2021-2022年九年级数学中考模拟试题带解析

2021年九年级中考模拟考试

数学试题

一、选择题（本题满分36分，每小题3分）

1．﹣2的绝对值是（）

A．﹣2B．2C．D．﹣

2．若a﹣b＝1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为（）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

3．当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间距离最远，大约

为401000000千米，将数据401000000用科学记数法表示为（）

A．40.1×107B．4.01×107C．4.01×108D．4.01×109

4．一个物体如图1所示，它的俯视图是（）

A．B．C．D．

5．点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1．﹣2）D．（﹣1，2）

6．下列计算正确的是（）

A．a2+b3＝2a5B．a4÷a＝a4C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝﹣a6

7．不等式组的解集在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（）

A．x＝1B．x＝3C．x＝D．无解

9．反比例的数经过点（2，﹣1），则下列说法错误的是（）

A．k＝﹣2

B．函数图象分布在第二、四象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

10．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数

为（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点

D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于

点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）

A．1B．C．2D．

12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED

的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

二、填空题（本题满分16分，每小题4分）

13．4的平方根是．

14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若

AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为．

15．如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为．

16．图7是某沙滩上用石子制成的小房子，观察变化规律，则第5个小房子用了块石子；

第n个小房子用了块石子．

三、解答题（本题满分68分）

17．（1）计算：．

（2）化简：．

18．海南盛产热带水果，张阿姨分两次购进“妃子笑荔技”、“贵妃芒果”两种水果进行销售，两

次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水

果每千克的进价分别是多少元？

购进数量（千克）购进所需

妃子笑荔枝贵妃芒果费用（元）

第一次1020300

第二次1510350

19．为了庆祝中国共产党国成立100周年，某市决定开展”党在我心中”主题演讲比赛，某中学将

参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分

成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．根据图表，解答下列问题：

等级分数段频数频率

A74.5～79.520.05

B79.5～84.5a

C84.5～89.5120.3

D89.5～94.5n

E94.5～99.540.1

（1）表中a＝，n＝．

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是度；

（3）某同学的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在分数段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手

参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向

下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，

此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：

），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结

果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

21．已知：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段CD上的一个动

点（不与C、D重合），射线AF与DE交于点G，与BC延长线交于点P．

（1）如图1，当F是CD的中点时，求证：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如图2，当DF＝2CF时，连结CG，①求DG的长；②请问△CGP是否为等腰三角形？请

