2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共30.0分.）1.已知∠A=35°，则∠A的余角等于(

)A.55° B.90° C.65° D.145°2.在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝110粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为0.0009dm，则“飞刃”的直径(dm)用科学记数法表示为(

)A.9×10−4 B.9×10−3 C.3.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB.若∠DOE=2∠AOC，则∠BOD的度数为(

)A.25° B.30° C.60° D.75°4.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是(

)A.(2x+y)(y−2x) B.(x+2)(2+x) C.(−a+b)(a−b) D.(a+b)(−a−b)5.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)，开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是(

)A.两点之间线段最短

B.点到直线的距离

C.垂线段最短

D.两点确定一条直线6.一副三角板摆放如图所示，直角边CD与直角边AB相交于点F，斜边DE/​/BC，∠B=30°，则∠CFB的度数是(

)A.95° B.115° C.105° D.125°7.有一个等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则这个等腰三角形的底边长为(

)A.4 B.6 C.4或8 D.88.某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度ℎ(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如下表所示：支撑物高度ℎ(cm)10203040506070小车下滑时间t(s)4.233.002.452.131.891.711.59根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是(

)A.支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13s

B.支撑物的高度ℎ越大，小车下滑时间t越小

C.若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间

D.若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s9.一个长方形的面积为3x2+2x，它的一条边长为x，则它的周长为A.8x+4 B.8x+2 C.4x+2 D.6x+410.如图①.在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE.点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C.图②是点P运动时，△APE的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象.当x=7时，y的值为(

)

A.7 B.6 C.132 D.二、填空题（共7小题，共21.0分）11.若am=2，an=4，则a12.如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB/​/CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A’、D’对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为______⋅

13.若(x+3)(x−2)=x2+mx+n，则6m+2n的值为______14.某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按8.5折优惠.”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x件(x>2)，则应付货款y(元)与商品件数x的关系式是______．15.如果4x2−mx+49可以写成一个多项式的平方的形式，那么m的值是______16.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F.小明发现，无论怎祥变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为______．

17.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD，点E在AD上，且AE=13DE，EF⊥BD于点F.若BC=10，EF=3，则△ABC的面积为______三、计算题（共1小题，共6.0分）18.先化简再求值：[(3a+b)2−(b+3a)(3a−b)−6b2]÷(−2b)，其中四、解答题（共7小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题12.0分)

计算：

(1)−12013+(π−3.14)0+(12)20.(本小题5.0分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°.请用尺规作图法，在边AB上找一点D并连接CD，使得∠CDB=120°.(不写作法，保留作图痕迹)21.(本小题8.0分)

如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2，试说明∠3=∠E．

证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF，(已知)

∴∠ABD=∠CDF=90°，(______)

∴______/​/______，(______)

∵∠1=∠2，(已知)

∴______/​/______，(______)

∴CD/​/EF，(______)

∴∠3=∠E.(两直线平行，同位角相等)22.(本小题8.0分)

某天，小鹿和小明约好去小明家，小鹿骑车从家出发，小明担心小鹿走错路，于是从家骑车出发去接小鹿，骑行一段时间后，小鹿自行车发生故障，只得在原地等待，没过多久，碰到小明，于是小明载着小鹿一起回家，之后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半.在这过程中，小鹿，小明两人离小鹿家的距离s(km)与所用时间t(min)之间的关系如图所示.请根据图中信息，回答下列问题：

(1)点A的实际意义是：______；

(2)相遇后，两人还要多少分钟到达小明家？23.(本小题8.0分)

在△ABC中，∠ACB>∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．

(1)若∠B=36°，∠ACB=78°，则∠E=______；

(2)当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=1224.(本小题10.0分)

如图①是一个长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四个完全相同的小长方形，然后用这四块小长方形拼成如图②所示的正方形．

(1)观察图②，直接写出(a+b)2，(a−b)2，ab三者的等量关系式；

(2)根据(1)的结论解答问题：如图③，正方形ABCD与AEFG边长分别为x、y.若xy=18，BE=3，求图③25.(本小题12.0分)

汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、黄河并列，舍称“江海河汉”.每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ顺时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即PQ/​/MN，且∠BAN=30°，转动时间是t秒．

(1)当t=______秒时，灯A射线第一次平分∠BAM，此时灯A射线记为射线AT，当t=______秒时，灯A射线第一次与射线AT垂直；

(2)若两灯同时转动，t=90秒时，两束光线所在直线的位置关系是______；(填“平行”或“垂直”)

