第四章根轨迹设计

第四章根轨迹设计第1页，共66页，2023年，2月20日，星期四根轨迹法的本质第2页，共66页，2023年，2月20日，星期四基本思路：

1）系统零极点分布决定系统性能。

2）求系统零极点分布。

分析方法：

1）估计结构图中各传函为何种元件（对象？校正？）

2）去掉或改变一些校正环节、或改变放大系数，估计系统性能的变化。根轨迹法可简化系统性能分析第3页，共66页，2023年，2月20日，星期四正反馈回路的根轨迹绘制法则的变化：第4页，共66页，2023年，2月20日，星期四设计引言

当速度设定值改变或负载变化，蒸气机速度可能会在设定值附近不断振荡，长时间无法收敛。

第5页，共66页，2023年，2月20日，星期四基于根轨迹的系统设计设计常识设计基本思路校正环节设计第6页，共66页，2023年，2月20日，星期四一些设计常识设计特点零极点分布与系统性能校正简介基本设计方法类型第7页，共66页，2023年，2月20日，星期四系统设计如同文章写作：练兵千日模仿：多学习典型案例惯用方法：简单的有PID控制或滞后-超前校正等常用套路：使用闭环、近似为一、二阶系统等

创新：熟能生巧

第8页，共66页，2023年，2月20日，星期四1.稳定性：要求系统稳定,则全部闭环极点应在左半s平面;系统稳定与闭环零点的位置无关;2.快速性：要求系统的快速性好,则闭环极点应远离虚轴,以便使阶跃响应中每个分量都衰减得更快;3.工程最佳参数：要求系统的平稳性好,则闭环共轭复数极点应位于β=45°的等阻尼线上,对应ζ=0.707;

闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系第9页，共66页，2023年，2月20日，星期四4.主导极点：离虚轴最近的闭环极点对系统的动态过程性能影响最大,称主导极点。

非主导极点：模比>5,且附近又无闭环零点,则其它极点对动态性能影响可以忽略。此时，系统可近似处理为共轭主导极点构成的二阶系统或实数主导极点构成的一阶系统;闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系第10页，共66页，2023年，2月20日，星期四5.闭环零点可削弱或抵削其附近闭环极点的作用。非常接近的一对零极点称为一对偶极子,偶极子越靠近,零点对极点的抵消作用越强。人为地引入适当零点,以抵消对动态过程有明显坏影响的极点,可提高系统的性能指标。闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系第11页，共66页，2023年，2月20日，星期四系统分析：建模，结构、参数系统动静态性能系统设计：根据要求设计控制系统或、改造原系统。固有系统:最基本的控制系统,其中除放大器的放大系数可调外,其余参数在设计过程中往往不变,故又称为不可变部分。校正装置:为提高固有系统性能，在系统原有结构基础上引入新的附加环节，以同时改善系统稳态性能和动态性能。系统分析、设计与校正简介第12页，共66页，2023年，2月20日，星期四1.稳态性能指标：动态性能指标：时域指标：复域指标：2.设计方法：频率响应法状态空间法根轨迹法：假定校正后闭环具有一对主导极点,若原系统性能指标达不到要求,则引入适当校正装置,利用其零极点去改变原根轨迹,使通过期望主导极点。常用性能指标与设计方法第13页，共66页，2023年，2月20日，星期四基于根轨迹的系统设计思路第14页，共66页，2023年，2月20日，星期四设计的一般思路

当速度设定值改变或负载变化，蒸气机速度可能会在设定值附近不断振荡，长时间无法收敛。

建模，并了解系统存在问题（性能指标）存在问题及目标性能；目标性能目标系统；当前系统目标系统。第15页，共66页，2023年，2月20日，星期四第一步：提出要求（目标性能）第一步：给出性能指标要求和初定设计方法稳定性、稳定裕度、快速性、平稳性、准确性P299当性能指标以时域量（超调量、调节时间等或阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等）给出时，采用根轨迹法进行串联校正设计比较方便。第16页，共66页，2023年，2月20日，星期四第二步：目标性能目标系统第二步：性能指标要求转化为根轨迹要求，即时域性能指标转换为一对期望闭环主导极点位置。结构：假设系统的性能主要决定于某对极点，尤其是共轭极点（P299），即近似为二阶系统。参数：将超调量、调节时间等阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等主导极点位置：阻尼系数、无阻尼振荡圆频率等第17页，共66页，2023年，2月20日，星期四1）确定阻尼角第二步：目标性能目标系统2)

