多面体欧拉定理的发现

多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球，提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点，几条棱，几个面？以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入，可以调节课堂气氛，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察能力和动手操作的能力，同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数，面数，棱数.【新课讲解】1.尝试猜想：以小组为单位，要求学生自己再举一些多面体，数一数它们的面数，棱数，顶点数，把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+FE=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特一般的规律•同时可以培养学生的动手，创新能力和交流协作的能力。介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）（大约1-2分钟）欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文•欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用f（x）表示•函数、工表示连加、i表示虚数单位、n、e等。【注】更多介绍见最后【阅读材料】。【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力，促进学生非智力因素地发展.构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2情况3：拖动O情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3多面体顶点数棱数面数顶点数+面数棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想.可以培养学生空间想象能力，表达能力及创造能力。简单多面体概念的引入提问：图3中的多面体与我们学过的多面体有什么不同?教师指出：欧拉研究多面体有一种创意，那就是假设它的表面是用橡胶薄膜做成的，然后充气，在连续变形且不破裂的前提下，把平面变成了曲面。（多媒体演示）教师顺势得出简单多面体的概念。完善猜想如何修正猜想？【设计意图】自然地引入简单多面体概念，同时让学生发现欧拉公式的适用范围，从而完善猜想.通过多媒体动态演示可以更好地理解简单多面体地概念.6.构建平台1：分析欧拉公式：V+F-E=2若棱数和面数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？若棱数和顶点数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗?7.构建平台2：

（1）让学生探求平面图形的V+F-E的值学生探讨：图形中每增加一个顶点图形中每减少一个顶点图形中每减少一条棱，V+F-E的值为多少V+F-E的值为多少V+F-E的值为多少V+F-EV+F-E的值为多少V+F-E的值为多少V+F-E的值为多少V+F-E的值为多少BBV+FE=18．欧拉公式的证明提问：现在给你任意一个简单多面体（如下图1），假想它的面也是用橡胶薄膜做成的,内部是空的.如何证明V+F-E=2?（学生很可能回答不出来，此时教师可进行适当的引导）CFG图4FG图5G图6GCFG图4FG图5G图6G图7G图8教师引导1：拉成平面图后（图2），它的V+F-E的值为多少？如何证明平面图的V+F-E=l?能不能通过减少棱数来实现呢?教师引导2：在平面图2中，若去掉它周围的一条棱,）此时V+F-E有变化吗？这样可以逐步把“周围”的棱 去掉，同时保持V+F-E的值不变.最后剩下什么图形（如图8）,此时V+F-E的值为多少?（V+F-E=1）【设计意图】通过平台1引导学生探讨欧拉公式，其目的是让学生明白同时减少棱数，面数或同时减少棱数，顶点数，V+F-E的值不变。

通过平台2让学生自主的探讨平面图形的点，线，面的关系，其目的是让学生明白平面图形的V+F-E=l,空间问题平面化。如果学生提出其它证法，可以讨论，辨别后作出评价。归纳反思欧拉公式的探索过程:发现－猜想－再发现－完善猜想－证明猜想新的几何领域：拓扑学欧拉公式的另一证明把“立体图”的面ABCDE煎掉后，其余各面铺开。展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。设多面体F个面，各面边数分别为n，n，…，n，1 2 F则内角总和为(n+n+•・・+n)・180°-2F・180°，_ 1 2 F设多面体有V个顶点，底面是m边形，则“展开图”有V-m个顶点在中间，则内角总和为(V-m)・180°+(m-2)・180°+(m-2)・180°=(V-2)-360°,・・.(n+n+・・・+n)-180-2F-180=(V-2)-360，1 2 F又n+n+ +n=2E，1 2 F・・・V+F-E=2.11．定理的意义(1)数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形(立体图—平面图)。引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数棱数等不变。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料(如橡皮波)做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-Ef(p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f(p)=2。除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f(p)=16+16-32=0，所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。【例题讲解】例1:欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C有重大贡献的三位科学家。C是由60个C原子构成6060的分子，它是形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算C分子中五边形和六边形的数目。60解：设C分子中有五边形x个，六边形y个。60C分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x+y,棱数E=1x(3x60)，602由欧拉定理得：60+(x+y)-2(3x60)=2 (1)，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得2(5x+6y)=2(3x60) (2)，由(1)(2)得：x二12，y=20・•・C60分子中五边形有12个，六边形有20个。例2：有没有棱数是7的简单多面体？解：假设有一个简单多面体的棱数E=7.根据欧拉公式得：V+F=E+2=9因为多面体的顶点数V24,面数F24,所以只有两种情形:V=4，F=5或V=5，F=4.但是，有4个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点.所以假设不成立，没有棱数是7的简单多面体例3.由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。证明：设正多面体的每个面的边数为n，每个顶点连有m条棱，令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，由于每条边都是两个nF面的公共边，故多面体棱数E—(1)令这个多面体有V个顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV条棱。由于每条棱有mV两个顶点，故多面体棱数E=-^ (2)由（1）（2）得：F=2E，V=2E代入欧拉公式：2E+2E-E=2.nm mn11113），+一一_=—

mn2E3），•/又m>3，n>3，但m，n不能同时大于3，(若m>3，n>3•/又m>3，n>3，mn2即E<0这是不可能的)

1111m,n中至少有一个等于3.令n=3，则一+三一三= >0,m32E丄>-，.:m<5，.:3<m<5.同样若m=3可得3<n<5.m6【阅读材料】欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。-707年4月-5日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，-3岁入读巴塞尔大学-5岁大学毕业，-6岁获硕士学位，-783年9月-8日于俄国彼得堡去逝。欧拉是-8世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，-909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如sinx,cosx,……等等现今已经成为数学的国际语欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰•伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉•伯努力和丹尼尔•伯努利也结成了亲密的朋友。欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯以后陆续得奖多次。1725年丹尼尔兄弟赴俄国，向沙皇喀德林一世推荐欧拉，欧拉于1727年5月17日到了彼得堡，1733年丹尼尔回巴塞尔，欧拉接替他任彼得堡科学院数学教授，时年仅26岁。1735年，欧拉解决一个天文学的难题(计算彗星轨道)。这个由几个著名数学家，经过几个月的努力才得以解决的问题，欧拉却以自己发明的方法，三日而成。1741—1766年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，在柏林担任柏林科学院物理数学所所长，1766年，在俄国沙皇喀德林二世的诚恳敦聘了重回彼得堡。1771年彼得堡失火，殃及欧拉住宅,带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火之中。紧急关头，为他做家务的一个工人冒着生命危险，冲进火中把欧拉抢救出来,欧拉的书库及大量研究成果全部化为灰烬。沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉在完全失明之前，左眼还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生和大儿子A欧拉（1734—1800年，也是数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明之后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。欧拉的记忆和心算能力是罕见的，他能够复述青年时代笔记的内容，高等数学一样可以用心算去完成。有一次，欧拉的两个学生，分别把一个很复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字时，结果相差一个单位。欧拉为了确定究竟谁计算得对，用心算进行了全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的十七年中，还解决了使牛顿头痛的月离（月球运行）问题和很多复杂的分析问题。欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家。从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉。1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭。那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”。历史学家把