第六章二次型与对称阵

第六章二次型与对称阵第1页，共61页，2023年，2月20日，星期三第六章二次型与对称阵

本章教学内容§1二次型及其矩阵§2二次型的标准型§3合同变换与二次型的规范型§4实二次型的分类正定二次型第2页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵

本节教学内容1.二次型及其矩阵的概念2.线性变换的概念第3页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵1.二次型及其矩阵的概念定义1.1含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式称为二次型。若每个aij∈数域P,(x1,x2,…,xn)称为数域P上的二次型；若每个aij∈R，(x1,x2,…,xn)称为实二次型；若每个aij∈C，(x1,x2,…,xn)称为复二次型。称为标准形第4页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵例称零二次型;第5页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵设二次型称二项型的和号表示第6页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵二次型称二项型的矩阵表示第7页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵二次型(x)=xTAxA称为二次型(x)的矩阵，而(x)称为A的二次型，A的秩称为二次型(x)的秩,记作R(),即R()=R(A)注⑴二次型(x)的矩阵A，由(x)唯一地确定；反之，对称矩阵A的二次型(x)，由A唯一地确定,即二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．⑵本教材凡说:二次型(x)=xTAx，矩阵A均指对称矩阵。第8页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵例1.1第9页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵选例解B为方阵，xTBx是二次型第10页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵例1.2注：一般的，标准的二次型的矩阵是n阶对角阵。第11页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵2.线性变换的概念定义1.2把变量x1,x2,…,xn化为变量y1,y2,…,yn的一组线性关系称变量x1,x2,…,xn到变量y1,y2,…,yn的一个线性变换记则线性变换(1)可表为x=Py

矩阵P称为该变换的系数矩阵.第12页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵若P可逆，则线性变换x=Py称为可逆线性变换（或称满秩线性变换、非退化线性变换）；若P不可逆，则线性变换x=Py称为不可逆线性变换（或称降秩线性变换、退化线性变换）.若x=Py称为可逆线性变换，则线性变换y=P-1x

称为线性变换x=Py的逆变换.注：线性变换y=P-1x与x=Py互为逆变换.第13页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵问题:求可逆线性变换x=Py将二次型(x)=xTAx化为标准形即求可逆矩阵P使PTAP是对角矩阵.定义1.3对于n阶矩阵A,B，如果有n阶可逆矩阵P使得PTAP=B，则称矩阵A与B合同(或相合)，记为A～B.性质⑴A～A.⑵若A～B，则B～A.⑶若A～B，B～C，则A～C.(证略)第14页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵⑷若A～B，则R(A)=R(B).⑸若A～B，A是对称矩阵，则B是对称矩阵.概念：当P可逆时，对方阵A的运算PTAP，称对A的合同变换，称P为合同因子或合同变换矩阵。注：合同变换PTAP，相似变换P-1AP，若Q为正交矩阵，则QTAQ=Q-1AQ，即合同变换与相似变换一致。第15页，共61页，2023年，2月20日，星期三§1二次型及其矩阵本节学习要求1.理解二次型及其矩阵的概念，会写出二次型的矩阵，会写出矩阵的二次型，2.理解矩阵的合同概念，熟悉矩阵合同的性质，理解合同变换概念。作业：习题6.1(A)第1,5题(P172)第16页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形

本节教学内容1.化二次型为标准形问题2.用正交变换化实二次型为标准形3.用配方法化二次型为标准形第17页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形1.化二次型为标准形问题定义2.1只含平方项的二次型称为标准二次型，简称标准形.特征：一个二次型是标准形的充要条件是它的矩阵是对角矩阵。定理2.1设A是n阶对称矩阵，二次型(x)=xTAx能用可逆线性变换x=Py化为标准形的充要条件是存在可逆矩阵P使第18页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形注：由定理2.1可知⑴用可逆线性变换化二次型为标准形的问题就是用合同变换化二次型为标准形的问题。⑵因合同变换不改变矩阵的秩，因此二次型(x)经可逆线性变换化为标准形则R()等于b1,b2,…,bn中非零的个数。第19页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形2.用正交变换化实二次型为标准形定理2.2对于任何n元实二次型(x)=xTAx，必存在正交变换x=Qy使(x)化为标准形其中1,2,…,n恰是A的全部特征值。证：由第五章定理5.3知定理成立。第20页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形用正交变换化实二次型(x)=xTAx为标准形的步骤：⑴求A的特征值：1,2,…,n,⑵求A的对应于1,2,…,n的线性无关的特征向量1,2,…,n,⑶正交单位化1,2,…,n,得单位正交向量组1,2,…,n,⑷设Q=(1,2,…,n)，则Q是正交矩阵，作正交变换x=Qy有第21页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形例2.1用正交变换化实二次型为标准形.解⑴

