工程光学讲稿

第九章

光的电磁理论基础

第一节光的电磁性质一、电磁场的波动性（一）麦克斯韦方程组（Maxwell’sequation）1、积分形式：

第一页，共三十二页。第一式为电场高斯定理:在如何电场中，通过闭合曲面的电位移通量等于该曲面所包围的总电量。第二式为磁场高斯定理:表示穿过任意闭合曲面的磁感应通量等于零。第三式为法拉第电磁感应定律:表示沿任何闭合曲线的电场强度的线积分等于通过该闭合曲线所包围面积的磁通量的变化率的负值。第四式为安培全电流定律表示磁场强度沿闭合环路的积分等于该环路所包围的电流强度的代数和。2、微分形式：

为封闭曲面内的电荷密度;为闭合回路上的传导电流密度;为位移电流密度。

微分算符第二页，共三十二页。(二)物资方程当电磁场在介质中传播时，介质就会对电磁场带来影响，为描述这种影响，引入物质方程。σ：电导率ε：介电常数ε=ε0εrεr：相对介电常数μ：磁导率μ=μ0μrμr：相对磁导率在静止、各向同性的均匀介质中，上述三个量均为常数。真空中，σ＝0，ε＝ε0＝8.542×10-12法/米，μ＝μ0＝4π×10-7亨/米（三）电磁场的波动性对于电磁场远离辐射源：ρ=0,j=0,即不存在传导电流，不存在自由电荷，这就要求介质的电导率。此时有：

▽或第三页，共三十二页。自由空间的麦克斯韦方程组。在矢量分析（场论）理论中，有公式：若分别对下列方程两式取旋度有：

同理：上两式就是波动的微分方程的标准形式。▽第四页，共三十二页。

称为电磁波传播速度。表明和是时间和空间坐标的函数，而且其随时间和空间坐标的变化过程遵从波动的规律。当电磁波在真空中传播时，其传播速度为：这个理论值与实验测定值是非常接近。在介质中，引入相对介电常数εr=ε/ε0和相对磁导率μr=μ/μ0

电磁波在真空中的速度c与介质中的速度v的比值n为介质对电磁波的折射率

实验测得真空中的光速为：=c2.99792458+108m/s第五页，共三十二页。二、平面电磁波及其性质（一）波动方程的平面波解

如果在垂直于传播方向的平面上，在任意时刻，在任意空间位置，其各点幅值和相位都相同的波，称为平面电磁波。1.方程求解:设光沿Z轴正向传播，则平面波的Ｅ和Ｂ仅是z和t的函数:xyzv第六页，共三十二页。求微分方程的通解：

f1和f2分别以（z/v－t)，(z/v＋t)为自变量的函数，各代表以相同速度v沿z轴，正负方向传播的平面波，通常取z轴正方向。（二）波动方程的平面简谐波解（SimpleHarmonicWave）：由上式得到的平面波的通解，具体的波动形式将取决于波源的形式，取最简单的简谐振动作为波动方程的特解：波动方程可化为：第七页，共三十二页。

——电场、磁场的振幅矢量ω——角频率

——位相，表示在时刻t，在z处的电磁场的振动状态。

(三)平面波的参数波的频率和周期角频率：周期：波长与周期第八页，共三十二页。介质中的波长与真空中波长的关系波数k、波矢量波数k:长为2π距离内包含的波长数。波矢量k0：为表示波传播方向的单位矢量。引入波矢量后，波动方程可以写成下式：沿空间任一方向k传播的平面波：E=Acos(kr-ωt)E=Acos[k(xcosα+ycosβ+zcosγ)-ωt]任一方向传播得平面波第九页，共三十二页。平面波的复数形式：E=Aexp[j(kr-ωt)]

——复振幅，表示光波在空间的分布，在只关心场振动的空间分布（干涉、衍射）时常用。（四）平面电磁波的性质：1、横波特性：电矢量和磁矢量的方向均垂直波的传播方向。2、E、B、k互成右手螺旋系。3、E和B同相位。三、球面波和柱面波：

1、球面波：任意时刻波振面为球面的光波波动方程k第十页，共三十二页。2、柱面波是具有无限长圆柱形波面的波。四、光波的辐射和辐射能光波在传播过程中，伴随着能量的传播，以s表示电磁波的能流密度矢量，它与E、H有如下关系：

发散的球面波：会聚的球面波：第十一页，共三十二页。对于人眼或探测系统都无法接收到S的瞬时值，只能接收一个周期的平均值在物理学中，辐射强度的平均值S称为光强以I表示所以光强I与平面波幅值A的平方成正比，对于同一介质中，两场点的相对光强，可用I=A2第二节

光波的叠加

一、波的叠加原理：几个波在相遇点产生的合振动是各个在该点产生振动的矢量和。

需要注意：1.叠加结果为光波振幅的矢量和，而不是光强的和。2.光波传播的独立性：两光波相遇后又分开，每个光波仍然保持原有的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）3.叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解。一个实际的光场是许多个简谐波叠加的结果。第十二页，共三十二页。二、两个同频率、振动方向相同的单色光波的叠加（一）代数加法设光源s1，s2发出的单色光波在空间任意点p相遇，则：

