探究“大单元”理念下圆锥曲线中点弦问题 论文

探究“大单元”理念下圆锥曲线中点弦问题摘要：高三复习课既是关键知识的巩固，又是“大单元”知识的融合与提升。本文意在通过实例，巧用一题多解，整合与题目相关的模块知识，在数学探究活动中形成“大单元”知识网络体系，巩固“四基”，提升“四能”，发展核心素养，积累基本活动经验。使学生从“解海战”中解放出来，既达到减轻学生的课业负担的目的，又能使课堂教学更加科学、高效。关键词：一题多解；核心素养；“大单元”融合；数学探究一、情境与问题（导学案）已知点P为椭圆x2y21内一定点，经过点P引一条弦，42使此弦被点P平分，求此弦所在的直线方程。说明本题是圆锥曲线内容的基础知识，设计的又是小题，大多学生都是利用圆锥曲线与直线位置关系的常规方法（见下文），浅尝辄止地处理问题，不去深入思考。 设计意图整个过程由学生独立完成以下方法一、方法二，以巩固基础知识、基本方法，目的是训练学生的基本运算技能，发展数学运算素养。二、知识与技能方法一（韦达定理法）：易知弦所在直线的斜率存在，所以设直线方程为y1k(x)1，两交点坐标（x1,y1),x2,y22k10由y-1x2 4kx-12k2124kk1x22y21化简得2,24kk1210x1x24kk1又x1x22k212k2解得k121(x)1，即x2y3故此弦所在的直线方程为y1-22方法二（点差法）：设弦的两端点坐标（x1,y1),x2,y2，分别代入方程 2y21得x12x42

24y121两式相减得x2

y22,22且x1412yyxx1x2x1x2 y1y2y1y20，由已知x1x242122x1x2y1y0ky1y2122x1x2230故此弦所在的直线方程为y1-1(x)1，即x2y2方法三（巧用公式法）：由题意可知，直线斜率存在且不为零，设弦的一个端点为A，另一个端点为B，设A关于坐标原点的对称点为'A,在B椭圆上,由中点弦的相关结论可得kABkA'Bb2，连接AA',BA',OP,由P，易求kOP1；a2因为O为A,A'的中点，P为A,B中点，所以kA'B2kOP1;kABk'Bb2,a,2b2,kAB1Aa22故此弦所在的直线方程为y1-1(x)1，即x2y302教师在校对本题后提出问题1：要求直线的方程，现已知直线上的一点P了，方法一、方法二、方法三都是先求直线的斜率，进而利用点斜式求直线的方程。你能求弦的一个端点坐标，进而利用两点式求直线方程吗？设计意图问题1的提出是基于学生在已有（求直线方程一般方法）知识前提下，思考对同一问题采用不同方法求解。对问题进行“知识深入型的探究活动”，递进性地选取探究的内容，从易到难。创新性要求也不是很高，又给出了探究的材料与背景，指引了探究的方向与探究的方法。目的是使大多数学生达到整合“本单元”求直线方程的一般方法，形成“本单元”知识网络体系；激励学生进行数学探究活动，积累基本活动经验，促进学生合作、交流学习习惯的养成，发展学生的逻辑思维素养。经过生生之间的合作与交流，得到如下一个结果：三、思维与表达方法四：设弦的一个端点A,y，则另一个端点B2x2,y，将A,B两点x2 2y21坐标分别代入方程4③x2y211①两式相减得0

