《普通物理》第九章 波动

1第九章波动29.1波的描述

波动现象波的产生需要两个条件：波源和介质波源在介质中振动，与介质发生相互作用，这种影响由近及远，以波的形式向周围传播——波是振动状态的传播。波的产生、波在弹性介质中的传播3辐射的方向性单极辐射辐射的相位4偶极辐射辐射的方向性辐射的相位简谐振动5平面四极辐射辐射的方向性辐射的相位6线性四极辐射辐射的方向性辐射的相位音叉近场远场7横波：波的传播方向与振动方向垂直纵波：波的传播方向与振动方向平行一维空间传播的波：弦波二维空间传播的波：水面的波三维空间传播的波：声波、电磁波8平面波：波阵面为平面球面波：波阵面为球面柱面波：波阵面为柱面波阵面（波前）：振动状态相同的点组成的面波线：波的传播方向线波线波阵面9

平面简谐波空间每一点都作简谐振动，不同点之间有确定的相位差相位以一定的速度传播，此即波的相速，简称波速

v。对于波包来说，波包中心前进的速度称为群速

ug10先假设波向右传播，波速v，考虑x=0点的振动

x点、t时刻的振动，是

x=0在

t–

x/v

时刻的振动传播而得到的11相的传播速度相位φ

保持不变，上式两边对时间求导向左传播的简谐波的表达式

12

平面简谐波波数

13三维空间的平面简谐波

球面简谐波

14第九章作业题

1、2、3、4、5、8、10、17159.2弹性体的性质

弹性介质的基本性质波在介质中如何传播，是由介质的性质决定的。当介质的形变较小时，介质可当作弹性介质：介质中各点的相对位移与力成正比介质的弹性行为由弹性模量描述，根据形变类型的不同，弹性模量分为：杨氏模量、剪切模量和体积弹性模量。16杨氏模量E剪切模量G体积模量K

17

泊松比纵向被拉伸的杆必然伴有横向的收缩泊松比σ：材料的收缩率与伸长率之比对于普通材料，杨氏模量、剪切模量与泊松比三者之间满足关系杨氏模量一般是剪切模量的2到3倍189.3波动方程

波动方程的形式波动方程可能的形式？平面简谐波第一项：质元的加速度第二项：质元的受力

波动方程的推导：选取质元，分析受力，计算合力，代入运动方程19质元dm两侧的受力分别正比于一阶导数，合力正比于二阶导数横波和纵波偏离平衡位置的位移为y体元两端位移量相同代表没有拉伸，对应y

的一阶导数为零y的一阶导数为正，介质处于拉伸状态，为负则为压缩状态。一阶导数代表相对拉伸的程度，正比于应力波的传播方向横波位移纵波位移质元dm平衡位置纵波体元左侧平衡位置1212

20

弦的波动方程弦的张力T，密度ρ分析一小段弦的受力弦在

x位置，偏离平衡位置的位移弦沿

x方向无位移

21弦所受合力牛顿第二定律弦的波动方程波速22

均匀弹性棒中横波和纵波的波动方程均匀弹性棒的横截面积为S，密度ρ，沿棒取为x

方向。设沿纵向（横向）偏离平衡位置的位移为分析其中一小段23在x处的纵向（横向）弹力为同样在

x+Δx

处的纵向（横向）弹力为24式中偏导数为正值时，对应的是拉伸状态，所以左端为负，右端为正。这一小段所受合力为这一小段的纵向（横向）加速度为25牛顿第二定律纵波和横波的波动方程三维波动方程与一维的形式相同，只是纵波的波速略有不同纵波波速横波波速26

声波的波动方程声波的物理内容包含了三个特征：

I气体的位移使密度发生变化

II密度的变化对应着压强的变化

III压强的不相等导致气体的运动声波是纵波，表现为疏密状态的移动，空气的压强在平衡压强（大气压）附近有起伏，声波也表现为这种压强起伏的传播。27空气中热量传播非常慢，并且声波传播很快，空气来不及与外界交换热量，过程实际上是绝热的。气体的压强p

