第十章对坐标的曲线积分

第十章对坐标的曲线积分第1页，共24页，2023年，2月20日，星期三一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.问题:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.第2页，共24页，2023年，2月20日，星期三1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在第3页，共24页，2023年，2月20日，星期三3)“近似和”4)“取极限”(其中为n

个小弧段的最大长度)第4页，共24页，2023年，2月20日，星期三2.定义第5页，共24页，2023年，2月20日，星期三类似地定义存在条件：第6页，共24页，2023年，2月20日，星期三组合形式推广第7页，共24页，2023年，2月20日，星期三性质说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!

定积分是第二类曲线积分的特例.第8页，共24页，2023年，2月20日，星期三二、对坐标的曲线积分的计算定理第9页，共24页，2023年，2月20日，星期三一代、二换、三定限曲线积分化成参变量的定积分代将L的参数方程代入被积函数换定限下限——起点参数值上限——终点参数值第10页，共24页，2023年，2月20日，星期三特殊情形第11页，共24页，2023年，2月20日，星期三第12页，共24页，2023年，2月20日，星期三三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第13页，共24页，2023年，2月20日，星期三类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为有向曲线元第14页，共24页，2023年，2月20日，星期三例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.第15页，共24页，2023年，2月20日，星期三例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则第16页，共24页，2023年，2月20日，星期三例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式第17页，共24页，2023年，2月20日，星期三思考题思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.第18页，共24页，2023年，2月20日，星期三例4.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程(空间曲线的参数表示)第19页，共24页，2023年，2月20日，星期三选择例5.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周第20页，共24页，2023年，2月20日，星期三小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系第21页，共24页，2023年，2月20日，星期三作业P1413(2),(4),(6);

4(1),(3)第22页，共24页，2023年，2月20日，星期三①．设曲面的方程为：如图，重积分的应用：曲面的面积第23页，共24页，2023年