E1=a1cos(kr1-ωt)E2=a2cos(kr2-ωt)式中a1,a2分别是两束光波在p点的振幅。令α1=kr1,α2=kr2，则根据叠加原理，p点的合振幅为：

E=E1+E2=a1cos(α1－ωt）＋a2cos(α2－ωt）由三角函数公式可得：

E=Acos(α-ωt)式中s1s2pr1r2第十三页，共三十二页。（二）振幅矢量加法α1αα2Aa1a2o设两个矢量在ox的投影的运动为简谐振动x合振动方程为：合振动的幅值合初相角为：E1E2E第十四页，共三十二页。(三）、复函数的叠加：设有两个振动方向相同，频率相同的复函数的简谐振动方程为：

E1=a1expi(ωt+α1）

E2=a2expi(ωt+α2）由叠加原理可知：E=E1+E2=a1expi(ωt+α1）+a2expi(ωt+α2）

=expiωt(a1expiα1+a2expiα2)

令a1expiα1+a2expiα2＝AexpiαE=expiωt×Aexpiα=Aexpi(ωt+α)复数E与其共轭的复数E*可表示为：

E=Aexpi(ωt+α)E*=Aexp[-i(ωt+α)]由复数性质：A2=E·E*=Aexpi(ωt+α)·Aexp[-i(ωt+α)]

=expiωt·Aexpiα·Aexp(-iα)·exp(-iωt)=(a1expiα1+a2expiα2)(a1exp(-iα1)+a2exp-(iα2))第十五页，共三十二页。=a12+a22+a1a2[expi(α1－α2）＋exp(-i(α1－α2))]由尤拉公式：

expi(α1－α2)+exp[-i(α1－α2)]=2cos(α1－α2)

上式得：A2=a12+a22+2a1a2cos(α1－α2)（四）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强）

I=合成光强的大小取决于位相差δ。

若，设

第十六页，共三十二页。λn—单色光在传播介质中的波长（λn＝λ/n）λ—真空中的波长n—介质的折射率。光程差Δ＝n(r2-r1)是分析叠加结果的重要物理量。当：δ＝2mπ，Δ＝n(r2-r1)＝mλ有极大I=Imax=4I0

(m=1,±1，±2，±3，…）δ＝(2m+1)π，Δ＝(2m+1)λ/2极小I=Imin=0

(m=0,±1，±2，±3，…）三、驻波：两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波的叠加将形成驻波。垂直入射的光波和它的反射光波之间将形成驻波。设反射面z=0的平面，假的界面有很高的反射比，入射波和反射波的幅值相等。第十七页，共三十二页。式中，δ是反射时相位变化。驻波为不同的z处的驻波振幅波腹的位置：

波节的位置：

第十八页，共三十二页。四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加（一）合成光波偏振态的分析光源s1和s2发出两个频率相等而振动方向互相垂直的单色光波，其振动方向平行x轴和y轴，并沿z轴方向传播。显然在p点处产生的光振动可写为：（1）（2）由（1）得：Ex/a1=cos(kz1)cosωt+sin(kz1)sinωt(3)由（2）得:Ey/a2=cos(kz2)cosωt+sin(kz2)sinωt(4)将（3）×cos(kz2)－（4）×cos(kz1)得：

s1s2z1z2pyx第十九页，共三十二页。同理：

将(5)2+(6)2得：设α1=kz1,α2=kz2,合振动的大小和方向随时间变化，合振动矢量末端运动轨迹方程为：可见其轨迹一般是椭圆，椭圆偏振光第二十页，共三十二页。由上式可知椭圆的形状取决于两叠加光波的振幅比a2/a1和相位差δ，合振动的不同偏振状态如图：分析：1、当δ＝0或±2π时，线偏振光2、当δ＝±π时的奇数倍，线偏振光3、当时，正椭圆

第二十一页，共三十二页。当a1=a2=a时：合成矢量末端运动轨迹是一个圆偏振光

。当δ任意取值时，任意取向的椭圆偏振光。左旋光与右旋光：1、右旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量顺时针方向旋转。2、左旋光：迎着光的传播方向观察，合矢量逆时针方向旋转。第二十二页，共三十二页。五、两个不同频率的单色光波的叠加讨论两个振动方向相同，振幅相等、且在同一方向传播，但频率接近的单色光波的叠加，其结果产生光学上的“拍”现象。（一）光学拍两个不同频率的单色光波利用叠加原理，得合成波第二十三页，共三十二页。式中平均角频率平均波数调制频率调制波数令合成波是一个频率为而振幅受到调制的波，即振幅随时间和位置在-2a与2a间变化。

合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动。则第二十四页，共三十二页。tox1x2振动曲线第二十五页，共三十二页。当很小振幅变化缓慢，而光波的频率很高，E变化极快。合成波的强度与A2成比例合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强度时大时小的现象称为拍。拍频等于，即等于振幅调制频率的两倍，或等于两叠加单色光波频率之差。第二十六页，共三十二页。图9-35频率不同的两个单色光波的叠加a)两个单色波b)合成波c)合成波的振幅变化d)合成波的强度变化第二十七页，共三十二页。（二）群速度和相速度单色光波