曲面积分教学文案

曲面积分精品资料第二十二章曲面积分一．填空题（每题2分）1.为球面,则=2.为球面,则3.若是柱面外侧,则4.若是球面在第一卦限部分,则曲面积分其中是常量5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分6.记均匀半球面 : 形状构件的重心为 ,则7.设关于面积的曲面积分: ,其中 是球面,其中 是曲面 ,则8.设数量场 ,则9.若是某二元函数的全微分,则10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2精品资料=答案:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.二.选择题(每题2分)1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分为()A.B.C.D.2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧,则当时,()A.B.C.D.3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分 的为()A. B.C. D.其中 分别是球面 在 平面的投影区域.4.设 ,其中 是上半球面 ,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3精品资料,其中 是下半球面 的外侧,则()A.B.C.D.5.设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分的值()A.B.C.D.6.设:,为在第一卦限中的部分,则有()A.B.C.D.7.若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分()A.B.C.D.若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分()A. B. C. D.9.若 是 平面上方的抛物面 ,且 ,则曲面积分的物理意义为()仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4精品资料表示面密度为1的曲面的质量表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量C. 表示面密度为

的曲面

对 轴的转动惯量D. 表示体密度为

1的流体通过曲面

指定侧的流量10.由分片光滑的封闭曲面

所围成立体的体积

()A. B.C. D.答案:ABBCA CDCBA三.计算题（每题

5分）1.计算曲面积分

，其中

为球面解：球面方程为

与

，上半球面记为

，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有对右边的两个积分分别积分，因为，在

＝平面上的投影区域都是，所以

＝＝因此

＝2.计算

，其中

为平面

在第一卦限的上侧

.解:因为

的方程为

,

在

平面上的投影区域都是: , , ,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5精品资料= ==3.计算曲面积分 .其中 是三个坐标面与平面所围成的四面体表面的外侧 .解:因为由高斯公式得 =4.计算 , 为平面 被柱面 截得的部分.解:因为 ,所以 ,于是=5.设球面 上的密度等于点到 平面的距离,求球面被截下部分曲面的重心.解:由曲面对称性知, .球面上半部曲面为 ,故 ;截得曲面在 平面上投影为 故=这里 是截得曲面中位于上半球面的部分 .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6精品资料= =故6.计算 ,其中 , 是球面的外侧.解:设 为 上单位外法线向量,则,于是= =7.计算 ,其中 是 的外侧.解:由于曲面关于 轴对称,故又曲面关于 平面对称,且 是关于 的奇函数,所以8.计算 ,其中 为锥面 的外侧解:令 ,取上侧,则 构成封闭曲面,可用高斯公式.于是==仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7精品资料而故9.计算 , 是从 到 的螺旋线:解:将添上直线段构成封闭曲线.因为所以积分与曲面无关,只与围它的曲面有关.由斯托克斯公式,有直线段 的方程为 ,所以10.计算 ,点 在球面 上,点 在球面 上解:设故积分与路径无关,只与起点和终点有关,于是11.计算,设(1)为;为不包含原点的光滑闭曲面;为包含原点的光滑闭曲面;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8精品资料解:(1)因为 ,所以由高斯公式有不包含原点,而即 ,于是(3) 包含原点,需做半径充分小球面 .则 与 之间区域,根据题(2),有而根据题(1),有故这里 取内侧.12.计算 ,其中 为平面 与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向解:应用斯托克斯公式得=13.计算 ,其中 为立体 的边界曲面;解:面积 由两部分 组成,其中 , ,它们在 平面上的投影区域都是 ,由极坐标变换可得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9精品资料= =14.计算 ,其中 为柱面 被平面 所截取的部分解: =15.计算 ,其中 是单位球面 的外侧解:=第二十二章 曲面积分计算曲面积分,其中 为圆锥曲面 被曲面 所割下的部分 .计算,其中 是曲面 介于两平面 之间的部分.计算,其中 是球面 的下半部, 是曲面的法线方向与 轴正向的夹角.计算,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10精品资料其中 是柱面 在平面 和 之间的部分.计算,其中 是上半球面 的上侧.计算,其中 为球体的表面,并取外侧.计算,其中 为连续函数; 为平行六面体 的外表面.计算曲面积分,其中 为 所围成的立体的表面积 .计算,其中 为曲面 上 的那部分取正侧 .计算曲线积分,其中 是圆周 若从 轴正向看去, 是沿逆时针方向运行 .计算,仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