高考复习体系-高考母题A-第一论母题-归纳法、极限、导数与复数公开课

东北师大附中高三数学（理）第一轮复习导数的应用（2课时）考试要求：了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．知识要点：函数的单调性（１）定义：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果，则为常函数．（２）求法：①确定函数的定义域；②求导数；解方程，求出它们在定义域内的一切实根；③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按有小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间．④确定在各个开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性．函数的极值（１）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点．（２）方法：①求导数；②求方程的根；③检验在方程的根的左右的符号，如果在根附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是极小值．３．函数的最大值与最小值设是定义在区间上的连续函数，在内可导，求在的最大值与最小值的步骤如下：①求在内的极值；②将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．应用举例：设，求函数在的单调区间．例２．若函数在区间（１，４）内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围．例３．求函数在区间［０，２］上的最大值和最小值．例４．证明（1）（2）（3）巩固练习1．函数在下列哪个区间内是增函数（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）2．函数在闭区间［－３，０］上的最大值和最小值分别为（）（Ａ）１，－１（Ｂ）１，－１７（Ｃ）３，－１７（Ｄ）９，－１９3．设分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）4．关于函数，下列说法正确的是（）（Ａ）当-2时，有极大值1（Ｂ）当0时，有极小值-63（Ｃ）当2时，有极大值1（Ｄ）函数的最大值为15.设，则此函数在区间和内分别为（）(A)单调递增，单调递减(B)单调递增，单调递增(C)单调递减，单调递增(D)单调递减，单调递减6．函数的极大值点是 （） A．x=2 B．x=1 C．x=－1 D．x=－27．函数在 （） A．（－∞，+∞）内是增函数 B．（－∞，+∞）内是减函数 C．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数 D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数8．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（） A． B． C． D．9．函数的值域为 （） A．[－4，4] B．[－3，3] C．D．（－3，3）10．已知函数在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是 11．函数在区间[0，]上的最大值是12．设函数的递减区间为，则a的取值范围是13．函数上的最小值是.14．已知为实数，．（１）求导数；（2））若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（3）若在和都是单调递增的，求实数的取值范围．15．设函数(∈R)，为使在区间（0，+∞）上为增函数，求的取值范围。16．（1）求证（2）求证参考答案：例１．解：（Ⅰ）当时，有，此时函数在内单调递增．（Ⅱ）当时，对于，有，此时函数在内单调递增函数，在内单调递增．又知函数在处连续，因此函数在内单调递增．（Ⅲ）当时，令，解得或．因此函数在区间内单调递增，在区间也单调递增．令，解得．因此函数在区间内为减函数．例２．解：令，解得或．当，即时，函数在上是增函数，不合题意．当，即时，函数在为增函数；在为减函数．依题意应有当所以解得故所求a的取值范围是[5，7]．例３．解：当所以．又因为所以为函数上的最大值．例4．证：（1）令，且∴，∴为上为增函数∴有恒成立，∴再令且∴在上为增函数∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴函数在上为增函数∴巩固练习题号123456789答案BCDBCDDCB10．2＜m＜411．12．13．14．解:(Ⅰ)由原式得∴(Ⅱ)由得,此时有.由得或,又所以在[-2,2]上的最大值为最小值为(Ⅲ)解法一:的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得即解得．故所求的取值范围为[-2,2]．解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当或时,≥0,从而，即解不等式组得:故所求的取值范围为