2x4

22xy3y②42至此，学生大多数试图将③式整理后代入①式进行求解。教师适时按下“暂停键”，提醒学生③式的形式与方法一、方法二、方法三的结果一样！是巧合吗？是否可以结束求解呢？为什么？然后，师生、生生进行大讨论。联想、类比求两相交圆的公共弦所在的直线方程的方法，肯定结论式是正确的、简捷得的。在平面解析几何的教学中，要注重类比方法的运用。由于解析几何中对不同对象的研究所采用的手法和模式大致相同，所以在此可引导学生借鉴研究圆的方法与模式来研究椭圆。又恰当运用方程的工具进行逻辑探索，从而从各个侧面、不同层次上提高学生数学素养。接着教师提出问题2：方法四如果继续解下去的话，运算量不小，原因是它是一个二元二次方程组，如果减少未知量的个数呢？引导学生回顾椭圆的参数方程中仅含一个参数θ，能否用含一个参数θ的方程替代方法四中的方程组呢？设计意图问题2的提出是在熟悉的（椭圆的参数方程）情境中，根据学生的最近发展区设计探究活动。发现并提出有意义的教学问题，并根据已有（解三角方程）经验，进行合理的猜想、推理、证明，从而获得结论。尝试教学研究过程，积累基本活动经验，发展创新意识和实践能力，提高学生的探究意识和探究能力；整合必修与选修中有关椭圆的知识，使学生在头脑中形成“大单元”知识网络体系；促进学生合作、交流学习习惯的养成；发展逻辑思维素养。经过生生之间的合作，交流，得到如下一个结果：方法五：设弦的一个端点A2cos,2sin，则另一个端点B的参数坐标为2cos2,2sin因为B在椭圆上，所以将点B的参数坐标代入椭圆的方程x2y21并化简B42得到2cos22sin30教师提醒如果继续解这个三角方程，运算量又大了，难道是方法不科学吗？在生生大讨论过程中，有些学生已经发现这种方法本质就是方法四，再利用xy2cos替代方程中2cos，2sin，结果又变成xy30。2sin 至此，教师与学生共同分析方法三，方法四的本质------设点但不求点的坐标，而是求点的坐标所满足的关系，它实质上就是解析法。在学生愉悦的体验之后，教师进一步提出问题3：椭圆有参数方程，直线也由参数方程呀，其中的参数表示什么几何意义呢？那这个中点P如何使用？设计意图教师是数学探究课题的主要创造者、组织者、指导者、合作者。教师要有比较开阔的教学视野，了解与中数数学知识有关的知识拓展和内在联系的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探究做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。问题3可整合必修与选修中有关直线的知识，使学生在头脑中形成“大单元”知识网络体系；促进学生合作、交流学习习惯的养成；发展逻辑思维素养；积累数学探究基本活动经验。经过生生间的合作、交流，得到如下一个结果；方法六：设所求直线的参数方程xy1tcos（为直线的倾斜角，t1tsin为参数），将其代入椭圆的方程x2 2y21中整理得：4cos22sin222cos4sin10由的几何意义及P为弦的中点可得t1t20所以2cos4sin0，即ktan12再利用点斜式，即可求得直线方程：xy30数形结合思想是高中数学中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好隔离分家万事休”。解析几何研究的对象是几何图形，而研究的方法都是代数方法，所以它本身就是数形结合的典范，突出了“形的运算”和“数的运算”的转化，丰富了解析几何图形的背景，清晰地描述了研究对象（图形）的几何特征和问题。四、交流与反思1.本节课主旨是鼓励学生在学习数学知识、技能、方法、思想的过程中发现和提出自己的问题并加以研究。引导学生围绕“中点弦”这个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察，分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测，探求适当的数学结论和规律，并给出解释，是一种全新的学习方式。在探究过程中，尝试数学的研究过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和科学精神，养成发现，提出，解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识和实践能力。2.本节课从一个最常见的简单问题出发，回顾了直线方程的求法；椭圆参数方程、直线参数方程的应用；类比两圆相交时公共弦所在的直线方程的求法；将有关直线和椭圆在必修和选修中的知识形成一个网络的“大单元”的体系；给出中点弦问题的一般处理方法；发展学生数学运算素养和逻辑推理素养。3.在教学中，一方面要把算理和算法交待得清楚到位，另一方面要舍得花时间让学生去运算，避免出现知道怎么求解但不能算出结果或经常算错的现象。将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其相互关系；然后将几何问题转化为代数问题，进而处理代数问题，最后分析代数结论的几何含义并解决几何问题。通过上述活动，使学生感受解析法研究问题的一般程序及其魅力。教学中不断渗透数形结合、类比、转化、抽象等思想方法，提高数学素养。4.高三数学复习时间紧、内容多、要求高，如何提高效率，做到真正落实高三复习的有效性。在高考数学中要重视重要概念、公式、法则的形成过程和典型的例题，并围绕解题训练，让学生通过练习达到灵活应用、触类旁通的效果。以一道求以定点为中点的弦所在直线方程为突破口，鼓励学生主动探究，积极思考、大胆联想，各抒己见，将“本单元”教学延伸到“大单元”教学上，帮助学生对已基本掌握的零碎的数学知识进行归类、整理、探究，使之规律化、网络化；对知识点、考点、热点进行思考、总结、处理，从而使学生掌握的知识更为扎实、更为系统。 参考文献：