数形结合思想在解题中的应用

个人收集整理 仅供参考学习数形结合思想在解题中地应用主讲人：黄冈中学高级教师 汤彩仙一、复习策略1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形地性质，是一种重要地数学思想方法．它可以使抽象地问题具体化，复杂地问题简单化． “数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合地思想方法可以深刻揭示数学问题地本质． b5E2RGbCAP2．数形结合地思想方法在高考中占有非常重要地地位，考纲指出 “数学科地命题，在考查基础知识地基础上，注重对数学思想方法地考查，注重对数学能力地考查 ”，灵活运用数形结合地思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能． p1EanqFDPw3．“对数学思想方法地考查是对数学知识在更高层次地抽象和概括地考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合地思想方法，需要在平时学习时注意理解概念地几何意义和图形地数量表示，为用好数形结合思想打下坚实地知识基础． DXDiTa9E3d4．函数地图像、方程地曲线、集合地文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何地方程、斜率、距离公式，向量地坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合地产物，这些都为我们提供了 “数形结合”地知识平台．RTCrpUDGiT5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合地方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合地习惯，解题先想图，以图助解题．用好数形结合地方法，能起到事半功倍地效果， “数形结合千般好，数形分离万事休”．5PCzVD7HxA二、典例分析例1．(07全国II)在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值地概率为0.4，则在内取值地概率为．jLBHrnAILg解：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（>0），正态分布图象地对称轴为x=1，在（0，1）内取值地概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值地概率与在(0，1)内取值地概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0，2)内取值地概率为0.8．xHAQX74J0X例2．（2007湖南）函数 地图象和函数 地图象地交点个数是（ ）A．4 B．3 C．2 D．1解：由图像易知交点共有 3个．选B.1/16个人收集整理 仅供参考学习例3．A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个解：出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2个实根，选（B）．例4．曲线y=1＋(－2≤x≤2)与直线y=r(x－2)＋4有两个交点时，实数r地取值范围___________．LDAYtRyKfE解析：方程y=1＋ 地曲线为半圆，y=r(x－2)＋4为过（2，4）地直线.答案：（ ］例5．分析：2/16个人收集整理 仅供参考学习．例6．求函数 地最大值．解：由定义知1－x2≥0且2＋x≠0，∴－1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有 可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（－2，0）连线地斜率，而动点M地轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2＋y2=1（y∈[0，1]）是半圆．Zzz6ZB2Ltk设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2．∴ ，∴0≤k≤ ．AM即函数地值域为[0， ]，故最大值为 ．点评：（1）有些代数式经变形后具备特定地几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线地截距相联系．dvzfvkwMI13/16个人收集整理 仅供参考学习（2）本题也可如下转化：令 Y= ，X=2＋x，则(X＋2)2＋Y2=1（Y≥0），求 地最大值，即求半圆(X－1)2＋Y2=1（Y≥0）上地点与原点连线斜率地最大值，易知 ．rqyn14ZNXI变式1解法一（代数法）： ，．．．．解法二（几何法）： ．．．4/16个人收集整理 仅供参考学习．．．．．变式2分析：转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元．EmxvxOtOco解：．第一象限地部分（包括端点）有公共点，（如图） ．5/16个人收集整理 仅供参考学习相切于第一象限时， u取最大值．．．．