·新课标全国卷2(理科)

2014·新课标全国卷Ⅱ(理科数学)1．A1[2014·新课标全国卷Ⅱ]设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}1．D[解析]集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．2．L4[2014·新课标全国卷Ⅱ]设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i2．A[解析]由题知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.3．F3[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝()A．1B．2C．3D．53．A[解析]由已知得|a＋b|2＝10，|a－b|2＝6，两式相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.4．C8[2014·新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，则AC＝()A．5B.eq\r(5)C．2D．14．B[解析]根据三角形面积公式，得eq\f(1,2)BA·BC·sinB＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)×1×eq\r(2)×sinB＝eq\f(1,2)，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，其中C<A.若B为锐角，则B＝eq\f(π,4)，所以AC＝eq\r(1＋2－2×1×\r(2)×\f(\r(2),2))＝1＝AB，易知A为直角，此时△ABC为直角三角形，所以B为钝角，即B＝eq\f(3π,4)，所以AC＝eq\r(1＋2－2×1×\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2))))＝eq\r(5).5．K7[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.455．A[解析]设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由题知要求的是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，根据条件概率公式得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.6,0.75)＝0.8.6．G2[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1­1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图1­1A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)6．C[解析]该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm3)，故所求的比值为eq\f(20π,54π)＝eq\f(10,27).7．L1[2014·新课标全国卷Ⅱ]执行如图1­2所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝()图1­2A．4B．5C．6D．77．D[解析]逐次计算，可得M＝2，S＝5，k＝2；M＝2，S＝7，k＝3，此时输出S＝7.8．B11[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．38．D[解析]y′＝a－eq\f(1,x＋1)，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.9．E5[2014·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．29．B[解析]已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.10．H7、H8[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(9\r(3),8)C.eq\f(63,32)D.eq\f(9,4)1)＞0，则x的取值范围是________．15．(－1，3)[解析]根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2，2)，若f(x－1)>0，则－2<x－1<2，解得－1<x<3.16．C8、C9[2014·新课标全国卷Ⅱ]设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．16．[－1，1][解析]在△OMN中，OM＝eq\r(1＋xeq\o\al(2,0))≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据正弦定理得eq\f(\r(1＋xeq\o\al(2,0)),sinα)＝eq\f(1,sin45°)，所以eq\r(1＋xeq\o\al(2,0))＝eq\r(2)sinα∈[1，eq\r(2)]，所以0≤xeq\o\al(2,0)≤1，即－1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．17．D1、D3、D5[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)＜eq\f(3,2).17．解：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2))).又a1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,2)))是首项为eq\f(3,2)，公比为3的等比数列，所以an＋eq\f(1,2)＝eq\f(3n,2)，因此数列{an}的通项公式为an＝eq\f(3n－1,2).(2)证明：由(1)知eq\f(1,an)＝eq\f(2,3n－1).因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以eq\f(1,3n－1)≤eq\f(1,2×3n－1)，即eq\f(1,an)＝eq\f(2,3n－1)≤eq\f(1,3n－1).于是eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)≤1＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))<eq\f(3,2).所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<eq\f(3,2).18．G4、G10[2014·新课标全国卷Ⅱ]如图1­3，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D­AE­C为60°，AP＝1，AD＝eq\r(3)，求三棱锥E­ACD的体积．图1­318．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up6(→))，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|eq\o(AP,\s\up6(→))|为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(3)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2))).设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，eq\r(3)，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AC,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(AE,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))可取n1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),m)，－1，\r(3))).又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(1,2)，即eq\r(\f(3,3＋4m2))＝eq\f(1,2)，解得m＝eq\f(3,2).因为E为PD的中点，所以三棱锥E­ACD的高为eq\f(1,2).三棱锥E­ACD的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8).19．I4[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,∑n,i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－)).19．解：(1)由所给数据计算得eq\o(t,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，eq\i\su(i＝1（ti－\o(t,\s\up6(－))）2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，,∑7,i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,∑7,i＝1,7,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq\f(14,28)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5t＋2.3.(2)由(1)知，eq\o(b,\s\up6(^))＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9，代入(1)中的回归方程，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．20．H5、H8、H10[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为eq\f(3,4)，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.20．解：(1)根据c＝eq\r(a2－b2)及题设知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的离心率为eq\f(1,2).(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（－c－x1）＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②将①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9（a2－4a）,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).21．B12、B14[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；(3)已知1.4142＜eq\r(2)＜1.4143，估计ln2的近似值(精确到0.001)．21．解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x满足2<ex＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋eq\r(b2－2b))时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋eq\r(b2－2b))时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.(3)由(2)知，g(lneq\r(2))＝eq\f(3,2)－2eq\r(2)b＋2(2b－1)ln2.当b＝2时，g(lneq\r(2))＝eq\f(3,2)－4eq\r(2)＋6ln2>0，ln2>eq\f(8\r(2)－3,12)>0.6928；当b＝eq\f(3\r(2),4)＋1时，ln(b－1＋eq\r(b2－2b))＝lneq\r(2)，g(lneq\r(2))＝－eq\f(3,2)－2eq\r(2)＋(3eq\r(2)＋2)ln2<0，ln2<eq\f(18＋\r(2),28)<0.6934.所以ln2的近似值为0.693.22．N1[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4­1：几何证明选讲如图1­4，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1­422．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.23．N3[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq\r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．23．解：(1)C的普通