第四章 图象处理中的正交变换

第四章图象处理中的正交变换第1页，共110页，2023年，2月20日，星期四本章的几个重要问题空间域图像变换到频域的具体实现（图像离散傅立叶变换与反变换公式）频域图像的表达特点与理解（经中心变换后，低频在内，高频在外）对频域低通滤波的理解对频域高通滤波的理解第2页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域变换:理论基础理论基础线性系统卷积与相关第3页，共110页，2023年，2月20日，星期四线性系统线性系统系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。x(t)输入系统y(t)输出第4页，共110页，2023年，2月20日，星期四线性系统线性系统的定义：对于某特定系统，有： x1(t)y1(t) x2(t)y2(t)该系统是线性的当且仅当：

x1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

从而有：a*x1(t)a*y1(t)第5页，共110页，2023年，2月20日，星期四线性系统线性系统平移不变性的定义：对于某线性系统，有： x(t)y(t)当输入信号沿时间轴平移T，有：

x(t-T)y(t-T)则称该线性系统具有平移不变性第6页，共110页，2023年，2月20日，星期四卷积卷积卷积的定义离散一维卷积二维卷积的定义离散二维卷积第7页，共110页，2023年，2月20日，星期四卷积的定义对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的分析，将大有帮助卷积积分就是这样的一般表达式

h(t)=g(t-)f()d记为：h=g*f

-

g(t)称为冲激响应函数第8页，共110页，2023年，2月20日，星期四离散一维卷积

h(i)=f(i)*g(i)=f(j)g(i-j)

j二维卷积的定义

h(x,y)=f*g=

f(u,v)g(x–u,y–v)dudv

-离散二维卷积h(x,y)=f*g=

f(m,n)g(x–m,y–n)

mn

第9页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换周期函数可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式非周期函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示—这种情况下的公式就是傅立叶变换第10页，共110页，2023年，2月20日，星期四第11页，共110页，2023年，2月20日，星期四第12页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换一维连续傅立叶变换：几个概念

假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立叶变换可能为复函数：

F(u)=R(u)+jI(u)

（1） 傅立叶变换的幅度或频率谱：

|F(u)|=[R2(u)+I2(u)]1/2

（2） 傅立叶变换的功率谱/能量谱：

P(u)=|F(u)|2=R2(u)+I2(u)

第13页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换第14页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换一维连续傅立叶变换：几个概念（3） 傅立叶变换的相位谱：

(u)=tan-1(I(u)/R(u))

（4）傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量这个名称源于欧拉公式中的指数项exp[-j2ux]=cos2ux-jsin2ux

（exp[ja]=cosa-jsina）

如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个值决定了其相应cos,sin函数对的频率。第15页，共110页，2023年，2月20日，星期四第16页，共110页，2023年，2月20日，星期四第17页，共110页，2023年，2月20日，星期四第18页，共110页，2023年，2月20日，星期四第19页，共110页，2023年，2月20日，星期四第20页，共110页，2023年，2月20日，星期四第21页，共110页，2023年，2月20日，星期四第22页，共110页，2023年，2月20日，星期四第23页，共110页，2023年，2月20日，星期四第24页，共110页，2023年，2月20日，星期四第25页，共110页，2023年，2月20日，星期四先以一维为例：第26页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换

二维傅立叶变换的性质2.平移性移中性直接变换：原图像f（x，y）FT能量分布于四角（示意图）移中的变换：移中FT能量集中于中心（示意图）第27页，共110页，2023年，2月20日，星期四傅立叶变换

二维傅立叶变换的性质2.平移性频域图像（幅度谱）原图像幅度谱（频率谱）中每一点(u,v)的幅度|F(u,v)|可用来表示该频率的正弦（余弦）平面波在叠加中所占的比例。第28页，共110页，2023年，2月20日，星期四第29页，共110页，2023年，2月20日，星期四均值性均值性的描述： 离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值

M-1N-1F(0,0)=1/MNf(x,y)e0

x=0y=0

第30页，共110页，2023年，2月20日，星期四周期与共轭对称周期性的描述：离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的对于一维傅立叶变换有： F(u)=F(u+N)对于二维傅立叶变换有： F(u,v)=F(u+M,v+N)第31页，共110页，2023年，2月20日，星期四周期与共轭对称共轭对称性的描述：傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数对于一维傅立叶变换有：

F(u)=F*(-u)对于二维傅立叶变换有：

F(u,v)=F*(-u,-v)*表示对于复数的标准共轭操作第32页，共110页，2023年，2月20日，星期四快速傅立叶变换（FFT）及编程实现离散余弦变换沃尔什变换哈尔函数及哈尔变换斜矩阵与斜变换小波变换快速算法（Mallat算法）第33页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强频域增强的理论基础卷积理论被处理图象f(x,y)变换函数h(x,y)/*线性、位置无关操作目标图象g(x,y)有卷积：g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)有等式：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)有等式：g(x,y)=F-1[H(u,v)F(u,v)]第34页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强的原理频率平面与图象空域特性的关系图象变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域图象中的边、噪音、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域第35页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强的原理变化平缓部分边、噪音、变化陡峭部分uv第36页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强的处理方法对于给定的图象f(x,y)和目标，用（-1）x+y*f(x,y)进行中心变换计算出它的傅立叶变换F(u,v)选择一个变换函数H(u,v)，计算H(u,v)F(u,v) (注意：并非到空域找)计算出它的反傅立叶变换用（-1）x+y乘以上面结果的实部，得目标图像H(u,v)被称为滤波器

