第十一章 耦合电感和理想变压器

第十一章耦合电感和理想变压器1第1页，共42页，2023年，2月20日，星期三●具有互感的设备，在电路理论上可抽象为耦合电感或理想变压器元件。◆耦合电感和理想变压器是双口元件（一般地讲，还可能是三口、四口、……等多口元件）。双口元件的伏安关系式要用两个方程来表征。一个端口的电压（或电流）不仅与本端口的电流（或电压）有关，而且还可能与另一端口的电流（或电压）有关，这类元件称为耦合元件。

第十一章耦合电感和理想变压器基本要求：理解互感的概念，掌握同名端的定义和同名端的判别方法；熟练掌握互感伏安关系的写法与理想变压器的特性方程；掌握互感串、并联的等效电路，掌握空芯变压器的简化模型及含空芯变压器电路分析，掌握含有理想变压器电路的分析。2第2页，共42页，2023年，2月20日，星期三

一、孤立电感（独立的电感线圈）+–uiΦN匝（孤立线圈）Lu+–i（孤立线圈电路模型）线性电感（空心线圈）：常数L——电感（自感）磁链ψ=NΦ=L·i

ψ=f(i)当i变化时：

注：

Φ（

ψ）与i符合右螺旋法则； u与i取关联参考方向。

§11—1、2耦合电感的伏安关系3第3页，共42页，2023年，2月20日，星期三

二、两个有耦合的线圈（双口元件）【情况1】线圈1、2的磁链分别为ψ1、ψ2ψ1=f1(i1、i2)，ψ2=f2(i1、i2)自感磁通：Φ11、Φ22分别为电流i1、 i2对本身线圈产生的磁通。ψ1=ψ11+ψ12=N1Φ11+N1Φ12=L1i1+M12i2ψ2=ψ22+ψ21=N2Φ22+N2Φ21=L2i2+M21i2自感磁链：ψ11=N1Φ11=L1i1即线圈1电流i1对本身线圈产生的磁链。ψ22=N2Φ22=L2i2即线圈2电流i2对本身线圈产生的磁链。互感磁通：Φ21——

线圈1的电流i1对线圈2产生的磁通；Φ12——

线圈2的电流i2对线圈1产生的磁通。Φ21=K21·Φ11

（K21

为Φ11

对线圈2的耦合系数）

Φ12=K12·Φ22

（K12

为Φ22

对线圈1的耦合系数）

两者同向Φ11N1Φ22+–u1i111'+–u2i22'2Φ21Φ12N2●●4第4页，共42页，2023年，2月20日，星期三在线性磁介质的情况下，可以证明M12=M21=M式中：M——

称为互感系数（简称为互感）若忽略线圈的损耗，上述有耦合的两线圈的电路模型如下图所示：122'1'++––u1u2L1L2Mi1i2●●根据电磁感应定律：式中：自感电压：，分别为线圈1和线圈2的自感电压；由线圈自身电流产生互感电压：，分别为线圈1和线圈2的互感电压。由对方线圈电流产生互感磁链：ψ12=N1Φ12=M12i2

即线圈2电流i2对线圈1产生的磁链。ψ21=N2Φ21=M21i1

即线圈1电流i1对线圈2产生的磁链。5第5页，共42页，2023年，2月20日，星期三2'Φ11N1Φ22+–u1i111'+–u2i22Φ21Φ12N2●●【情况2】线圈2的绕向与【情况1】相反。由图知：互感磁通Φ12

与Φ21两者反向。作与前面相似的分析，有：ψ1=ψ11+ψ12=L1i1–M·i2ψ2=ψ22+ψ21=L2i2–M·i1其电路模型如右下图所示，VAR为：122'1'++––u1u2L1L2Mi1i2●●注：1）Mi2前为负号是由于i2在线圈1中产生的互感磁通与i1在该线圈中产生的 自感磁通反向；

