初中数学抛物线与几何专题训练及答案

PAGE全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点式：y=a(x—h)2＋k；3、交点式：y=a(x—x1)(x—x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。

【例2】(江苏常州)如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x<0、②当点P在第四象限是，x>0这二种情况。

BOAPM【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．BOAPM（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点的横坐标为,①用的代数式表示点的坐标；②当为何值时，线段最短；（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（2）构建关于的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点落在直线的下方时、当点落在直线的上方时讨论。

【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。

【例5】（山东济南）已知：抛物线(a≠0)，顶点C(1，)，与x轴交于A、B两点，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）COxADPMEBNy（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，COxADPMEBNy立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE，同理:（3）证PH=BH且△APM∽△PBH再证△MEP∽△EGF可得。

【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）2、（广东肇庆）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的与轴交于两点，为的切线，切点为，圆心的坐标为，二次函数的图象经过两点．yxOAyxOABMO1（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．AOxyBFAOxyBFC与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．yxODECFAB6、yxODECFAB负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．（1）判断点是否在轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．

7、（苏州市）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜，写出探索过程．

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-2MODNxP抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例1】(浙江杭州)（1）∵平移的图象得到的抛物线的顶点为,∴抛物线对应的解析式为:.∵抛物线与x轴有两个交点，∴.令,得，,∴)()|,即,所以当时,存在抛物线使得.--2分(2)∵,∴,得:,解得.在中,1)当时,由,得,当时,由,解得,此时,二次函数解析式为;当时,由,解得,此时，二次函数解析式为++.2)当时,由,将代,可得,,（也可由代，代得到）所以二次函数解析式为+–或.【例2】(江苏常州)（1）∵∴A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1()四边形ABP3O为直角梯形时，P1()四边形ABOP4为直角梯形时，P1()（3）

由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线的函数关系式是y=-2x①当点P在第二象限时，x<0,△POB的面积∵△AOB的面积，∴∵，∴即∴∴x的取值范围是②当点P在第四象限是，x>0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′则四边形POA′A的面积

∵△AA′B的面积∴∵，∴即∴∴x的取值范围是

BOAPM（第24题）【例3】（浙江丽水）（1）设BOAPM（第24题）∵（2，4），∴,,∴所在直线的函数解析式为（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，∴（0≤≤2）.∴顶点的坐标为(,).∴抛物线函数解析式为.∴当时，（0≤≤2）.∴点的坐标是（2，）.②∵==，又∵0≤≤2，∴当时，PB最短（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.假设在抛物线上存在点，使.设点的坐标为（，）.①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，∵，，DOABPMCE∴，∴，DOABPMCE∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.∵，∴点落在直线上.∴=.解得，即点（2，3）.∴点与点重合.∴此时抛物线上不存在点，使△与△的面积相等.②当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），∴直线函数解析式为.∵，∴点落在直线上.∴=.解得：，.代入，得，.∴此时抛物线上存在点，使△与△的面积相等.综上所述，抛物线上存在点，使△与△的面积相等.【例4】（广东省深圳市）（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）将A、B、C三点的坐标代入得解得：所以这个二次函数的表达式为：（2）存在，F点的坐标为（2，－3）易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为： ∴E点的坐标为（－3，0）∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合∴存在点F，坐标为（2，－3）（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R），代入抛物线的表达式，解得②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0），则N（r+1，－r），代入抛物线的表达式，解得∴圆的半径为或．（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，易得G（2，－3），直线AG为．设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ．

当时，△APG的面积最大此时P点的坐标为，．

【例5】（山东济南）(1)设抛物线的解析式为将A(－1，0)代入:∴∴抛物线的解析式为，即：（2）是定值，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE∴△APM∽△ABE，∴①同理:②①+②:（3）∵直线EC为抛物线对称轴，∴EC垂直平分AB∴EA=EB∵∠AEB=90°∴△AEB为等腰直角三角形．∴∠EAB=∠EBA=45° 7分如图，过点P作PH⊥BE于H，由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形，∴PH=ME且PH∥ME在△APM和△PBH中∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°∴PH=BH且△APM∽△PBH∴∴①在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGF∴②由①、②知：

