第四章函数的数值逼近

第四章函数的数值逼近第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三什么是插值与拟合？有何区别？0.00.20.40.60.811.21.41.61.80.511.53420-1144.1代数插值多项式第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi),i=1,…n.oxy●●●●●

y0

x1

x2

xn

y1

y2

yn

x0y=f(x)g(x)第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三Lagrange插值线性插值(n=1)

求次数≤1的多项式L1(x). 满足条件L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,y=f(x)y=L1(x)x0x1xy第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三类似的可以得到l1(x),l2(x)l0(x),l1(x),l2(x)称为以x0,x1,x2为节点的插值基函数。二次插值(n=2)

求次数≤2的多项式L2(x),使其满足条件L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三令Ln(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+…+ln(x)yn

求n次多项式lj(x),(j=0,1,…,n)使其满足条件n次插值多项式:求次数≤n的多项式Ln(x),使其满足Ln(x0)=y0,Ln(x1)=y1,......,Ln(xn)=yn

..(7)容易求得lj(x)(j=0,1,…,n)称为以x0,x1,...,xn为节点的Lagrange插值基函数。第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三

....(9)公式（9）就是n次Lagrange插值多项式.特点：构造容易，L-型插值基函数理论上有意义，但增加节点要重新计算，不适合编程计算。实际应用：只用低次插值。第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三如何估计插值的截断误差？4.2多项式插值的进一步分析第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三生成Langrange插值多项式：x=1:6;y=[161821171512];disp([x;y])u=.75:.05:6.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v,'-');第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三4.5曲线拟合的最小二乘方法4.3分段插值与保形插值（略）4.4样条函数插值（略）第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三最小二乘原理第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三例4.3直线拟合第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三线性相关与线性无关第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三最小二乘原理的实质第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三第21页，共24页，