2）Mi1前为负号是由于i1在线圈2中产生的互感磁通与i2在该线圈中产生的 自感磁通反向。6第6页，共42页，2023年，2月20日，星期三

由此可见，互感电压的极性（正负）不仅与线圈的相对绕向有关，而且还与它们的相对位置有关（当然还与电压、电流的参考方向有关）。但电路模型（符号）并不表示线圈的实际绕向和相对位置，而且实际上的线圈都要包上绝缘层，有的还要经过浸漆，甚至是密封的，所以线圈的实际绕向是看不出来的。电工技术中，一般用标注同名端的方法来反映线圈的相对绕向和相对位置。由图知：此时两线圈电流产生的互感磁通与【情况2】相同。因此，其端钮VAR也应为【情况3】线圈1、2的绕向与【情况1】相同，但相对位置不同。2'+–u1i111'+–u2i22Φ21Φ12Φ22Φ11●●7第7页，共42页，2023年，2月20日，星期三三、同名端及其判别法1、同名端的含义（定义）：

当两线圈中的电流都是从同名端流入时，产生的互感磁通与自感磁通是同方向的。也就是说，分别从两线圈的某一端通同一方向的电流，若两线圈建立（产生）的磁通互相加强，则该两端为同名端。反之，若相互削弱，则该两端为异名端。abcdΦ●●﹡﹡

同名端又称同极性端。一般用符号“●”、“﹡”、“△”、“±”等表示。

★

电流从同名端流入（或流出）时，产生的磁通方向相同（使磁通加强）；或者当磁通变化（增大或减小）时，在同名端产生的感应电压的极性也相同。8第8页，共42页，2023年，2月20日，星期三2、同名端的判别若知线圈的绕向，则同名端易判（根据右手螺旋法则）。若不知其绕向，则要用实验的方法进行测定。～V～1234U12U34●●u⑴交流法

首先测出某两端是同一线圈并作标记；再给任一线圈加一较低且便于测量的电压；将两线圈的任一端连在一起（如2和3），用电压表测1、4端。V～V～

若电压表读数为两电压U12和U34之和，则1与3为同名端；反之，若为两电压之差，则1与4为同名端。4312mA–++––USiΦΦ'⑵直流法首先测出某两端是同一线圈并作标记；再给某一线圈经一开关加一较低且便于测量的直流电压；在另一线圈两端接一直流毫安表。mA–

开关S闭合瞬间：若指针正向偏转，则1与3为同名端；若指针反偏，则1与4为同名端。mA–9第9页，共42页，2023年，2月20日，星期三四、耦合电感伏安关系中各项正、负号确定法则

1、自感电压的正、负号取决于本端口电压与电流的参考方向是否为关联的，若为关联的，则取正号；否则，取负号。

2、互感电压的正、负号取决于同名端的位置和端口电压的极性，若产生互感电压的变化电流是从打“•”端流入的，则其互感电压在打“•”端是正“+”极性，如果这个极性与端口电压的参考极性一致，则取正号；否则，取负号。例：试写出下图所示三电路的VAR。++––u1u2L1L2Mi1i2●●(a)++––u1u2L1L2Mi1i2●●(b)++––u1u2L1L2Mi1i2●●(c)10第10页，共42页，2023年，2月20日，星期三一、耦合电感的附加电压源等效电路

耦合电感的互感电压可看成是电路中一个附加的“电压源”，这个附加电压源类似于一个受控源，其电压受另一支路电流的控制。

如图(a)、(b)所示耦合电感电路可分别用图(c)、(d)含附加电压源电路等效代替，它们分别具有相同的VAR。++––u1u2L1L2Mi1i2●●(a)++––u1u2L1L2Mi1i2●●(b)++––u1u2L1L2i1i2(d)++––++––u1u2L1L2i1i2(c)++––

注：①原电路中同名端的位置关系在等效电路中由附加电压源的极性来反映，故在等效电路中不再有同名端的标注；②用附加电压源（类似受控源）代替互感电压后，按一般含受控源电路的分析方法分析即可。§11—2耦合电感线圈间的串联和并联11第11页，共42页，2023年，2月20日，星期三二、耦合电感的串联1、有耦合的两线圈的顺接串联（顺接——异名端相接）M●●L1L2+–ui(a)L1L2+–ui(b)––++由图(b)：u式中：L=L1+L2+2M顺接等效电感M●●L1L2+–ui(c)L1L2+–ui(d)––++由图(d)：u式中：L=L1+L2–2M反接等效电感2、有耦合的两线圈的反接串联（反接——同名端相接）12第12页，共42页，2023年，2月20日，星期三●