【学力训练】1、（广东梅州）（1）DC∥AB，AD=DC=CB，∠CDB=∠CBD=∠DBA，∠DAB=∠CBA，∠DAB=2∠DBA，∠DAB+∠DBA=90，∠DAB=60，∠DBA=30，AB=4，DC=AD=2，RtAOD，OA=1，OD=，A（-1，0），D（0，），C（2，）．（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），故可设所求为=（+1）（-3）将点D（0，）的坐标代入上式得，=．所求抛物线的解析式为=其对称轴L为直线=1．（3）PDB为等腰三角形，有以下三种情况：①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，P1DB为等腰三角形；②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3，P2DB，P3DB为等腰三角形；③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得BD=BP4，BD=BP5．由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．2、（广东肇庆）（1）由5=0， （1分）得，．∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S--=--=5（个单位面积）（3）如：．事实上，=45a2+36a3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a∴．3、（青海西宁）（1）圆心的坐标为，半径为1，，……1分二次函数的图象经过点，可得方程组解得：二次函数解析式为（2）过点作轴，垂足为．是的切线，为切点，（圆的切线垂直于经过切点的半径）．yAHFMyAHFMOP1P2O1xB为锐角，，在中，．．点坐标为设切线的函数解析式为，由题意可知，切线的函数解析式为（3）存在．①过点作轴，与交于点．可得（两角对应相等两三角形相似），②过点作，垂足为，过点作，垂足为．可得（两角对应相等两三角开相似）在中，，，在中，，，符合条件的点坐标有，4、（辽宁12市）解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点．，点都在抛物线上，

抛物线的解析式为顶点（2）存在AOxyAOxyBFC图9HBM理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点，则点就是所求的点．

过点作于点．点在抛物线上，在中，，，，在中，，，，设直线的解析式为解得

解得在直线上存在点，使得的周长最小，此时．

5、（四川资阳）(1)∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，∴∠OCA+∠OCB=90°，又∵∠OCB+∠OBC=90°，图10∴∠OCA=∠OBC图10又∵∠AOC=∠COB=90°，∴ΔAOC∽ΔCOB，∴．又∵A(–1，0)，B(9，0)，∴，解得OC=3(负值舍去)．∴C(0，–3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x–9)，∴–3=a(0+1)(0–9)，解得a=，∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x–9)，即y=x2–x–3．(2)∵AB为O′的直径，且A(–1，0)，B(9，0)，∴OO′=4，O′(4，0)，∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，连结O′D交BC于点M，则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．∴D(4，–5)．图10答案图1∴设直线BD的解析式为y=kx+b（图10答案图1∴解得∴直线BD的解析式为y=x–9.(3)假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，设射线DP交⊙O′于点Q，则．分两种情况(如答案图1所示)：①∵O′(4，0)，D(4，–5)，B(9，0)，C(0，–3)．∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1(7，–4)符合，∵D(4，–5)，Q1(7，–4)，∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x–．解方程组得∴点P1坐标为(，)，[坐标为(，)不符合题意，舍去]．②∵Q1(7，–4)，∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(7，4)也符合．∵D(4，–5)，Q2(7，4)．∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x–17．解方程组得∴点P2坐标为(14，25)，[坐标为(3，–8)不符合题意，舍去]．∴符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)．

6、（辽宁沈阳）（1）点在轴上理由如下：连接，如图所示，在中，，，，由题意可知：

点在轴上，点在轴上．（2）过点作轴于点，在中，，点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，

由题意，将，代入中得解得所求抛物线表达式为：（3）存在符合条件的点，点． 10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为．由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为点在抛物线上

解得，，，以为顶点的四边形是平行四边形，yxODEyxODECFABM当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，．