第37页，共110页，2023年，2月20日，星期四第38页，共110页，2023年，2月20日，星期四陷波滤波器（带阻）离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值

M-1N-1F(0,0)=1/MNf(x,y)e0

x=0y=0H(u,v)=0,(u,v)=(M/2,N/2)1,else第39页，共110页，2023年，2月20日，星期四SEM即扫描电子显微镜图片第40页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强与空域模板增强的关系卷积的离散表达式，基本上可以理解为模板运算的数学表达方式

M-1N-1g(x,y)=f*h=f(m,n)h(x–m,y–n)m=0n=0因此，卷积的冲击响应h(x,y)，被称为空域卷积模板，这种称谓仅在模板相对中心原点是对称的时，才是成立的第41页，共110页，2023年，2月20日，星期四频域增强与空域增强的关系在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用得多得多，因为它们易于实现，操作快捷。对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩)第42页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域过滤器低通过滤高通过滤同形过滤器第43页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第44页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第45页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤低通过滤频域低通过滤的基本思想理想低通过滤器Butterworth低通过滤器高斯低通过滤器第46页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域低通过滤的基本思想 G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)是需要钝化图像的傅立叶变换形式H(u,v)是选取的一个过滤器变换函数G(u,v)是通过H(u,v)减少F(u,v)的高频部分来得到的结果运用傅立叶逆变换得到钝化后的图像。第47页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器理想低通过滤器的定义理想低通过滤器截止频率的设计理想低通过滤器的分析第48页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的定义一个二维的理想低通过滤器（ILPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0为截止频率

D(u,v)为距离函数D(u,v)=(u2+v2)1/2第49页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的透视图\图像显示、截面图H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图第50页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的截止频率的设计先求出总的信号能量PT：其中：

p(u,v)=|F(u,v)|2=R2(u,v)+I2(u,v)

是能量模第51页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的截止频率的设计如果将变换作中心平移，则一个以频域中心为原点，r为半径的圆就包含了百分之β的能量第52页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的截止频率的设计第53页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的截止频率的设计求出相应的D0

r=D0=(u2+v2)1/2上面例子：

D0=5,15,30,80,230

β=92,94.6,96.4,98,99.5

第54页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的分析整个能量的90%被一个直径为8的小圆周包含,大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的10%的能量中小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多0.5%的能量中被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果——理想低通滤波器的一种特性所影响第55页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第56页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想低通过滤器的分析振铃效果——理想低通滤波器的一种特性第57页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器Butterworth低通过滤器的定义Butterworth低通过滤器截止频率的设计Butterworth低通过滤器的分析第58页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器的定义一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth低通过滤器（BLPF）的变换函数如下：第59页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器的截面图等H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图第60页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth过滤器截止频率的设计变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分通常把H(u,v)开始小于其最大值的一定比例的点当作其截止频率点有两种选择：选择1：H(u,v)=0.5当D0=

D(u,v)时第61页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth过滤器截止频率的设计选择2：

H(u,v)=1/2当D0=

D(u,v)时第62页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第63页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器的分析在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程第64页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器的分析BLPF处理过的图像中都没有振铃效果第65页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤高斯低通过滤器第66页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤高斯低通过滤器—没振铃第67页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第68页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第69页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤高通过滤频域高通过滤的基本思想理想高通过滤器Butterworth高通过滤器第70页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第71页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域高通过滤的基本思想G(u,v)=F(u,v)H(u,v)F(u,v)是需要锐化图像的傅立叶变换形式。目标是选取一个过滤器变换函数H(u,v)，通过它减少F(u,v)的低频部分来得到G(u,v)。运用傅立叶逆变换得到锐化后的图像。第72页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想高通过滤器理想高通过滤器的定义理想高通过滤器截止频率的设计理想高通过滤器的分析第73页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想高通过滤器的定义一个二维的理想高通过滤器（IHPF）的转换函数满足（是一个分段函数）其中：D0为截止频率

D(u,v)为距离函数D(u,v)=(u2+v2)1/201第74页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想高通过滤器的截面图0D0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)作为距离函数D(u,v)的函数的截面图第75页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤理想高通过滤器的三维透视图vuH(u,v)H(u,v)作为u、v的函数的三维透视图第76页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第77页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth高通过滤器Butterworth高通过滤器的定义Butterworth高通过滤器截止频率设计Butterworth高通过滤器的分析第78页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth高通过滤器的定义一个截止频率在与原点距离为D0的n阶Butterworth高通过滤器（BHPF）的变换函数如下：D0/D(u,v)第79页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth高通过滤器的截面图02D(u,v)/D0H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图130.5第80页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth高通过滤器截止频率设计变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分通常把H(u,v)开始小于其最大值（1）的一定比例的点当作其截止频率点有两种选择：选择1：H(u,v)=0.5当D0=

