教程参数估计及假设检验详解演示文稿

教程参数估计及假设检验详解演示文稿目前一页\总数五十二页\编于点优选教程参数估计及假设检验目前二页\总数五十二页\编于点一、参数估计参数估计问题的一般提法设有一个统计总体，总体分布函数为F(x,),

其中是未知参数，现从该总体抽样，得样本目前三页\总数五十二页\编于点参数估计点估计区间估计点估计

——

估计未知参数的值。区间估计——

根据样本构造出适当的区间，使它以一定的概率包含未知参数或未知参数的已知函数的真值。目前四页\总数五十二页\编于点（一）点估计的求法1、矩估计法

基本思想是用样本矩估计总体矩

.设总体分布含有个k未知参数

1

，…，k计算总体的前k阶矩l=1,...,k阶矩目前五页\总数五十二页\编于点解此方程组得其根为

分别估计参数i，i=1,...,k，并称其为i的矩估计。由于样本的l阶矩依概率收敛到总体的l阶矩l。所以令目前六页\总数五十二页\编于点2、最大似然估计法设总体X有概率密度f(x;)（或分布律

p(x;)),=(1,...,k)。设X1,...,Xn是来自总体的简单随机样本，x1,...,xn是样本观测值。最大似然估计的想法是选取参数i,i=1,...,k，使样本X1,...,Xn在样本值x1,...,xn附近取值的概率达到最大。即构造似然函数或目前七页\总数五十二页\编于点若有参数=(1,...,k)的取值，使得似然函数L(1,...,k)达到最大，则称它为参数1,...,k的最大似然估计。目前八页\总数五十二页\编于点（二）区间估计目前九页\总数五十二页\编于点置信区间的意义枢轴量目前十页\总数五十二页\编于点1、数学期望的置信区间设样本

来自正态母体X~N(,2)(1)方差

2已知,

的置信区间(2)方差2

未知

,

的置信区间

目前十一页\总数五十二页\编于点2、方差的区间估计

未知时,

方差2

的置信区间为目前十二页\总数五十二页\编于点（三）参数估计的命令1、正态总体的参数估计

设总体服从正态分布，则其点估计和区间估计可同时由以下命令获得：

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)此命令以alpha为显著性水平，在数据X下，对参数进行估计。（alpha缺省时设定为0.05），返回值muhat是正态分布的均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值,

muci是均值的区间估计,sigmaci是标准差的区间估计.X为矩阵（列为变量）时，输出行变量。目前十三页\总数五十二页\编于点例1.给出容量为50的正态分布N(10,22)的随机数，并以此为样本值，给出

和

的点估计和区间估计;给出容量为100的正态分布N(10,

22)的随机数，并以此为样本值，给出

和

的点估计和区间估计;给出容量为1000的正态分布N(10,22)的随机数，并以此为样本值，给出和

的点估计和区间估计.命令:X1=normrnd(10,2,50,1);[mu1,sigm1,muci1,sigmci1]=normfit(X1)X2=normrnd(10,2,100,1);[mu2,sigm2,muci2,sigmci2]=normfit(X2)X3=normrnd(10,2,1000,1);[mu3,sigm3,muci3,sigmci3]=normfit(X3)目前十四页\总数五十二页\编于点例2.中国改革开放30年来的经济发展使人民的生活得到了很大的提高，不少家长都觉得这一代孩子的身高比上一代有了明显变化。下面数据是近期在一个经济比较发达的城市中学收集的17岁的男生身高（单位：cm），若数据来自正态分布，计算学生身高的均值和标准差的点估计和置信水平为0.95的区间估计。170.1,179,171.5,173.1,174.1,177.2,170.3,176.2,175.4,163.3,179.0,176.5,178.4,165.1,179.4,176.3,179.0,173.9,173.7173.2,172.3,169.3,172.8,176.4,163.7,177.0,165.9,166.6,167.4174.0,174.3,184.5,171.9,181.4,164.6,176.4,172.4,180.3,160.5166.2,173.5,171.7,167.9,168.7,175.6,179.6,171.6,168.1,172.2目前十五页\总数五十二页\编于点例3.产生正态分布随机数作为样本值，计算区间估计的覆盖率。写出fugailv.m文件。functionfugailv(mu,sigm,n,m,alpha)X=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu,Sigm,Muci,Sigmci]=normfit(X,alpha);muratio=0;sigmratio=0;fori=1:nX=normrnd(mu,sigm,m,1);[Mu(i),Sigm(i),muci,sigmci]=normfit(X,alpha);endforj=1:nif(Mu(j)>=Muci(1))&&(Mu(j)<=Muci(2))muratio=muratio+1;endif(Sigm(j)>=Sigmci(1))&&(Mu(j)<=Sigmci(2))sigmratio=sigmratio+1;endendmuratio=muratio/nsigmratio=sigmratio/n目前十六页\总数五十二页\编于点[muratio,sgmratio]=fugailv(0,1,1000,200,0.05)[muratio,sgmratio]=fugailv(10,2,2000,500,0.01)[muratio,sgmratio]=fugailv(4,6,5000,400,0.025)目前十七页\总数五十二页\编于点2、其它分布的参数估计(1).取容量充分大的样本（n>50），按中心极限定理，它近似地服从正态分布；(2).使用Matlab工具箱中具有特定分布总体的估计命令.10[muhat,muci]=expfit(X,alpha)-----