(3)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BP之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．

答案和解析1.【答案】A

解：∵∠A=35°，

∴∠A的余角=90−35°=55°．

故选：A．

根据余角的定义即可求解．

本题考查了余角的知识，掌握互余两角之和等于90°是解题的关键．

2.【答案】C

解：0.0009×110dm=9×10−5dm．

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×3.【答案】B

解：∵EO⊥AB，

∴∠BOE=90°，

即∠BOD+∠DOE=90°，

∵∠DOE=2∠AOC，

∴∠DOE+2∠AOC=90°，

∴∠AOC=30°，

∵∠BOD=∠AOC，

∴∠BOD=30°．

故选：B．

利用余角的关系，求得∠AOC，由对顶角相等，即可求得∠BOD．

本是考查了互余两角的关系，对顶角相等，掌握互余的两个角的和是90°是关键．

4.【答案】A

解：∵(2x+y)

(y−2x)=(y+2x)(y−2x)=y2−4x2，

∴选项A符合题意；

∵(x+2)(2+x)=(x+2)2，

∴选项B不符合题意；

∵(−a+b)(a−b)=−(a−b)2，

∴选项C不符合题意；

∵(a+b)(−a−b)=−(a+b)2，

∴选项5.【答案】C

解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)，开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是：垂线段最短，

故选：C．

根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．

此题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

6.【答案】C

解：由题意知：∠ADF=45°，

∵BC/​/DE，

∴∠D=∠DCB=45°，

∵∠B=30°，

∴∠CFB=180°−∠B−∠FCB=180°−30°−45°=105°，

故选：C．

由题意可知∠ADF=45°，则由平行线的性质可得∠D=∠DCB，从而可求∠CFB的度数．

此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．

7.【答案】A

解：当4为等腰三角形的底边长时，则这个等腰三角形的底边长为4；

当4为等腰三角形的腰长时，底边长=16−4−4=8，4、4、8不能构成三角形．

故选：A．

分4为等腰三角形的底边长与腰长两种情况进行讨论．

本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

8.【答案】D

解：A、由图表可知，当ℎ=40cm时，t=2.13s，故A不符合题意；

B、支撑物高度ℎ越大，小车下滑时间t越小，故B不符合题意；

C、若小车下滑时间为2s，则支撑物高度在40cm至50cm之间，故C不符合题意；

D、若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次不一定减少0.5s，故D符合题意．

故选：D．

根据函数的表示方法对各选项进行逐一分析即可．

本题考查了函数的表示方法，观察表格获得信息是解题关键．

9.【答案】A

解：由题意得：这个长方形的另一条边长为(3x2+2x)÷x=3x+2，

则它的周长为2(3x+2+x)=8x+4，

故选：A．

根据长方形的面积公式求出另一条边长，再根据长方形的周长公式即可得．10.【答案】C

解：设正方形的边长为a，

①当点P在点D时，y=12AB·AD=12a·a=8，解得：a=4，

②当点P在点C时，y=12EP·AB=12EP×4=6，解得：EP=3，即EC=3，BE=1，

③当x=7时，如下图所示：

此时，PC=1，PD=7−4=3，

当x=7时，y=S正方形ABCD−(S△ABE+S△ECP+S△APD)=4×4−12(4×1+1×3+4×3)=132，

故选：C．

①当点P在点D11.【答案】8

解：am+n=am⋅an=2×4=8，

故答案为：8．

12.【答案】72°

解：由翻折的性质可知：∠AEF=∠FEA′，

∵AB/​/CD，

∴∠AEF=∠1，

设∠2=x，则∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，

∵∠AEB=180°，

∴5x=180°，

∴x=36°，

∴∠AEF=2x=72°，

故答案为：72°．

由题意∠1=2∠2，设∠2=x，易证∠AEF=∠1=∠FEA′=2x，构建方程即可解决问题．

本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．

13.【答案】−6

解：∵(x+3)(x−2)=x2+x−6=x2+mx+n，

∴m=1，n=−6，

∴6m+2n=6+2×(−6)=−6，

故答案为：−6．

根据多项式乘多项式，再利用多项式相等的条件求出m14.【答案】y=51x+15

解：∵x>2，

∴y>100，

∴y=100+0.85(60x−100)