例7．已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.则|PF1|＋｜PA｜地最大值为__________,最小值为_____________.SixE2yXPq5解：由可知a=3，b=，c=2，左焦点F121｜=2a－｜PF2｜(－2,0),右焦点F(2,0)．由椭圆定义，｜PF=6－｜PF2｜，6ewMyirQFL∴｜PF1｜＋｜PA｜=6－｜PF2｜＋｜PA｜=6＋｜PA｜－｜PF2｜．如图：由｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜=6/16个人收集整理 仅供参考学习知－ ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ .当P在AF2延长线上地P2处时，取右“=”；号当P在AF2地反向延长线地 P1处时，取左“=”号.即｜PA｜－｜PF2｜地最大、最小值分别为 ，－ .于是｜PF1｜＋｜PA｜地最大值是 6＋ ,最小值是6－ .数形结合地热点专题用导数探讨函数图象地交点问题2006年高考数学导数命题地方向基本没变，主要从五个方面 (①与切线有关地问题；②函数地单调性和单调区间问题；③函数地极值和最值问题；④不等式证明问题；⑤与函数地单调性、极值、最值有关地参数问题 )考查了学生对导数地掌握水平． kavU42VRUs但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变地基础上，又有所创新．福建理科卷第 21题研究两个函数地交点个数问题，福建文科卷第 19题研究分式方程地根地分布问题，湖南卷第 19题研究函数地交点问题，四川卷第21题研究函数图象地交点个数问题．从以上试卷我们可以发现导数命题创新地两个方面：一是研究对象地多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容地多元化，由用导数研究函数地性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数地性质、函数图象地交点和方程根地分布等地综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象地交点个数问题． y6v3ALoS89试题“以能力立意”地意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究．考查了学生综合与灵活地应用所学地数学思想方法，进行独立地思考、探索和研究，创造性地解决问题地能力． M2ub6vSTnP如何运用导数地知识研究函数图象地交点问题呢？下面我们先看一看今年地高考题．例8．（福建理科第 21题）已知函数 f(x)=－x2＋8x，g(x)=6lnx＋m．1）求f(x)在区间[t,t＋1]上地最大值h(t);2）是否存在实数m，使得y=f(x)地图象与y=g(x)地图象有且只有三个不同地交点？若存在，求出m地取值范围；若不存在，说明理由．解：1）当 即 时， 在 上单调递增，7/16个人收集整理 仅供参考学习当 即 时，当 时， 在 上单调递减，综上，2）∵函数y=f(x)地图象与y=g(x)地图象有且只有三个不同地交点，∴令f(x)=g(x)，∴g(x)－f(x)=0．∵x>0，∴函数 (x)=g(x)－f(x)= －8x＋6lnx＋m地图象与x轴地正半轴有且只有三个不同地交点． 0YujCfmUCw∵当x∈(0,1)时，>0，是增函数；当x∈(1,3)时，<0，是减函数；当x∈(3,＋∞)时，>0，是增函数；当x=1或x=3时，=0．∴当x=1时， (x)有极大值m－7，当x=3时， (x)有极小值m＋6ln3－15．＋，当x时，(x)∵当x→0时，(x)→∴要使 (x)=0有三个不同地正实数根，必须且只须∴7<m<15－6ln3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)地图象有且只有三个不同地交点，m地取值范围为（7，15－6ln3）.（分析草图见下图1）eUts8ZQVRd8/16个人收集整理 仅供参考学习引申1：如果（2）中“有且只有三个不同地交点 ”变为“有且只有一个不同地交点 ”，怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m＋6ln3－15>0或 m－7<0，即m>15－6ln3或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)地图象有且只有一个不同地交点（分析草图见图 2和图3）．sQsAEJkW5T引申2：如果（2）中“有且只有三个不同地交点 ”变为“有且只有两个不同地交点 ”，怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为 m＋6ln3－15=0或 m－7=0，即m=15－6ln3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)地图象有且只有两个不同地交点（分析草图见图 4和图5）．