第四章矩阵的特征值总

第四章矩阵的特征值总第1页，共37页，2023年，2月20日，星期三3.相关结论：2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．1.阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值．第2页，共37页，2023年，2月20日，星期三第3页，共37页，2023年，2月20日，星期三4.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．5.n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.6.设n阶方阵A的n个特征值为7.矩阵A可逆的充要条件是:矩阵A的任一特征值不为零第4页，共37页，2023年，2月20日，星期三相似矩阵及其性质n阶矩阵与对角矩阵相似的条件关于约当形矩阵的概念第二节相似矩阵与矩阵对角化第5页，共37页，2023年，2月20日，星期三一、相似矩阵的概念定义4.3第6页，共37页，2023年，2月20日，星期三第7页，共37页，2023年，2月20日，星期三（1）自反性：A~A（其中k是正整数）（5）若A~B，（2）对称性：若A~B，则B~A（3）传递性：若A~B，B~C，则A~C是关于A的多项式二、相似矩阵的性质第8页，共37页，2023年，2月20日，星期三k个第9页，共37页，2023年，2月20日，星期三若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.证明:因A与B相似,所以有可逆矩阵P,使

故定理4.5推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似是A的n个特征值。

又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.第10页，共37页，2023年，2月20日，星期三1）相似矩阵有相同的秩.2）相似矩阵的行列式相等.3）相似矩阵或都可逆，或都不可逆;当它们可逆时，它们的逆也相似.相似矩阵还具有以下性质:第11页，共37页，2023年，2月20日，星期三问题：1）是否所有的n阶矩阵能与对角矩阵相似？如不，相似需要何条件？2)如n阶矩阵A能与对角矩阵相似，则相似的变换矩阵P如何得到？3)与n阶矩阵A相似的对角矩阵是怎样的矩阵？4）对某些n阶矩阵不能与对角矩阵相似，则能否有新的且较简单的矩阵与它相似？第12页，共37页，2023年，2月20日，星期三三、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件定理4.6第13页，共37页，2023年，2月20日，星期三证明：如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵把P用其列向量表示为也即第14页，共37页，2023年，2月20日，星期三因为可逆，所以故都是非零向量，且线性无关反之,如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，满足那么令则P可逆，且第15页，共37页，2023年，2月20日，星期三

如果n阶矩阵A的n个特征根互不相同,则A与对角矩阵相似.

推论从上述定理的证明过程可知：第16页，共37页，2023年，2月20日，星期三判断P169-171例1----例3中矩阵A是否与对角矩阵相似,并写出对角矩阵及相似变换矩阵例3说明：A有n个相异特征值是A可以对角化的充分非必要条件.第17页，共37页，2023年，2月20日，星期三定理4.7第18页，共37页，2023年，2月20日，星期三例2判断下列实矩阵能否化为对角阵？解(1)得因为A有三个不同的特征值，所以由推论知A可对角化。第19页，共37页，2023年，2月20日，星期三解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解(2)第20页，共37页，2023年，2月20日，星期三解(3)解之得基础解系求得基础解系第21页，共37页，2023年，2月20日，星期三例3

设

判断A是否可以对角化，若可以对角化，

为对角阵，并求求出可逆阵P，解

（1）求特征值

第22页，共37页，2023年，2月20日，星期三求特征向量将代入得解得特征向量再将代入得解得特征向量第23页，共37页，2023年，2月20日，星期三线性无关，故A可对角化(2)令则有（3）直接计算比较麻烦，但由可得

易求第24页，共37页，2023年，2月20日，星期三第25页，共37页，2023年，2月20日，星期三例4：第26页，共37页，2023年，2月20日，星期三问A能否对角化？若能对角解练习第27页，共37页，2023年，2月20日，星期三解之得基础解系所以可对角化.第28页，共37页，2023年，2月20日，星期三

即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．注意第29页，共37页，2023年，2月20日，星期三四、关于约当（Jordan)形矩阵的概念定义4.4第30页，共37页，2023年，2月20日，星期三第31页，共37页，2023年，2月20日，星期三定理4.8第32页，共37页，2023年，2月20日，星期三1.相似矩阵及其性质小结(其中k是正整数)(3)若A~B,(1)传递性:若A~B，B~C,则A~C是关于A的多项式,(4)相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值.(5)相似矩阵有相同的秩.(6)相似矩阵的行列式相等.(7)相似矩阵或都可逆,或都不可逆;当它们可逆时,它们的逆也相似.第33页，共37页，2023年，2月20日，星期三2.n阶矩阵与对角矩阵相似的条件(2)如果n阶矩阵A的n个特征根互不相同,则A与对角矩阵相似.

3.化n阶矩阵为对角矩阵的步骤第34页，共37页，2023年，