由于电感为无源元件，贮能WL=不可能为负值，因而电感L必须为正值。∴L1+L2–2M

≥0，即L1+L2≥2M故▲在正弦稳态时，上述VAR的相量形式为：1）顺接时：U=(jωL1+jωL2+2jωM)I●●等效阻抗2）反接时：U=(jωL1+jωL2–2jωM)I●●等效阻抗其中：ZM=jωM

称为互阻抗。13第13页，共42页，2023年，2月20日，星期三三、耦合电感的并联1、同名端并联（同侧并联）M●●L1L2+–u(a)●●i1i2电路如图(a)所示，其等效相量模型如图(b)所示。由图(b)列网孔方程为：jωM(I1–I2)●●jωL1+–(b)●jωL2++––●U●I1●I2●jωMI2●jωL1I1–jωL1I2+jωMI2=U●●●●●–jωL1I1+(jωL1+jωL2)I2=jωMI2–jωM(I1–I2)●●●●解得：∴等效阻抗Z即同侧并联等效电感为L14第14页，共42页，2023年，2月20日，星期三﹡2、异名端并联（异侧并联）M●●L1L2+–u(c)●●i1i2jωM(I1–I2)●●jωL1+–(d)●jωL2++––●U●I1●I2●jωMI2●电路如图(c)所示，其等效相量模型如图(d)所示。由图(d)列网孔方程为：jωL1I1–jωL1I2–jωMI2=U●●●●●–jωL1I1+(jωL1+jωL2)I2=

jωM(I1–I2)

–jωMI2●●●●解得：∴等效阻抗Z=jωL即异侧并联等效电感为L◆由于有耦合的两无源线圈并联后形成的等效电感仍是无源的，故L必为正值。故L1L2–≥0即又15第15页，共42页，2023年，2月20日，星期三因为两正数的几何平均值总是小于或等于其算术平均值，即（L1＞0，L2＞0）∴M的最大值只能是Mmax=四、耦合系数K

两个耦合线圈的电流所产生的磁通，一般情况下只有部分磁通相互交链，而彼此不交链的那一部分磁通称为漏磁通。它的大小表征了两个线圈耦合的紧密程度，通常用所谓耦合系数K来表示。电工技术中，把M与的比值定义为耦合系数，记作K

。即且0≤K≤1

K值反映了两线圈耦合的紧密程度；K值越大，表示漏磁通越小，即两线圈之间耦合越紧密。16第16页，共42页，2023年，2月20日，星期三1）K=1全耦合2）K≈1紧耦合3）K较小松耦合4）K=0无耦合●K值的大小与线圈的结构、两线圈的位置及周围磁介质的 性质有关。例：①将两线圈的导线并绕（K≈1）K≈1K≈0②两线圈相距较远，或使两线圈的轴线相互垂直（K≈0）

由此可知，改变或调整两线圈的相互位置可改变K的大小；当L1、L2一定时，也就相应改变了互感M的大小。◆在电力变压器中为了有效地传输功率，无线电技术中为了有效地传递信号，在这种情况下，常采用极紧密的耦合（使K→1）；但工程上有时要尽量减小互感的作用，以避免线圈之间的相互干扰，除采用屏蔽外，一个有效方法就是合理布置线圈的位置（使K→0）。17第17页，共42页，2023年，2月20日，星期三

在电工技术中，变压器得到了广泛的应用。变压器一般由两个或两个以上的有磁耦合的线圈组成。其线圈可分为两类：1）原边（原方、初级、一次）绕组（线圈）——与电源相接。2）副边（副方、次级、二次）绕组（线圈）——与负载相接。★能量通过磁耦合由电源传递给负载。变压器铁芯变压器：由铁磁物质作芯子（K大）。——非线性空芯变压器：以空气或任何非铁磁物质作芯子（K小）——线性●可用耦合电感作为空心（线性）变压器的电路模型。◆

