沪科版数学八年级下册 三角形的中位线

19.2

平行四边形第19章四边形第4课时

三角形的中位线

如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案．情境引入

如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?合作探究问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？四个全等的三角形！三角形的中位线及其性质ABCD连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.E知识要点两层含义：②如果

DE为△ABC的中位线，那么

D、E分别为

AB、AC的

.①如果

D、E分别为

AB、AC的中点，那么

DE为△ABC的

；中位线中点FDABC1.画出△ABC中所有的中位线.2.画出三角形的所有中线，并说出中线和中位线的区别.E问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？小明的做法：将△ADE绕

AC

边的中点

E

按顺时针方向旋转180°

到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与

△ABC面积相等的平行四边形

DBCF.ADEFCB动画演示请点击箭头按钮开始演示→猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ADEFCBDE和边

BC的关系数量关系：位置关系：平行DE是

BC的一半能说明理由吗?请同学们测量(1)∠ADE，∠B

的度数；(2)DE，BC

长度.

测量法

已知：如图，在△ABC中，DE是

△ABC的中位线.求证：DE∥BC，DE=BC.EABCDF证明：如图，延长

DE至

F，使

EF=DE，连接

CF.∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，∴△ADE≌△CFE.∴AD=CF，∠A=∠ECF.∴CF∥AB.推理法∵AD=BD，∴四边形

DBCF是平行四边形.∴BD=CF.∴DF∥BC，∴DE∥BC，DE=BC.DF=BC=

2DE.EABCDF三角形中位线定理：

三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用数学语言表示EABCD∵DE是△ABC的中位线，归纳总结∴DE∥BC，【定理的理解】(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时，就要联想到三角形的中位线定理；(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系

(平行)，又可以得到线段的数量关系

(倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.1.如左图，MN为△ABC的中位线，若∠ABC=61°，则∠AMN=

°；若

MN=12，则

BC长为

.AMBCN6124练一练ADBCE2.如右图，△ABC中，D，E分别为

AB，AC的中点，当

BC=10cm时，则

DE=

cm.5ABCEFD1.图中有几组全等三角形，你是怎

么知道的？你能证明吗？2.图中有几个平行四边形？你能证明吗？深入探究3.(1)已知三角形的各边分别为6cm，8cm，12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____

cm；13(2)已知三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____cm.32(3)已知△ABC的周长为

a.D、E、F分别为△ABC各边中点，△DEF的周长为

；G、H、I分别为△DEF各边中点，△GHI的周长为

；CABDFEGHI像这样下去，第3个三角形的周长为

；

第

n个三角形的周长为

.你发现了什么？你还有什么想法？解：S△DEF

=S△ABC.理由如下：由题意得

DE，DF，EF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB.∴四边形

ADFE，BDEF，DECF都是平行四边形.4.(1)如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？●●●ABCDEF∴S△DEF=S△ADE=S△BDF=S△CEF.∴S△DEF=S△ABC.(2)已知△ABC的面积为

S，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2，…，则

①第1次连接所得△A1B1C1的面积为____；

②第2次连接所得

△A2B2C2的面积为___；

③第3次连接所得

△A3B3C3的面积

为____；④第

n次连接所得△AnBnCn的面积为____.ACA１B１C１A２B２C２BC3A3B3操作次数123…n所得三角形周长…所得三角形面积…规律总结已知原三角形的周长为

a，面积为

S，连接各边中点得到一个中点三角形为1次操作.3.如图，已知△ABC中，AB=3cm，BC=3.4cm，AC=4cm，且

D，E，F分别为AC，AB，BC边的中点，则△DEF的周长是

cm.ABCDEF5.2练一练4.如下图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D，E，F分别是各边中点，AB=6cm，AC=8cm，则

△DEF的周长为_____cm．12EFBACD

典例精析例1已知：如图，在四边形

ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点.求证：四边形

EFGH是平行四边形.分析：将四边形

ABCD分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.ABCDEFGH证明：连接

AC.∵E，F，G，H分别为各边的中点，∴EF∥HG，EF=HG.∴EF∥AC，HG∥AC，∴四边形

EFGH

是平行四边形.ABCDEFGH1.如图，EF是△ABC

的中位线，BC=20，则

EF的长为_____．10

2.如图，在△ABC中，中线

CE、BF相交于点

O，M、N分别是

OB、OC的中点，则

EF和

MN的关系是_____________.平行且相等3.如图，A，B两村相隔一座大山，你能想办法测出

A，B两村的直线距离

AB的大小吗？ABC若测得

MN=360m，则

AB=

m.MN解析：在

AB外选一点

C，使

C能直接到达

A和

B，连接

AC，BC；分别找出

AC和

BC的中点

M，N.720如果

M、N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？两次利用中位线，分别取

CM，CN的中点并测量其距离.4.如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，D是斜边

AB的中点，E

是

BC的中点.

（2）若

AB=10，DE=4，求△ABC的面积.（1）DE⊥BC吗？为什么？ABCDE∴DE∥AC.