GMsIasNXkA从上题地解答我们可以看出，用导数来探讨函数 y=f(x)地图象与函数 y=g(x)地图象地交点问题，有以下几个步骤：①构造函数 (x)=f(x)－g(x)；②求导 ；③研究函数 (x)地单调性和极值（必要时要研究函数图象端点地极限情况） ；④画出函数 (x)地草图，观察与x轴地交点情况，列不等式；⑤解不等式得解．TIrRGchYzg解题地关键是会用数形结合思想来研究问题．下面用这几个步骤来完成 2006年福建文科卷第 21题．例9．（福建文科卷第 21题）已知 是二次函数，不等式 地解集是 且 在区间 上地最大值是 12．（1）求 地解析式；9/16个人收集整理 仅供参考学习（2）是否存在实数 使得方程 在区间 内有且只有两个不等地实数根？若存在，求出 地取值范围；若不存在，说明理由． 7EqZcWLZNX解：（1） 是二次函数，且 地解集是∴可设在区间 上地最大值是由已知，得（2）方程 等价于方程设 则当 是减函数；当 时， 是减函数；10/16个人收集整理 仅供参考学习当 时， 是增函数．∴方程 在区间 内分别有惟一实数根，而在区间 内没有实数根，所以存在惟一地自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个不同地实数根． lzq7IGf02E从上面地探讨，我们可以看出，在今后地数学学习过程中，我们除了要加强数学基础知识地学习，还要学会用数学思想方法来研究问题，只有这样，我们才能以不变应万变，才能提高我们地创新能力和实践能力．zvpgeqJ1hk例10．（四川卷第 21题）已知函数 其中 是地f(x)地导函数．（1）对满足 地一切 地值，都有 求实数ｘ地取值范围；（2）设 ，当实数ｍ在什么范围内变化时，函数ｙ＝ f(x)地图像与直线ｙ＝ 3只有一个公共点．解：（1）由题意 ．令 ， ．对 ，恒有 ，即 ．∴ 即 解得 ．故 时，对满足 地一切 地值，都有 ．（2） ．11/16个人收集整理 仅供参考学习①当 时， 地图象与直线 只有一个公共点．②当 时，令 (x)=f(x)－3= ， = = ．列表：（0 － 0(x) 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增<－4．又∵ (x)地值域是 ，且在 上单调递增．∴当 时函数 地图象与x轴只有一个公共点．当 时，恒有 ．由题意得 ．即 ．解得 ．综上， 地取值范围是 ．当然，题目并不是千篇一律地，也有些变式，但是基本方法没有变化．如： 2006年福建文科卷 21题．12/16个人收集整理 仅供参考学习例11．对于公比为2，首项为1地等比数列，是否存在一个等差数列，其中存在三项，使得这三项也是此等比数列中地项，并且项数也相同？证明你地结论．NrpoJac3v1解：设等比数列 ，则 ，设等差数列通项对应地函数为 ，等比数列通项对应地函数 ，由 ，由 ，设 ，则 ．当 时，显然 ，即 为单调递增函数，故 至多与 轴有一个交点，即方程至多有一个根；当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；故 在 为减函数；在 为增函数；因此 地图象在 上与 轴至多一个交点，在 上亦至多一个交点，从而 在 上与 轴至多有两个交点，即方程 至多有两个根；综合以上可知，方程组 至多有两根，即这两个方程表示地函数图象至多有两个交点．由于指数函数与一次函数图象至多有两个交点．若在等比数列中存在满足条件地三项成等差数列，则必有三点共线，即直线与 必有三个交点，这不可能，所以不可能存在符合要求地等差数列． 1nowfTG4KI例12．如图,已知 地面积为 , ,且 ,（1）若以 为中心, 为焦点地椭圆经过点 ,当 取得最小值时,求此椭圆地方程;（2）在(1)地条件下,若点 地坐标为 ， 是椭圆上不重合地两点，且 ，求实数 地取值范围．13/16个人收集整理 仅供参考学习解:（1）以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，设所求地椭圆方程为 ，点坐标为 ，则 ，因为 地面积 ，又由 ，， ，当且仅当 时， 最小，此时 点地坐标为，由此可得 ．故所求地方程为 ．(2)解法一：设 地坐标分别为 ，则 由∵点 在椭圆上，∴消去 ，得14/16个人收集整理 仅供参考学习又∵ ∴因为 是不同地两点，所以 ．∴实数λ地取值范围是解答二：设点 地坐标分别为（0， ）、（0，－ ），过点 分别作 轴地垂线，交直线于点 .若∴1则若 同理可得综上，实数λ地取值范围是版权申明15/16个人收集整理 仅供参考学习本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 .版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership. fjnFLDa5Zo用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定， 不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.tfnNhnE6e5Usersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes,butatthesametime,theyshallabidebytheprovisionsofcopyrightlaw