本节讨论空心变压器在正弦稳态下的分析方法——反映阻抗法。§11—3空芯变压器电路的分析18第18页，共42页，2023年，2月20日，星期三■空芯变压器电路如图(a)所示，其相量模型如图(b)所示。+–uSL1L2Mi1i2●●(a)R1R2RLabdc+–jωL1(b)R1abUS●+–jωMI2●I1●jωL2R2RLdc–+jωMI1●I2●由图(b)列网孔方程：或写为Z11I1+Z12I2=US●●●Z21I1+Z22I2=0●●Ⅱ(R1+jωL1)I1+jωMI2=US●●●jωMI1+(R2+jωL2+RL)I2=0●●ⅠⅡ方程组中：Z11=R1+jωL1——

原边自阻抗（即不考虑耦合时的原边阻抗）Z22=R2+jωL2+RL——副边总阻抗（不考虑耦合时的副边阻抗）ZM=Z12=Z21=jωM——原、副边的互阻抗。Ⅱ方程组还可写为Ⅲ方程组：ⅢZ11I1+ZMI2=US●●●ZMI1+Z22I2=0●●19第19页，共42页，2023年，2月20日，星期三由Ⅲ方程组可解得原、副边电流相量为：原边输入阻抗：原边自阻抗副边回路在原边回路中的反映阻抗反映阻抗：反映阻抗体现了由于磁耦合而造成的副边回路对原边回路的影响。亦即由于互感的存在而在原边形成的附加阻抗。20第20页，共42页，2023年，2月20日，星期三▲空芯变压器原、副边等效电路⑴原边等效电路+–US●ab●I1Z11Zref=

注：副边等效电路中的电压源（即原边电流变化在副边线圈产生的互感电压）的极性是与同名端的位置有关的，应根据具体电路而定。+–●I2jωMI1●Z22=R2+jωL2+RL⑵副边等效电路cd+–●I2R2+jωL2RL或（此为从c、d端向左看进去的戴维南等效电路再与RL

相接）（空芯变压器电路）+–uSL1L2Mi1i2●●R1R2RLabdc21第21页，共42页，2023年，2月20日，星期三

例1：耦合电感L1=6H、L2=4H、M=3H，①若L2短路，求L1端 的电感值Lab；②若L1短路，求L2端的电感值Lcd。L1L2Mabcd

解：此题用反映阻抗法做较易。①②同理：例2：电路如图所示，求输出电压U2。●+–●●1Ω1Ωj2Ωj2Ωj3Ω+–I1●●U21000ºv解：22第22页，共42页，2023年，2月20日，星期三

当耦合电感中的两线圈有公共端时，可以将含耦合电感元件的电路变换为无耦等效电路来进行分析计算。亦即把具有互感的电路化为等效的无互感T形电路。这种处理方法称为去耦法（或互感消去法，或互感化无法）。§11—4耦合电感的去耦等效电路一、同侧情况（同名端相接为公共端）++––u1u2L1L2Mi1i2●●(a)同侧有互感●●●●++––u1u2LaLbLCi1i2(i1+i2)(b)同侧无互感由图(a)

：由图(b)

：根据等效的概念，由对应项相等可得：La

=L1–M，Lb

=L2–M，LC=M。23第23页，共42页，2023年，2月20日，星期三二、异侧情况（异名端相接为公共端）++––u1u2L1L2Mi1i2●●(c)异侧有互感●●●●++––u1u2LaLb–LCi1i2(i1+i2)(d)异侧无互感由图(c)

：由图(d)

：同样，根据等效的概念，由对应项相等可得：La

=L1+M，Lb=L2+M，Lc=M。24第24页，共42页，2023年，2月20日，星期三例：推导图(a)所示电路的输入阻抗Zi为：L1L2M●●(a)●●R1R2R0Zi●●(b)R1R2R0Zijω(L1–M)jω(L2–M)jωM去耦解：将图(a)所示电路去耦后得图(b)所示等效电路。由图(b)得：Zi==25第25页，共42页，2023年，2月20日，星期三Φ●●++––u1u2i1i2（铁芯变压器）++––u1u2N1N2i1i2●●1:n(N1、N2为原、副边匝数）理想变压器应满足三个条件：