说明理由．

22．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，

﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S＝2S

△DAC

？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

△DCM

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，

直接写出满足条件的点P的坐标．

参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题3分）

1．﹣2的绝对值是（）

A．﹣2B．2C．D．﹣

【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．

解：|﹣2|＝2，

故选：B．

2．若a﹣b＝1，则代数式2a﹣2b﹣1的值为（）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

【分析】首先把2a﹣2b﹣1化成2（a﹣b）﹣1；然后把a﹣b＝1代入化简后的算式计算即可．

解：∵a﹣b＝1，

∴2a﹣2b﹣1

＝2（a﹣b）﹣1

＝2×1﹣1

＝2﹣1

＝1．

故选：A．

3．当地球与火星两颗行星都位于距离太阳最远点，且位于太阳的两边时，两者之间距离最远，大约

为401000000千米，将数据401000000用科学记数法表示为（）

A．40.1×107B．4.01×107C．4.01×108D．4.01×109

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n

比原来的整数位数少1，据此判断即可．

解：401000000＝4.01×108．

故选：C．

4．一个物体如图1所示，它的俯视图是（）

A．B．C．D．

【分析】找出从几何体的上面看所得到图形即可．

解：这个立体图形的俯视图为一行三个相邻的矩形．

故选：D．

5．点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）

A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1．﹣2）D．（﹣1，2）

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称

点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．

解：点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2）．

故选：D．

6．下列计算正确的是（）

A．a2+b3＝2a5B．a4÷a＝a4C．a2•a3＝a6D．（﹣a2）3＝﹣a6

【分析】根据同底数相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，

底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

解：A、a2与b3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、应为a4÷a＝a3，故本选项错误；

C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；

D、（﹣a2）3＝﹣a6，正确．

故选：D．

7．不等式组的解集在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集．

解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，

故选：B．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解为（）

A．x＝1B．x＝3C．x＝D．无解

【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．

解：去分母得：

2﹣2x＝x﹣1，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x﹣1＝0，故此方程无解．

故选：D．

9．反比例的数经过点（2，﹣1），则下列说法错误的是（）

A．k＝﹣2

B．函数图象分布在第二、四象限

C．当x＞0时，y随x的增大而增大

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内

y随x的增大而证得进行分析即可．

解：A、反比例的数经过点（2，﹣1），故k＝2×（﹣10＝﹣2，说法正确，不符合题意；

B、k＝﹣2＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，说法正确，不符合题意；

C、k＝﹣2＜0，其在每一象限内y随x的增大而增大，说法正确，不符合题意；

D、k＝﹣2＜0，其在每一象限内y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；

故选：D．

10．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数

为（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO＝90°，再利用互余计算出∠AOP＝50°，

然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO＝90°，

∵∠P＝40°，

∴∠AOP＝50°，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB，

∵∠AOP＝∠B+∠OAB，

∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．

故选：B．

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点

D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于

点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）

A．1B．C．2D．

【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，

然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．

解：由作法得AG平分∠BAC，

∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，

所以△ACG的面积＝×4×1＝2．

故选：C．

12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED

的度数为（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质

可求解．

解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，

∵DE⊥BC，

∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，

∴∠ODE＝∠OED＝20°，

故选：B．

二、填空题（本题满分16分，每小题4分）

13．4的平方根是±2．

【分析】根据平方根的定义，求非负数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a

的平方根，由此即可解决问题．

解：∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2．

故答案为：±2．

14．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若

AB＝8，AD＝12，则四边形ENFM的周长为20．

【分析】根据M是边AD的中点，得AM＝DM＝6，根据勾股定理得出BM＝CM＝10，再根据E、

F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM＝FM＝5，再根据N是边BC的中点，得出EM＝

FN，EN＝FM，从而得出四边形EN，FM的周长．

解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB＝8，AD＝12，

∴AM＝DM＝6，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴BM＝CM＝10，

∵E、F分别是线段BM、CM的中点，

∴EM＝FM＝5，

∴EN，FN都是△BCM的中位线，