确定ωn值;3)标出主导极点;4)对ζ和ωn适当修正。考虑到其它极点零点的影响,留有余地。

目标系统根轨迹必须穿过主导极点，且其余零极点远离主导极点。第18页，共66页，2023年，2月20日，星期四可能的改造方案（简单复杂）：引入负反馈，仅调节开环放大系数。若单纯调整放大系数无效，考虑增加合适的校正环节。常用且简单有效的方法有：

PD、PI、PID控制；超前、滞后、滞后-超前校正/补偿环节第三步：当前系统目标系统改造当前系统，使其根轨迹穿过标出的主导极点，且其余零极点远离主导极点。如何理解PID和滞后-超前等校正环节的作用？第19页，共66页，2023年，2月20日，星期四第三步：反馈，调节放大系数性能要求较易实现第20页，共66页，2023年，2月20日，星期四目标系统=0.5；目标主导极点满足=arccos0.5=60不加反馈时，当前系统G(s)不满足该条件。尝试引入单位反馈，并调节放大系数。闭环，调节放大系数

-例1，P172思考：如何判断是否能实现当前系统目标系统？第21页，共66页，2023年，2月20日，星期四满足要求！闭环，调节放大系数

-例1，P172第22页，共66页，2023年，2月20日，星期四系统的静态性能指标：闭环，调节放大系数

-例1，P172第23页，共66页，2023年，2月20日，星期四闭环，调节放大系数

-例1，P172第24页，共66页，2023年，2月20日，星期四闭环，调节放大系数

-例2，P180飞机纵向运动的传递函数，可见原系统不稳定。性能要求：系统稳定。方法：引入闭环，合理调节放大系数。第25页，共66页，2023年，2月20日，星期四劳斯判据第26页，共66页，2023年，2月20日，星期四起点及出射角：±54.5°终点：渐近线与实轴夹角（60°180°300°）；渐近线与实轴交点：-0.668实轴上根轨迹：

[0,1]，(-∞,-1]实轴上汇合、分离点：

0.45，-2.33与虚轴交点：

Kg=23.3,±1.56j；

Kg=23.3,

±2.56j第27页，共66页，2023年，2月20日，星期四第28页，共66页，2023年，2月20日，星期四卫星的高度控制，硬盘驱动器的读写头控制；能否简单闭环控制改善性能？PD控制？实际实现的PD控制？第29页，共66页，2023年，2月20日，星期四P158表4-2第30页，共66页，2023年，2月20日，星期四第四步：增加校正环节常见的校正环节从根轨迹角度理解校正环节的作用设计举例

当单纯的闭环＋放大系数调节无法实现当前系统目标系统时…第31页，共66页，2023年，2月20日，星期四基本校正方式第32页，共66页，2023年，2月20日，星期四PI、PD、PID等控制方法简介见P112。引入方式：串联在前馈通道中，PD常串联于反馈通道。要求按零极点的形式分析这些控制方法对系统根轨迹的影响。4.1常见校正环节——PID控制第33页，共66页，2023年，2月20日，星期四4.1常见校正环节——超前/微分校正环节第34页，共66页，2023年，2月20日，星期四4.1常见校正环节——滞后/积分校正环节极点比零点更靠近原点。若T足夠大,则为一对靠近原点的开环偶极子,在不影响远离偶极子处根轨迹前提下,大大提高稳态性能。第35页，共66页，2023年，2月20日，星期四4.1常见校正环节——滞后-超前校正环节第36页，共66页，2023年，2月20日，星期四1、增加开环零点（例如PD）对根轨迹的影响:（P177）⑴根轨迹在实轴上分布改变;⑵根轨迹渐近线条数、倾角、截距改变;⑶根轨迹向左偏移,有利改善系统动态性能,所加零点越靠近虚轴,影响越大;⑷若增加的零点与某极点重合或距离很近,则构成开环偶极子,两者相互抵消。4.2增加开环零点对根轨迹的影响第37页，共66页，2023年，2月20日，星期四2、增加开环极点对根轨迹的影响:（P177）