1）变压器本身无损耗（R=0）；

2）全耦合（K=1）；3）L1、L2、M均为无穷大，但（n为匝比，又称变比； 是一常量）一、原、副边电压关系原边总磁通链：ψ1=ψ11+ψ12=N1(Φ11+Φ12)=N1Φ1副边总磁通链：ψ2=ψ22+ψ21=N2(Φ22+Φ21)=N2Φ2∵K=1（全耦合），故有Φ12=Φ22，Φ21=Φ11∴§11—5理想变压器的伏安关系26第26页，共42页，2023年，2月20日，星期三二、原、副边电流关系根据安培环路定律：N1i1+N2i2=H·l=·l≈0即即变压器原、副边电流之比与它们的匝数成反比。或②综合①、②式：根据条件①（无损耗）：即变压器原、副边电压之比与它们的匝数成正比。或即u2=nu1①++––u1u2N1N2i1i2●●1:n(N1、N2为原、副边匝数）相量式：++––●●1:nU1●U2●●I1●I227第27页，共42页，2023年，2月20日，星期三例如：下图所示电路的VAR为++––u1u2i1i2●●1:n++––●●1:nU1●U2●●I1●I2相量式：

（2）两端口电流的方向对同名端是相反的。即当两边电流皆为流入或流出同名端时，取负号；不一致时，取正号。

（1）两端口电压的极性对同名端是一致的。即当两边电压的参考极性与同名端的位置一致时，取正号；不一致时，取负号。▲理想变压器电压、电流关系式中正负号确定法则：（即理想变压器符号中的同名端是为确定伏安关系式中的正负号而标注的。）注：当同名端改变时，u、i关系式中的符号也应作相应的改变。28第28页，共42页，2023年，2月20日，星期三三、理想变压器与耦合电感之间的关系

1）理想变压器可看成是全耦合（K=1），电感L1、L2和互感M都趋于无穷大，且L2/L1=常数这一极限情况下的耦合电感。

2）耦合电感是动态元件、贮能元件、有记忆性；而理想变压器是一个无损耗、无记忆性元件（不是动态元件），既不贮能，也不耗能。

3）表征耦合电感要用三个参数（L1、L2、M），而表征理想变压器只用一个参数（n）。两者的电路符号十分相近，只能从参数的标注来判断是哪种元件。++––u1u2i1i2●●1:n又例：++––u1u2i1i2●●1:n29第29页，共42页，2023年，2月20日，星期三++––u1u2N1N2i1i2●●1:nRLRi如图：若在理想变压器副边接上电阻RL

，则从原边看进去的入端电阻为1）当n＞1时（升压变压器），Ri<RL；2）当n＜1时（降压变压器），Ri>RL。称为副边电阻对原边的折合值，简称为折合电阻。++––●●1:nU1●U2●●I1●I2ZiZL●正弦稳态下，副边接负载阻抗ZL，则Zi即副边阻抗对原边的折合值，简称为折合阻抗。§11—6理想变压器的阻抗变换性质30第30页，共42页，2023年，2月20日，星期三●注：折合电阻或折合阻抗的计算与同名端无关；且经过变换后， 阻抗的性质不变。证：副边同名端位置改变后，如图示。++––u1u2N1N2i1i2●●1:nRLRi★由此可见，匝比不同，负载阻抗折算到原边的等效阻抗就不同；通过改变匝比，选择合适的等效阻抗，使负载获得最大功率——称为阻抗匹配。◆此外，若在原边回路内串有电阻R，如图示，则从副边看进去的 等效电阻（折合电阻）为++––u1u2i1i2●●1:n+–uRR0称为原边电阻对副边的折合值。注：求R0时，原边电压源短路（u1=0）。由以上分析知：①副边电阻除以后，可由副边移到原边来；②原边电阻乘以后，可由原边移到副边来。31第31页，共42页，2023年，2月20日，星期三解：(1)依题意，可得或例：电路如图所示，(1)试选择匝比使传输到负载的功率为最大； (2)求R获得的最大功率。+–i1i2●●1:nRR01000ºv××××Ri1Ω(2)或32第32页，共42页，2023年，2月20日，星期三一、本身无损耗