∴EN＝FN＝5，

∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5＝20，

故答案为20．

15．如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为90°．

【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E＝∠EDC＝120°，

∵EF＝DE，

∴∠EDF＝∠EFD＝30°，

∴∠FDC＝90°，

故答案为：90°

16．图7是某沙滩上用石子制成的小房子，观察变化规律，则第5个小房子用了45块石子；第

n个小房子用了1+2（n﹣1）+（1+n）2块石子．

【分析】根据所给的图形中石子的数，分析得出第n个小房子用的石子的数，即可求解．

解：∵第1个图中石子的块数为：5＝1+22＝1+2×（1﹣1）+（1+1）2；

第2个图中石子的块数为：12＝1+2+32＝1+2×（2﹣1）+（1+2）2；

第3个图中石子的块数为：21＝1+2+2+42＝1+2×（3﹣1）+（1+3）2；

第4个图中石子的块数为：32＝1+2+2+2+52＝1+2×（4﹣1）+（1+4）2；

..．

∴第n个图中石子的块数为：1+2（n﹣1）+（1+n）2；

∴第5个小房子的石子数为：1+2×（5﹣1）+（1+5）2＝45．

故答案为：45；1+2（n﹣1）+（1+n）2．

三、解答题（本题满分68分）

17．（1）计算：．

（2）化简：．

【分析】（1）根据负整数指数幂的意义，零指数幂的意义即可求出答案．

（2）根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．

解：（1）原式＝﹣4×2﹣3+9+1

＝﹣8﹣3+9+1

＝﹣1．

（2）原式＝•

＝．

18．海南盛产热带水果，张阿姨分两次购进“妃子笑荔技”、“贵妃芒果”两种水果进行销售，两

次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水

果每千克的进价分别是多少元？

购进数量（千克）购进所需

妃子笑荔枝贵妃芒果费用（元）

第一次1020300

第二次1510350

【分析】根据表格中的数据可列出相应的二元一次方程组，从而可以求得两种水果的进价．

解：设“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是x元，y元，

由题意可得，，

解得，

∴“妃子笑荔枝”、“贵妃芒果”两种水果每千克的进价分别是20元，5元．

19．为了庆祝中国共产党国成立100周年，某市决定开展”党在我心中”主题演讲比赛，某中学将

参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分

成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．根据图表，解答下列问题：

等级分数段频数频率

A74.5～79.520.05

B79.5～84.5a

C84.5～89.5120.3

D89.5～94.5n

E94.5～99.540.1

（1）表中a＝8，n＝0.35．

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是126度；

（3）某同学的成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在84.5～89.5分数

段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手

参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）根据频率＝频数÷总数及频率之和为1求解可得；

（2）根据所求结果即可补全图形；

（3）根据中位数的概念求解可得；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好

是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：（1）a＝40×0.2＝8，n＝1﹣（0.05+0.2+0.3+0.1）＝0.35，

故答案为：8，0.35；

（2）等级D所对应的扇形圆心角的度数是360°×0.35＝126°，

故答案为：126；

（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，

∴猜测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，

故答案为：84.5～89.5．

（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．

恰好是一名男生和一名女生的概率为＝．

20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向

下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，

此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：

），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结

果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）

【分析】过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的长，进而可求出

DH的长，在直角三角形ADH中，可求出AH的长，进而可求出AN的长，在直角三角形CNB中

可求出BN的长，利用AB＝AH﹣BN计算即可．

解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，

∵坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：，

∴EF＝10米，DF＝10米，

∵DH＝DF+EC+CN＝（10+30）米，∠ADH＝30°，

∴AH＝×DH＝（10+10）米，

∴AN＝AH+EF＝（20+10）米，

∵∠BCN＝45°，

∴CN＝BN＝20米，

∴AB＝AN﹣BN＝10≈17米，

答：条幅的长度是17米．

21．已知：如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段CD上的一个动

点（不与C、D重合），射线AF与DE交于点G，与BC延长线交于点P．

（1）如图1，当F是CD的中点时，求证：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如图2，当DF＝2CF时，连结CG，①求DG的长；②请问△CGP是否为等腰三角形？请

说明理由．

【分析】（1）①根据ASA证明三角形全等即可．

②证明△ADF≌△DCE（SAS），推出∠DAF＝∠CDE，由∠CDE+∠ADG＝90°，推出∠DAF+

∠ADG＝90°，可得∠AGD＝90°．

（2）①通过计算证明PE＝AD＝6，由AD∥PE，推出＝＝1，推出DG＝EG，利用勾股定

理求出DE，可得结论．

②结论：△PCG不是等腰三角形．通过计算证明即可．

【解答】（1）证明：①如图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠BCD＝∠PCF＝90°，

∵F是CD的中点，

∴DF＝CF，

在△ADF和△PCF中，

，

∴△ADF≌△PCF（ASA）．

②如图1中，∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∵CB＝CD，DF＝CF，

∴DF＝CE，

∵∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝DC，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠DAF＝∠CDE，

∵∠CDE+∠ADG＝90°，

∴∠DAF+∠ADG＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴DE⊥AF．

（2）解：①如图2中，∵AD∥CP，

∴＝，

∴＝2，

∴CP＝3，

∵BE＝EC＝3，

∴PE＝6＝AD，

∵AD∥PE，

∴＝＝1，

∴DG＝EG，

在Rt△DCE中，DE＝＝＝3，

∴DG＝．

②结论：△PCG不是等腰三角形．

理由：∵∠DCE＝90°，DG＝EG，

∴CG＝DE＝，

∵CP＝3，

∴CG≠CP，

∵∠PCG是钝角，

∴△PCG不是等腰三角形．

22．已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为