设增加一个开环极点,则⑴根轨迹在实轴上分布改变;⑵根轨迹渐近线条数、倾角、截距改变;⑶根轨迹向右偏移,不利于改善系统动态性能,所加极点越靠近虚轴,影响越大;⑷根轨迹的分支数改变;4.2增加开环零点对根轨迹的影响第38页，共66页，2023年，2月20日，星期四例4.23影响：1）极点：当kg增大到一定程度，根轨迹跨入s右半平面，系统不稳定。2)零点:根轨迹始终在左侧，系统稳定，随着kg增大，闭环极点变为共轭复数，再变为实数，相对稳定性更好。增加极点-2增加零点-24.2增加开环零、极点对根轨迹的影响第39页，共66页，2023年，2月20日，星期四例4.24：对系统增加零点z1对系统的影响原系统-10<-z1<0时的根轨迹-z1>0时的根轨迹4.2增加开环零、极点对根轨迹的影响第40页，共66页，2023年，2月20日，星期四2.串入超前校正:增加一对实数零、极点,零点更靠近原点(Zc<Pc)，零点起主要作用（K小时效果同PD控制）。改变根轨迹形状（向左移动）。增大系统的阻尼率和无阻尼振荡角频率,从而有效改善动态性能。适用于：动态性能不满足,

而稳态要求不高的系统。附加零极点引起相角的变化：4.3增加超前校正环节对根轨迹的影响第41页，共66页，2023年，2月20日，星期四⑴绘原系统根轨迹图,分析性能并确定校正形式;⑵确定期望的主导极点位置;⑶若原根轨迹不通过主导极点,则须超前校正,通过超前网络提供的相角,迫使根轨迹通过期望的主导极点。4.4串联校正的根轨迹设计步骤－超前校正环节设计（改变根轨迹形状）第42页，共66页，2023年，2月20日，星期四4.4串联校正的根轨迹设计步骤－超前校正环节设计第43页，共66页，2023年，2月20日，星期四

画出根轨迹，根轨迹如右图；2）确定期望的主导极点位置：4.4串联超前校正的根轨迹设计步骤第44页，共66页，2023年，2月20日，星期四第45页，共66页，2023年，2月20日，星期四第46页，共66页，2023年，2月20日，星期四共轭极点的确可以视为主导极点。单位脉冲响应为：第47页，共66页，2023年，2月20日，星期四第48页，共66页，2023年，2月20日，星期四1、开环偶极子：一对距离很近的开环零极点,其距离比它们的模值小一个数量级)2、对根轨迹的影响:⑴开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益Kg无影响;

原因：开环偶极子与远处根轨迹某点形成的向量基本相等,它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。4.5增加滞后校正环节对根轨迹的影响第49页，共66页，2023年，2月20日，星期四⑵开环偶极子对系统性能的影响：a.若开环偶极子位于s平面原点附近,则由于闭环主导极点离原点较远,故开环偶极子对闭环主导极点的位置及增益均无影响。b.增加的开环偶极子显著地影响系统的稳态误差系数,从而影响系统的稳态性能。（效果同PI控制）4.5增加开环偶极子对系统性能的影响第50页，共66页，2023年，2月20日，星期四设增加开环偶极子后的开环传递系数为K’,则:当|zc/pc|>1时，开环放大系数增大，稳态误差系数增大，提高系统稳态性能。当|zc/pc|<1时,开环放大系数减少，稳态误差系数减少，减低系统稳态性能。4.5增加开环偶极子对系统性能的影响第51页，共66页，2023年，2月20日，星期四3.串联滞后校正的效应：

增加一对零极点(-1/T,-1/βT),且极点比零点更靠近原点；影响：当T值很大时,這对零极点非常靠近原点,因此：1)对距原点较远的主导极点产生的相角为负,但值很小,故对主导极点处根轨迹及Kg影响很小,2)但使系统的开环放大系数增大D倍.4.5增加滞后环节对系统性能的影响第52页，共66页，2023年，2月20日，星期四适用场合：系统根轨迹已通过期望主导极点,但稳态性能不合要求的场合。设计步骤:⑴绘出原系统根轨迹,并确定期望主导极点(A点);⑵用幅值条件求A点的根轨迹增益及开环放大系数。⑶由静态指标要求,确定系统所需增大的放大倍数D。⑷选择校正网络的零点-zc及极点-pc,(zc=Dpc),使它们尽量靠近原点，从而相对于A点为一对偶极子。⑸画出校正后系统的根轨迹,调整放大器增益,使闭环主导极点位于期望位置⑹校验性能指标。4.6串联滞后校正的适用场合与步骤第53页，共66页，2023年，2月20日，星期