即原边和副边电阻R1、R2均为0。实际上不可能做到。但当R1、R2均很小，可忽略不计时，则近似认为无损耗。二、全耦合（）——即无漏磁通。Φ●●++––u1u2i1i2Φ11=Φ21Φ22=Φ12Φ=Φ1+Φ2=Φ11+Φ12=Φ22+Φ21=Φ11+Φ22主磁通（互磁通）：即穿过两线圈的磁通Φ是一样的。

为了实现全耦合，把原边线圈和副边线圈同绕在一个用磁导率μ为无限大的磁性材料制成的芯子上，使全部磁通都限制在芯子中。实际上办不到。因为磁性材料（如铁、镍、钴及其合金等），其μ

不可能为无穷大，但可认为绝大部分磁通都限制在芯子内，而只有少量的漏磁通。三、电感L1、L2和互感M均为无穷大

一是使用磁导率高的材料做芯子；二是在保证匝比不变的情况下，尽可能使原、副边线圈的匝数增多（电感与线圈匝数的平方成正比），可以使电感很大。§11—7理想变压器的实现33第33页，共42页，2023年，2月20日，星期三

工程中实际使用的铁芯变压器与理想变压器有差别，因为变压器不可能做到无损耗、全耦合、自感和互感为无穷大，且铁芯变压器严格地说是非线性的。实际变压器除了可用一般具有耦合电感的电路进行分析外，还常常用含有理想变压器的电路模型来表示。

一、若能认为变压器较近似地满足了本身无损耗、全耦合、自感和互感为无穷大的条件；或对分析要求不高，允许存在相当误差，则用理想变压器作为模型。++––u1u2i1i2●●1:n例如：电子设备中的电源变压器属此。VAR：§11—8铁芯变压器的模型34第34页，共42页，2023年，2月20日，星期三二、无损耗，但自感和互感不为无穷大的全耦合变压器Φ●●++––u1u2i1i2Φ1Φ2N1N2∵K=1∴Φ1=Φ2=Φ且由（这种变压器满足理想变压器的条件①和②。）即35第35页，共42页，2023年，2月20日，星期三用耦合电感表示的电路模型如图(a)所示，其相量模型如图(b)所示。▲原、副边电流之间的关系：++––u1u2L1L2Mi1i2●●(a)++––jωL1jωL2jωM●●(b)U1●U2●I1●I2●由图(b)：U1=jωL1I1+jωMI2●●●=jωL1(I1+nI2)●●=jωL1IΦ●磁化电流：（励磁电流）且IΦ

=I1+nI2●●●●∴I1=IΦ

–nI2=IΦ

+

I'1

其中：I'1=–nI2

●●●●●●①磁化电流（又称励磁电流、空载电流）IΦ

；●此式表明，原边电流I1

包含两部分电流：●●②原边电流负载分量（即副边电流折算到原边的电流分量）I'1

。其作用：建立磁动势抵消副边电流的去磁作用。36第36页，共42页，2023年，2月20日，星期三●

全耦合无损耗变压器的电路模型如图(a)所示，其相量模型 如 图(b)所示。（图中：L1=LM——磁化电感）++––u1u2N1N2i1i2●●1:ni'1iΦ●●L1LM(a)++––N1N2●●1:n●●L1LM(b)I'1●I1●IΦ●I2●U1●U2●注：

I'1和I2的关系与变比为的理想变压器原、副边电流关系相同。●●★在无线电工程中常用到带有抽头的电感线圈，其绕组密集地绕在高频磁芯上，这种线圈可看成是全耦合自耦变压器，可用来改变元件参数值使之达到设计要求。若次级所接元件分别为R、L、C时，则在初级所得元件的折合值分别为R/、L/、C。●●N1N2R、L、C（自耦变压器）●37第37页，共42页，2023年，2月20日，星期三三、非全耦、自感和互感不为无穷大的无损耗变压器Φ●●++––u1u2i1i2ΦS1N1N2ΦS2由于K≠1，故有漏磁通存在。Φ21≠Φ11

，Φ12≠Φ22

Φ——主磁通（工作磁通、互磁通）ΦS1——原边漏磁通（不与副边交链）ΦS2——副边漏磁通（不与原边交链）原边磁通Φ1=Φ+ΦS1副边磁通Φ2=Φ+ΦS2原边磁链ψ1=N1Φ+ψ