在显著性水平alpha下，求指数分布的数据X的均值的点估计及其区间估计.20[lambdahat,lambdaci]=

poissfit(X,alpha)-----

在显著性水平alpha下，求泊松分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.30[phat,pci]=weibfit(X,alpha)-----

在显著性水平alpha下，求Weibull分布的数据X的参数的点估计及其区间估计.目前十八页\总数五十二页\编于点函数名参数估计对应的参数调用格式mle极大似然估计phat=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha)[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,pl)normlike对数正态似然函数L=normlike(params,data)normfit正态分布

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)目前十九页\总数五十二页\编于点函数名参数估计对应的参数调用格式poissfit泊松分布lambdahat=poissfit(X)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X)unifit均匀分布[ahat,bhat]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X)[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X,alpha)[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha)目前二十页\总数五十二页\编于点函数名参数估计对应的参数调用格式weibfit威布尔分布weiblike威布尔对数似然函数logL=weiblike(params,data)[logL,info]=weiblike(params,data)phat=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X)[phat,pci]=weibfit(X,alpha)目前二十一页\总数五十二页\编于点说明：命令mle的调用格式中：[phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha,p1)只用于二项分布，其中p1为试验次数例4.rv=binornd(20,0.75,1,10)%产生10个二项分布随机数参数为20和0.75[p,pci]=mle('binomial',rv,0.05,20)rv=12141813121416151816p=0.7400pci=[0.6734，0.7993]目前二十二页\总数五十二页\编于点例5.生成指数分布随机数100个，假设均值参数真值为0.5,以此为样本值，给出参数的点估计和区间估计命令:r=exprnd(0.5,100,1);[lamta,lamtaci]=expfit(r);[lamta,lamtaci]=expfit(r,0.01);结果:lamta=0.4579lamtaci=0.3799，0.5627lamta=0.4579lamtaci=0.3587，0.6015目前二十三页\总数五十二页\编于点3.不常用分布的参数估计（极大似然估计）此类问题一般归结为无约束最优化问题。无约束最优化问题的一般形式：参数的极大似然估计就是取目标函数为的无约束最优化问题。目前二十四页\总数五十二页\编于点方法：①最速下降法②Newton(牛顿）法及其修正的方法。③共轭方向法和共轭梯度法④变尺度法（拟牛顿法）等等详见北京大学出版社高惠璇编著《统计计算》P359------P379目前二十五页\总数五十二页\编于点二、假设检验

对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.统计推断的另一类重要问题是假设检验问题。在总体的分布函数完全未知或只知其形式，但不知其参数的情况，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设。目前二十六页\总数五十二页\编于点1.参数检验：如果总体的分布函数类型已知，这时构造出的统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质出明确的判断.2.非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个分布的参数作出明确的判断，检验统计量的分布函数不依赖于总体的分布类型，这种检验叫非参数检验.如判断总体分布类型的检验就是非参数检验.目前二十七页\总数五十二页\编于点假设检验的一般步骤是：①根据实际问题提出原假设H0与备择假设H1，即说明需要检验的假设的具体内容。②选择适当的统计量，构造恰当的拒绝域.③根据样本观测值计算统计量的观测值，看其是否落入拒绝域中，从而在检验水平条件下对拒绝或接受原假设H0作出判断

.目前二十八页\总数五十二页\编于点（一）参数检验1、单个正态总体X~N(,2)均值检验--------方差

2已知时采用

z检验------方差

2未知，采用t

检验目前二十九页\总数五十二页\编于点目前三十页\总数五十二页\编于点2、单个正态总体方差检验------2目前三十一页\总数五十二页\编于点3、两个正态总体N(1,12)和N(2,22)均值检验（1）已知选取统计量（2）方差未知，检验选取统计量目前三十二页\总数五十二页\编于点（2）方差未知，检验选取统计量当|t|>t

1/2(n1+n2-2)时拒绝原假设，否则接受原假设。-----t

1/2

(n1+n2-2)为t分布t

(n1+n2-2)的下测1/2分位数，n1为来自总体N(1,12)

的样本的容量，n2是来自总体N(2,22)的样本的容量。目前三十三页\总数五十二页\编于点4、两个正态总体方差检验目前三十四页\总数五十二页\编于点5、参数检验的计算机命令10z检验（1）

命令ztest函数（2）功能：给定方差条件下进行正态总体均值得检验（3）语法：h=ztest(x,m,sigm);h=ztest(x,m,sigm,alpha);[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0,则接收原假设（4）描述：ztest(x,m,sigm)在0.05水平下进行Z检验，以确定服从正态分布的样本均值是否为m，sigm为给定的标准差h=ztest(x,m,sigm,alpha)给出显著水平控制参数alpha，[h,sig,ci]=ztest(x,m,sigm,alpha,tail)允许指定是进行单侧检验还是双侧检验。目前三十五页\总数五十二页\编于点tail参数可以有下面几个取值：•tail=0（为默认设置）指定备择假设•tail=1指定备择假设•tail=-1指定备择假设sig为与Z统计量相关的p值。ci为均值真值的1-alpha置信区间。（5）应用实例目前三十六页\总数五十二页\编于点例6、生成100个标准正态分布的随机数，假设均值和标准差的观测值与真值之间没有差异，进行检验。过程如下：x=normrnd(0,1,1,100);[h,sig,ci]=ztest(x,0,1)结果：h=0sig=0.6317ci=[-0.14810.2439]目前三十七页\总数五十二页\编于点例7、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）

