第八章 二重积分

第八章二重积分第1页，共64页，2023年，2月20日，星期三一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分

第2页，共64页，2023年，2月20日，星期三第一节二重积分三、二重积分的性质一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算五、二重积分的计算第3页，共64页，2023年，2月20日，星期三解法:

类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”第4页，共64页，2023年，2月20日，星期三1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体第5页，共64页，2023年，2月20日，星期三4)“取极限”令第6页，共64页，2023年，2月20日，星期三2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.第7页，共64页，2023年，2月20日，星期三2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量第8页，共64页，2023年，2月20日，星期三两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第9页，共64页，2023年，2月20日，星期三二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积

,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,第10页，共64页，2023年，2月20日，星期三引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划第11页，共64页，2023年，2月20日，星期三二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.第12页，共64页，2023年，2月20日，星期三三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则第13页，共64页，2023年，2月20日，星期三特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有第14页，共64页，2023年，2月20日，星期三7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此第15页，共64页，2023年，2月20日，星期三例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上第16页，共64页，2023年，2月20日，星期三例2.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D第17页，共64页，2023年，2月20日，星期三例3.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负

但不好估计.舍去此项第18页，共64页，2023年，2月20日，星期三8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有第19页，共64页，2023年，2月20日，星期三四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作第20页，共64页，2023年，2月20日，星期三同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作第21页，共64页，2023年，2月20日，星期三例4.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为第22页，共64页，2023年，2月20日，星期三被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:第23页，共64页，2023年，2月20日，星期三2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有第24页，共64页，2023年，2月20日，星期三3.计算解:第25页，共64页，2023年，2月20日，星期三4.证明:其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.第26页，共64页，2023年，2月20日，星期三且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X-

型区域

则1、利用直角坐标计算二重积分五、二重积分的计算第27页，共64页，2023年，2月20日，星期三若D为Y-型区域则第28页，共64页，2023年，2月20日，星期三当被积函数均非负在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于第29页，共64页，2023年，2月20日，星期三说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y

-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则第30页，共64页，2023年，2月20日，星期三例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,

则第31页，共64页，2023年，2月20日，星期三例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则第32页，共64页，2023年，2月20日，星期三例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.第33页，共64页，2023年，2月20日，星期三例4.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则第34页，共64页，2023年，2月20日，星期三例5.

计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,第35页，共64页，2023年，2月20日，星期三2、利用极坐标计算二重积分对应有在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为第36页，共64页，2023年，2月20日，星期三即第37页，共64页，2023年，2月20日，星期三设则(1)极点O在积分区域D之外第38页，共64页，2023年，2月20日，星期三(2)极点O在积分区域D之内第39页，共64页，2023年，2月20日，星期三此时若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)第40页，共64页，2023年，2月20日，星期三若区域特征如图第41页，共64页，2023年，2月20日，星期三解第42页，共64页，2023年，2月20日，星期三解第43页，共64页，2023年，2月20日，星期三例3求由球面x2+y2+z2=4a2与柱面x2+y2=2ay所围立体的体积。解：计算第一挂限部分体积xyoxyz第44页，共64页，2023年，2月20日，星期三解∵D=2D1第45页，共64页，2023年，2月20日，星期三第46页，共64页，2023年，2月20日，星期三例5解第47页，共64页，2023年，2月20日，星期三例6.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.第48页，共64页，2023年，2月20日，星期三注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,①故①式成立.又第49页，共64页，2023年，2月20日，星期三例7.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知第50页，共64页，2023年，2月20日，星期三*3、二重积分换元法

定积分换元法满足一阶导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理:变换:是一一对应的,第51页，共64页，2023年，2月20日，星期三证:根据定理条件可知变换T可逆.

用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xOy面上得到一个四边形,其对应顶点为则第52页，共64页，2023年，2月20日，星期三同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为第53页，共64页，2023年，2月20日，星期三因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,第54页，共64页，2023年，2月20日，星期三例8.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令则第55页，共64页，2023年，2月20日，星期三例9.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令则第56页，共64页，2023年，2月20日，星期三例10.

试计算椭球体解:由对称性令则D的原象为的体积V.第57页，共64页，2023年，2月20日，星期三思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序后,x,y互换第58页，共64页，2023年，2月20日，星期三解：原式2.给定改变积分的次序.第59页，共64页，2023年，2月20日，星期三内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法第60页，共64页，2023年，2月20日，星期三(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则4、二重积分的计算第61页，共64页，2023年，2月20日，星期三则(2)一般换元