第五章 再练一课 (范围：5.5)

再练一课（范围：5.5）力基础巩固sin162°cos780+cos162°sin78。化简得（ ）A.4B坐C.一坐D.1答案C解析sinI62°cos780+cos162°sin78°=sin（162°+78°）=sin240°=sin（180°+60°）=-sin60°2..函数y=2cos2（x+g）—I是（）A.最小正周期为兀的偶函数B.最小正周期转的奇函数C.最小正周期为兀的奇函数D.最小正周期为为偶函数答案C解析y=2cos2（x+：）—1=cos（2x+]）=—sin2x,显然是奇函数，周期为兀.已知a,夕£（一去9，且1@11%1@11/是方程/+3，11+4=0的两个根，则a+夕的值为（）答案B” ,ctan«+tan//—3*\/3不所以tan（a+/?）—] «—.A—a/3;' 1—tanrztanp1—4v因为a,夕£（一去号，tana+tan夕=-3小＜0,所以a,蚱（苫,0）,所以a+夕£（一兀，0）.因为ian（a+£）=小，所以。+夕=一寸.tan«tan/?=4>0,解析由题意可得lana+tan4=-36，tan«tan^=4；4.已知函数,"）=H兀-x）,且当x《一］，郛寸，./（x）=x+sinx.设。=*），b=fl_2）,c=/3）,M()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b答案D解析由已知函数次x）在（一去号上是增函数.因为兀一2£（一多0,兀一3£（一去E）,n—3<l<7t-2,所以4—3RU）勺（九一2）,即式3）<70）讨2）,c<a<b.5.“a+尸=；”是“（l+tana）（l+tan/?）=2"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案D解析由(1+tana)(l+tan/?)=2得I+tana+lan万+1ana【an£=2,即tana+tan0=1—tanatan[i,tana+tanB..tan(a+^)=1_(anatan/?1—tanatan夕1—tanatanpjr TT・・・a+£=W+E伙£Z),不一定有“。+夕=]’；反之，“a+£=；”不一定有“（l+lana）（l+lan为=2"，如。=看夕=一彳，此时tana无意义；・•・"。+4=；”是“（l+tana）（l+tan夕）=2”的既不充分又不必要条件.6.已知cosa=—,且兀<av苧，则sin微=.答案隼2 37r解析已知cosa=§且兀〈公法，根据二倍角公式得到cosa=1-2si吟=^吟=焉，因为兀<av羊，故得至畤与守，sin^>0,故得至故得至Usin故得至UsinaV302故得至UsinaV302=6,.已知sina—3cosa=0,贝Usin2a=.3答案5解析由题意可得sina=3cosa,所以sin2a+cos2a=(3cosa)2+cos2a=1,所以cos2a=-j^,3所以sin2a=2sinacosa=6cos%=§..若方程sinx—小cosx=c有实数解，则c的取值范围是答案[-2,2]解析关于％的方程sinX一小cosx=c有解，即c=sinx—于cosx=2sin(x-有解，由于x为实数，则2sin(x-§£L2,2],故有一2WcW2.3 \[5.已知a,夕为锐角，cos«=t,cos(a+夕)=一手.⑴求sin2a的值;(2)求tan(a一份的值.3 4解(1)已知a,夕为锐角，cos«=7,所以sina=q,.已知.已知sina—3cosa=0,贝Usin2a=.3答案5解析由题意可得sina=3cosa,所以sin2a+cos2a=(3cosa)2+cos2a=1,所以cos2a=-j^,3所以sin2a=2sinacosa=6cos%=§..若方程sinx—小cosx=c有实数解，则c的取值范围是答案[-2,2]解析关于％的方程sinX一小cosx=c有解，即c=sinx—于cosx=2sin(x-有解，由于x为实数，则2sin(x-§£L2,2],故有一2WcW2.3 \[5.已知a,夕为锐角，cos«=t,cos(a+夕)=一手.⑴求sin2a的值;(2)求tan(a一份的值.3 4解(1)已知a,夕为锐角，cos«=7,所以sina=q,则sin2a=2sinacos则sin2a=2sinacos2425则sin2a=2sinacos2425-4-5X3-5(2)由于a,4为锐角，贝1J0＜。+尸〈兀，X[S 2x/5又cos(a+£)=一看nsin(a+/?)=",(2)由于a,4(2)由于a,4为锐角，贝1J0＜。+尸〈兀，X[S 2x/5又cos(a+£)=一看nsin(a+/?)=",所以cos夕=cos[(a+夕)一a]=cos(a+//)cosa+sin(a+4)sina=,2^/54_^55X5+5X5-5，则tan5=2,故tan(a~^)=则tan5=2,故tan(a~^)=I+tanatan则tan5=2,故tan(a~^)=I+tanatanp―?14-34