D(u,v)时D0/D(u,v)第81页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth高通过滤器截止频率设计选择2：

H(u,v)=1/2

当

D0=

D(u,v)时D0/D(u,v)D0/D(u,v)第82页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤Butterworth低通过滤器的分析问题：低频成分被严重地消弱了，使图像失去层次改进措施：加一个常数到变换函数H(u,v)+A

这种方法被称为高频强调为了解决变暗的趋势，在变换结果图像上再进行一次直方图均衡化。这种方法被称为后过滤处理第83页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第84页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤高斯高通过滤器第85页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器同形过滤器的基本思想同形过滤器的定义同形过滤器的效果分析第86页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的基本思想一个图像f(x,y)可以根据它的明度和反射分量的乘积来表示

f(x,y)=i(x,y)r(x,y)其中：i(x,y)为明度函数，

r(x,y)反射分量函数通过同时实现压缩亮度范围和增强对比度，来改进图像的表现第87页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义因为两个函数乘积的傅立叶变换不是可分离的，也即：

F{f(x,y)}≠F{i(x,y)}F{r(x,y)} 然而假设我们定义

z(x,y)=lnf(x,y) =lni(x,y)r(x,y) =lni(x,y)+lnr(x,y)

第88页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义

那么有：F{z(x,y)}=F{lnf(x,y)} =F{lni(x,y)}+F{lnr(x,y)}

或

Z(u,v)=I(u,v)+R(u,v)

其中I(u,v)和R(u,v)分别是lni(x,y)和lnr(x,y)的傅立叶变换第89页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义

用过滤器函数H(u,v)的方法处理Z(u,v)，有： S(u,v)=H(u,v)Z(u,v) =H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v)

其中S(u,v)是结果图像的傅立叶变换在空域中：s(x,y)=F-1{S(u,v)} =F-1{H(u,v)I(u,v)}+F-1{H(u,v)R(u,v)}第90页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义

通过设：

i’(x,y)

=F-1{H(u,v)I(u,v)} r’(x,y)

=F-1{H(u,v)R(u,v)}

上页等式可以表示为：

s(x,y)=i’(x,y)+r’(x,y)

最后，通过i’(x,y)和r’(x,y)的逆操作（指数操作）产生增强后的图像g(x,y)第91页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义

也即：g(x,y)=exp[s(x,y)] =exp[i’(x,y)]exp[r’(x,y)] =i0(x,y)r0(x,y)

其中

i0(x,y)=exp[i’(x,y)]

和

r0(x,y)=exp[r’(x,y)]

是输出图像的明度和反射分量。

g0(x,y)

=i0(x,y)r0(x,y)第92页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的定义

利用前述概念进行增强的方法可以归纳为：这个方法基于一类称作同形系统的特殊情况。在此特定应用中，问题的关键在于将明度和反射分量用进行分离。同形过滤器函数H(u,v)能够分别对这两部分进行操作。lnFFTH(u,v)(FFT)-1expf(x,y)g(x,y)第93页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的效果分析图像的明度分量的特点是平缓的空域变化，而反射分量则近于陡峭的空域变化这些特性使得将图像的对数的傅立叶变换的低频部分对应于明度分量，而高频部分对应于反射分量尽管这种对应关系只是一个粗略的近似，但它们可以用于优化图像的增强操作第94页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的效果分析一个好的控制可以通过用同形过滤器对明度和反射分量分别操作来得到这个控制要求指定一个过滤器函数H(u,v)，它对于傅立叶变换的低频和高频部分的影响是不同的第95页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同形过滤器的截面图0D(u,v)H(u,v)1H(u,v)作为D(u,v)的函数的截面图γHγL第96页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤同态过滤器的效果分析如果参数γL和γH的选取使得

γL<1,γH>1前图所示的过滤器函数将减少低频部分、扩大高频部分，最后的结果将是既压缩了有效范围，又扩大了对比度。第97页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤第98页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤从频域规范产生空域模板频域变换到空域模板的基本思想频域变换到空域模板的关系式推导第99页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域变换到空域模板的基本思想希望用空域模板来模拟一个给定频域过滤器的方法频域的过滤器操作基于以下等式：

G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

频域的过滤器操作可以由空域上的卷积公式实现：第100页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域变换到空域模板的关系式推导

h通常称作空域卷积模板,可理解为H(u,v)的逆傅立叶变换。这里已经找到了H与h的关系。

h=H-1(u,v) 也即： 且： g=G-1(u,v)u,v=0,1,2,…,N-1（N太大,不是实用模板）第101页，共110页，2023年，2月20日，星期四图像增强:频域过滤频域变换到空域模板的关系式推导假设h(x,y)在x>n且y>n时值均为0，其中n<N。这个限制创建了一个n*n大小的用傅立叶变换H(u,v)得到的卷积模板上式可以表示为：第102页，共1