=51x+15，

∴应付货款y(元)与商品件数x的函数关系式是：y=51x+15，

故答案为：y=51x+15．

根据题意可得y>100，所以应付货款y=100+超过100的按8.5折优惠后的部分，进行计算即可解答．

本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．

15.【答案】±28

解：∵4x2−mx+49可以写成一个多项式的平方的形式，

∴m=±2×2×7=±28，

故答案为：±28．

根据完全平方式a216.【答案】135°

解：∵∠C=90°，

∴∠CAB+∠CBA=90°，

∵AD平分∠CAB，EB平分ABC，

∴∠FAB=12∠CAB，∠FBA=12∠CBA，

∴∠FAB+∠FBA=12(∠CAB+∠CBA)=45°，

∴∠AFB=180°−45°=135°．17.【答案】20

解：∵BC=10，点D是BC的中点，

∴BD=DC=12BC=5，

∵EF⊥BC，且EF=3，

∴S△BDE=12BD⋅EF=12×5×3=152，

又∵AE=13DE，

∴S△ABE=13S△BDE=118.【答案】解：原式=(9a2+6ab+b2−9a2+b2−6b2)÷(−2b)【解析】原式中括号中利用完全平方公式及平方差公式计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到结果，将a与b的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题关键．

19.【答案】解：(1)−12013+(π−3.14)0+(12)−2

=−1+1+4

=4；

(2)(−2ab2)2+4a2b⋅(−3【解析】(1)先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可；

(2)先算乘方，单项式乘单项式，再合并同类项即可；

(3)先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可．

本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】解：如图：点D即为所求．

【解析】作AD=AC，得到等边三角形ACD即可．

本题考查了复杂作图，掌握等边三角形的性质是解题的关键．

21.【答案】垂直定义

AB

CD

同位角相等，两直线平行

AB

EF

内错角相等，两直线平行

平行于同一条直线的两条直线平行

解：∵AB⊥BF，CD⊥BF(已知)，

∴∠ABD=∠CDF=90°(垂直定义)，

∴AB/​/CD(同位角相等，两直线平行)，

∵∠1=∠2(已知)，

∴AB/​/EF(内错角相等，两直线平行)，

∴CD/​/EF(平行于同一条直线的两条直线平行)，

∴∠3=∠E(两直线平行，同位角相等)．

故答案为：垂直定义；AB；CD；同位角相等，两直线平行；AB；EF；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．

根据垂直定义求出∠ABD=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB/​/EF，EF//CD，根据平行公理得出CD/​/EF，即可得出答案．

本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．

22.【答案】小明和小鹿出发40分钟时相遇

解：(1)由图象可知，点A的实际意义是：小明和小鹿出发40分钟时相遇，

故答案为：小明和小鹿出发40分钟时相遇；

(2)相遇前，小鹿骑行距离为8千米，用时30分钟，

∴相遇前小鹿的速度：830=415(千米/分钟)，

相遇后两人骑行速度变为小鹿之前骑行速度的一半，

∴相遇后两人的速度为215千米/分钟，

∴(12−8)÷215=4×152=30(分钟)，

∴23.【答案】21°

解：∵∠B=36°，∠ACB=78°，

∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB=66°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=12∠BAC=33°．

∴∠ADC=∠B+∠BAD=69°．

又∵∠DPE=90°，

∴∠E=90°−∠ADC=21°；

故答案为：21°；

(2)证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠BAC=180°−(∠B+∠ACB)．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=12∠BAC=90°−12(∠B+∠ACB)．

∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°−12(∠ACB−∠B)．

∵PE⊥AD，

∴∠DPE=90°．

∴∠ADC+∠E=90°．

∴∠E=90°−∠ADC，

即∠E=12(∠ACB−∠B)．

(1)首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC24.【答案】解：(1)由题意得：(a+b)2=(a−b)2+4ab；

(2)由(1)可得：(x+y)2=(x−y)2+4xy，

∵xy=18，BE=x−y=3，

∴(x+y)2=32+4×18=81，

∴x+y=9或x+y=−9(舍去)，

∴图③中阴影部分的面积和=△DFC的面积+△EFB的面积

=12x(x−y)+12y(x−y)

=【解析】(1)利用面积法进行计算，即可解答；

(2)利用(1)的结论可得：(x+y)2=(x−y)2+