l+jX22TT,10.已知函数./(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-I.(1)求fix)的最小正周期；(2)求府)在［。，外上的单调区间.解由已知得，火x)=sin2x+cos2x+1=V5sin(2.r+§+l.⑴函数的最小正周期r=y=n.(2)由2%兀-5<21+；.2H+宗〃£2)得,kit—履+融£Z),10.已知函数./(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-I.(1)求fix)的最小正周期；(2)求府)在［。，外上的单调区间.解由已知得，火x)=sin2x+cos2x+1=V5sin(2.r+§+l.⑴函数的最小正周期r=y=n.(2)由2%兀-5<21+；.2H+宗〃£2)得,kit—履+融£Z),兀一8,--_兀一2▽综合运用11.若sinl，则等于()77^2^2、 2a/2A.—gB.§C.-D.答案A解析因为sin(x+弓3)=y所以cos|瞪r)=sin(x+M；cos|2像f,37—I ——I9-12.函数y=2sinxcosx—巾cos2x的单调增区间是()57r~I2,7112(4£Z)nVT5ji-12.(AWZ)解析y=2sinxcosx-小cos2x=sin2a-小cos2x=2sin（2x一1）,由-4+2htW2r—々★5-22兀伏£2）得,E一合《力兀+驾（左£Z）,・・•・函数的单调增区间是[kt-盍，E+招・•・•・函数的单调增区间是[kt-盍，E+招（k£Z）.13.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,直角三角形较小的锐角为”,则sin2a等于（）IA-25八7八12>24B25C25D25答案解析为”,则sin2a等于（）IA-25八7八12>24B25C25D25答案解析•・•大正方形的面积为225,小正方形的面积为9,・•・大正方形的边长为15,小正方形的边长为3.设四个全等的直角三角形的长直角边为x,则短直角边为x-3.由勾股定理得/+（》一3尸=152,解得x=12（舍负）,a为直角三角形较小的锐角，所以/.sin2«=2sinacosa=^-3一5t-ains4-5-a14.函数./（x）=cos2x—siMx+2sinacosx的最小正周期为,单调递减区间是答案71（尿+0E+£）（%eZ）解析由题意得，./U）=cos2a—sin2x+2sinacosx=cos2r+sin2x=6sin（2x+j）,工最小正周期7=了=兀,由2火兀+，＜2[+：＜2女兀+£（女£2）得，/.函数次x）的单调递减区间是（E+5，E+引伏£Z）.“拓广探究.函数./(x)=sinZl，5cos2r在区间苦，上的零点之和是()兀-兀-兀-兀A.-5B.-%C%D,3答案B解析由题意得fix)=2sin(2x一，令7U)=0,解得2r—W=E(k£Z),即x=与+*%£Z),所以7U)的零点为x=9+*kwz).「兀兀一又x£[-2，讣令&=1,贝Ux=一$令太=0,则尸去所以在区间［一会引上的零点之和为一汽=一强.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：®sin2130+cos217°—sin130cos170；@sin2150+cos2150-sin150cos150；@sin218°+cos2120-sin18°cos12°；@sin2(—18°)H-cos248°—sin(—18°)cos48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos550.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2«+cos2(300-a)-sinacos(30°—a)=,并证明你的结论.(参考公式：sin(a±^)=sinacos夕土cosasin夕，cos(«±^)=coscccos股sinasin夕，sin2«=2sinwcosa,cos2a=cos2cc-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a)i 3解(1)选择②式：sin2l5°4-cos215°-sin150cosI50=l—pin30O=j,3所以该常