知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2.题型一三角函数公式的基本应用例1
(1)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为
.解析答案思维升华第11页/共114页题型一三角函数公式的基本应用例1
(1)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为
.由根与系数的关系可知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=2.-3解析答案思维升华第12页/共114页三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.题型一三角函数公式的基本应用例1
(1)设tanα,tanβ是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为
.-3解析答案思维升华第13页/共114页解析答案思维升华第14页/共114页解析答案思维升华第15页/共114页解析答案思维升华第16页/共114页解析答案思维升华第17页/共114页三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.解析答案思维升华第18页/共114页跟踪训练1又∵sin2α+cos2α=1,第19页/共114页跟踪训练1第20页/共114页第21页/共114页第22页/共114页题型二三角函数公式的灵活应用解析答案思维升华例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
.第23页/共114页题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
.原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin45°=.解析答案思维升华第24页/共114页原式=sin(65°-x)·cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin45°=.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
.解析答案思维升华第25页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.题型二三角函数公式的灵活应用例2(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为
.解析答案思维升华第26页/共114页解析答案思维升华第27页/共114页解析答案思维升华第28页/共114页解析答案思维升华第29页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.解析答案思维升华第30页/共114页解析答案思维升华第31页/共114页解析答案思维升华第32页/共114页解析答案思维升华第33页/共114页运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tanα+tanβ=tan(α+β)·(1-tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力.解析答案思维升华第34页/共114页第35页/共114页cosα第36页/共114页解析
因为三个内角A,B,C成等差数列,且A+B+C=π,第37页/共114页第38页/共114页解析答案思维升华题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.第39页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第40页/共114页∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第41页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第42页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第43页/共114页1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第44页/共114页(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第45页/共114页题型三三角函数公式运用中角的变换例3
(1)已知α,β均为锐角,且sinα=
,tan(α-β)=-.则sin(α-β)=
,cosβ=
.解析答案思维升华第46页/共114页解析答案思维升华第47页/共114页解析答案思维升华第48页/共114页解析答案思维升华第49页/共114页1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;解析答案思维升华第50页/共114页(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.解析答案思维升华第51页/共114页解析答案思维升华第52页/共114页又α,β均为锐角,所以0<α<α+β<π,cosα>cos(α+β).第53页/共114页于是cosβ=cos[(α+β)-α]第54页/共114页=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα第55页/共114页第56页/共114页第57页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第58页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找α,β的关系.(3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第59页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第60页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第61页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题思维点拨解析温馨提醒第62页/共114页高频小考点5高考中的三角函数求值、化简问题(1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第63页/共114页思维点拨解析温馨提醒第64页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找α,β的关系.(3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第65页/共114页即sinαcosβ=cosα+cosαsinβ,思维点拨解析温馨提醒第66页/共114页思维点拨解析温馨提醒第67页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第68页/共114页思维点拨解析温馨提醒第69页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找α,β的关系.(3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第70页/共114页思维点拨解析温馨提醒第71页/共114页思维点拨解析温馨提醒第72页/共114页∴2α为第三象限角,思维点拨解析温馨提醒第73页/共114页∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,思维点拨解析温馨提醒第74页/共114页思维点拨解析温馨提醒第75页/共114页思维点拨解析温馨提醒第76页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.思维点拨解析温馨提醒第77页/共114页思维点拨解析温馨提醒第78页/共114页(1)注意和差公式的逆用及变形.(2)“切化弦”,利用和差公式、诱导公式找α,β的关系.(3)可以利用sin2α+cos2α=1寻求sinα±cosα与sinαcosα的联系.(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化.思维点拨解析温馨提醒第79页/共114页思维点拨解析温馨提醒第80页/共114页(1)三角函数的求值化简要结合式子特征,灵活运用或变形使用公式.(2)三角求值要注意角的变换,掌握常见的配角技巧.返回思维点拨解析温馨提醒第81页/共114页方法与技巧第82页/共114页方法与技巧2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.第83页/共114页失误与防范1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升次、降次的灵活运用,要注意“1”的各种变通.3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.返回2.在(0,π)范围内,sin(α+β)=
所对应的角α+β不是唯一的.第84页/共114页23456789101第85页/共114页23456789101第86页/共114页23456789101第87页/共114页34567891012第88页/共114页24567891013∵tanα=4,第89页/共114页235678910144.(2013·重庆)4cos50°-tan40°=
.第90页/共114页23467891015-1第91页/共114页23457891016第92页/共114页7.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=
.23456891017解析根据已知条件:cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,cosβ(cosα-sinα)+sinβ(cosα-sinα)=0,即(cosβ+sinβ)(cosα-sinα)=0.又α、β为锐角,则sinβ+cosβ>0,∴cosα-sinα=0,∴tanα=1.1第93页/共114页234
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