和体积V

满足绝热方程。首先考虑第二个特征Cp,m是定压摩尔热容，CV,m是定体摩尔热容。28设沿纵向偏离平衡位置的位移为考虑第一个特征分析横截面积为S

的其中一小段在

x

点附近，体积的相对变化为上式中偏导数为正，对应气体的膨胀，故压强减小。29左端的压强右端的压强这一小段所受的压强差30最后考虑第三个特征牛顿第二定律声波的波动方程对理想气体，声速R是气体普适常量，T是绝对温度，M是气体的摩尔质量31

一维波动方程的通解一维波动方程的一般形式偏微分方程的通解不同于二阶常微分方程，通解中出现的是两个待定的函数，而不是两个待定的常数32首先验证两个独立的解满足波动方程同理，另一个独立的解也满足方程。33初始条件给定后，波动方程的解唯一确定初始条件将通解代入，由初始条件确定方程的解传播因子34

三维空间波的传播因子

35附近甲壳虫的运动会产生波，横波的波速50m/s，纵波的波速150m/s，波到达蝎子最近足部的时间间隔4.0ms，甲壳虫的距离？纵波横波369.4波的能量我们以弹性介质中的平面简谐纵波为例分析波的能量介质的密度ρ，杨氏模量E，向右传播的平面简谐波当介质内有波传播时，介质处于拉伸和运动状态，因此波的能量既包含动能，又包含势能。分析对象：介质内一个截面为ΔS、长为Δx的体元37体积元的动能在平衡位置动能最大，在波峰和波谷处动能为零。38体积元的势能先求一段长L、截面积为S的弹性介质发生形变时具有的弹性势能在伸长ΔL的过程中，外力F所做的功其中E为杨氏模量，相对形变为对于体积元ΔSΔx，相对形变为∂y/∂x，该体积元的势能为39势能与动能的变化同相都是在平衡位置势能最大，在波峰和波谷处势能为零能量密度能流密度：沿波的传播方向，单位时间通过单位面积的能量40对于三维平面简谐波，能量密度和能流密度的形式相同ρ

为介质的体密度能量密度能流密度在任一位置，能流密度在一个周期内的平均值称为该处波的强度声强的单位：分贝（dB）声强级

基准声强

419.5波的叠加——驻波

波的叠加原理叠加原理的成立是建立在波动方程是线性的这个性质上42

驻波的形成如果弦的两端都固定，形成稳定波形的条件是什么？设有两列波，振幅相同，在左端点（原点）反相：合成的波固定端的反射因为弦的端点不动，它所受的合力为零。波传播到固定端时，对端点施加一个作用力，墙要施加一个等值、反向的作用力，从而产生一个从右向左传播的反射波：振幅相同、反相43在右端点

x=

l处要求y=0，即设波速为u，相应的频率为最低的频率称为基频，其它依次称为二次、三次…谐频44驻波的形成45基频二次谐频三次谐频46有关驻波的几个概念驻波的频率波节波腹波腹波腹波节相邻波节或波腹的间距为半波长47二维驻波矩形薄膜（a，b）驻波的频率48正方形薄膜49圆形薄膜2.40483isthefirstrootofthezero-thorderBesselfunctionJ0(x)5.52008isthesecondrootofJ0(x)3.83171isthefirstrootofJ1(x)Ts:膜的表面张力ρs:膜的面密度a:膜的半径509.6多普勒相应与冲击波

多普勒相应多普勒效应探测器所接受到的波的频率依赖于波源和探测器相对介质的运动在无色散的介质中,波速与波源和探测器的运动与否无关波源频率

探测器51（1）波源静止观察者运动波源波速

u探测器先讨论波源或探测器的运动都在二者的连线上波相对观察者的传播速度波长未变，观察者感受到的频率52（2）波源运动观察者静止波源波速

u探测器波相对观察者的有效波长波速未变，观察者感受到的频率53（3）波源和观察者都运动波源波速

u探测器波相对观察者的有效波长观察者感受到的频率波相对观察者的传播速度54波源和观察者作任意运动波源观察者相位增量观测到同样的相位增量波源观察者55例警车警笛的频率声速车速声音经前面墙的反射向后传播，求人听到的拍频。56

冲击波当波源运动的速度接近波速时，在波源前产生声垒（soundbarrier）和轰声（sonicboom）。超音速飞行57当波源运动的速度大于波速时，波前