3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，标准差为0.04，问在0.01水平上能否接受假设：这批镍含量的均值为3.25。过程如下：x=[3.253.273.243.263.24];[h,sig,ci]=ztest(x,3.25,0.04,0.01)结果：h=0sig=0.9110ci=[3.20593.298]目前三十八页\总数五十二页\编于点例8、下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间

9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7设总体服从正态分布，标准差为0.4，问在0.05水平上能否认为装配时间的均值显著的大于10。

需检验H0:

10,H1:>10过程如下：x=[9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7]；[h,sig,ci]=ztest(x,10,0.4,0.05,1)结果：h=1sig=0.0127ci=[10.0529inf]拒绝原假设目前三十九页\总数五十二页\编于点20单个样本的t检验（1）

命令ttest函数（2）功能：未知方差条件下进行正态总体均值得检验（3）语法：h=ttest(x,m);h=ttest(x,m,alpha);[h,sig,ci]=ttest(x,m,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0,则接收原假设（4）格式的使用和参数的取值含义与ztest大致相同（5）应用实例目前四十页\总数五十二页\编于点例9、测得一批刚件20个样品的屈服点（单位：T/mm2）为：

4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54设屈服点服从正态分布，在0.05水平上，检验该样本的均值是否为5.20，的假设检验。

需检验H0:

=5.20,H1:5.20过程如下：x=[4.985.115.205.115.005.614.885.275.385.205.465.275.234.965.355.155.354.775.335.54]；m=mean(x)[h,sig,ci]=ttest(x,5.20,0.05)结果：m=5.2075h=0sig=0.8796ci=[5.10525.3098]目前四十一页\总数五十二页\编于点30两个样本的t检验（1）

命令ttest2函数（2）功能：两个样本均值差异的t检验（3）语法：[h,significance,ci]=ttest2(x,y);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha);[h,significance,ci]=ttest2(x,y,alpha,tail);h=1,则拒绝原假设，h=0,则接收原假设（4）格式的使用和参数的取值含义与ttest大致相同（5）应用实例目前四十二页\总数五十二页\编于点例10、对两种不同的水稻品种A,B分别统计了8个地区的单位面积产量（单位：kg）品种A：8687569384937579

品种B:8079589177827666要求检验两个水稻品种的单位面积产量之间是否有显著差异？过程如下：x=[8687569384937579];y=[8079589177827666];[h,significance,ci]=ttest2(x,y)结果：h=0significance=0.3393ci=-6.423617.4236目前四十三页\总数五十二页\编于点（二）非参数检验1.Jarque-Bera检验（1）

数学原理：

Jarque-Bera检验是评价X服从正态分布的假设是否成立。该检验基于样本偏度和峰度，样本偏度接近于0，样本峰度接近于3。基于此构造一个包含2

统计量：

JB=n(g1^2+(g2-3)^2/4)/6（n为样本容量）

Jarque和Bera证明了在正态性假定下，JB渐进的服从自由度为2的2分布，若JB超过了12(2),即2(2)的下测1分位数,则拒绝正态分布零假设,反之,接受零假设。目前四十四页\总数五十二页\编于点（2）函数名称：jbtest（3）语法：H=jbtest(x);H=jbtest(x,alpha);[H,p,jbstat,cv]=jbtest(x,alpha);H=1,则拒绝服从正态，H=0,则接收服从正态（4）alpha为显著水平，p为p值，jbstat为检验统计量的值，cv为确定是否拒绝原假设的的临界值。目前四十五页\总数五十二页\编于点（5）应用实例例11、对下列数据确定其是否服从正态分布。459362624542509584433748815505

612452434982640742565706593680

9266531644877346084281153593844

527552513781474388824538862659

77585975549697515628954771609

402960885610292837473677358638

699634555570844166061062484120

447654564339280246687539790581

621724531512577496468499544645

764558378765666763217715310851目前四十六页\总数五十二页\编于点2.总体分布的χ2检验法总体X的样本观测值为x1,x2,…,xn,考虑如下检验问题：H0:X的分布函数为F(x),这里F(x)为已知的分布函数在实数轴上取k个分点t1,t2,…,tk,得到互不相交的区间设样本观测值为x1,x2,…,xn落入第i个区间的个数为vi,其频率为vi/n.目前四十七页\总数五十二页\编于点如果H0成立，由给定的分布函数F(x),可以计算X落在每个小区间的概率为：其中考虑统计量目前四十八页\总数五十二页\编于点Pearson在1900年证明了如下定理：设F(x)是随机变量X的分布函数，当H