二次型的矩阵A的特征多项式第22页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形⑵⑶⑷设Q=(1,2,3,4)，作正交变换x=Qy得第23页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形例2.2用正交变换化实二次型为标准形,并求出所用的正交变换.解⑴

二次型的矩阵由第24页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形⑵⑶正交化、单位化得⑷设Q=(1,2,3)，作正交变换x=Qy，即第25页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形得⑷设Q=(1,2,3)，作正交变换x=Qy，即第26页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形例2.3试求实二次型的标准形,不要求给出所用的线性变换.解二次型的矩阵由第27页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形二次型的一个标准形是问题：上例改为：二次型的一个标准形是对吗？改为：二次型的一个标准形是对吗？注意：一个二次型的标准形并不惟一，标准形的系数也不一定是其矩阵的特征值。对对第28页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形3.用配方法化二次型为标准形例2.4用可逆线性变换化二次型为标准形.解第29页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形例2.5用可逆线性变换化二次型为标准形.并求出所用的可逆线性变换。解第30页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形用可逆线性变换第31页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形由配方法可知：定理2.3任何二次型必可经过可逆线性变换化为标准形。定理2.4任何对称矩阵必可合同于对角矩阵。第32页，共61页，2023年，2月20日，星期三§2二次型的标准形本节学习要求1.理解二次型的标准形的概念，熟悉有关定理。2.掌握化二次型为标准形的方法。作业：习题6.2(A)第1(1),2(2)题(P179)第33页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型

本节教学内容1.合同变换法2.实二次型的规范形3.复二次型的规范形4.实二次型规范形惟一性的证明第34页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型1.合同变换法定义3.1

用初等矩阵作合同因子所进行的合同变换称为初等合同变换，即下列三种：⑴倍法初等合同变换：⑵消法初等合同变换：⑶换法初等合同变换：定理3.1

任何合同变换必可经过有限多次初等合同变换实现。

(证略)第35页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型例3.1用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。解0003303-40309/4000第36页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型例用初等合同变换把对称矩阵化为对角矩阵。解第37页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型用初等合同变换化二次型(x)=xTAx为标准形思想方法于是经可逆线性变换x=Py，

(x)=yTBy第38页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型例2.5在实数域上，化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换。解二次型的矩阵第39页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型第40页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型2.实二次型的规范形定理3.2任意实对称阵A合同对角阵称之为实对称矩阵A的规范形.其中p+q=R(A)，p,q由A唯一确定；p称为A的正惯性指数；q称为A的负惯性指数；p-q称为A的符号差。(证略)第41页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型推论3.1任意实二次型(x)=xTAx，总有可逆线性变换x=Py,使

称之为实二次型的规范形，且规范形由原二次型唯一确定。其中p称为二次型(x)的正惯性指数；q称为二次型(x)的负惯性指数；

p+q=R()；p-q称为二次型(x)的符号差.第42页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型例用可逆线性变换把实二次型

化为规范形,并指出其正惯性指数,负惯性指数和符号差.解：正惯性指数=1,负惯性指数=2,符号差=1-2=-1。第43页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型例求实对称矩阵的正惯性指数,负惯性指数和符号差.解：A的正惯性指数=2,负惯性指数=1,符号差=2-1=1。第44页，共61页，2023年，2月20日，星期三§3合同变换与二次型的规范型本节学习要求1.理解初等合同变换的概念，会用初等合同变换化二次型为标准形。2.理解实二次型的规范型概念，会用可逆变换化实二次型为规范形，会求实二次型的正惯性指数、负惯性指数和符号差。作业：习题6.3(A)第2(1),3题(P189)第45页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型

本节教学内容1.实二次型的分类2.正定二次型与正定矩阵3.负定、半正定、半负定二次型第46页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型1.实二次型的分类定义4.1(4.3)

设实二次型(x)=xTAx，⑴

xRn,x0，都有(x)>0,则称(x)为正定二次型，并称A为正定矩阵；⑵xRn,都有(x)≥0,则称(x)为半正定二次型，并称A为半正定矩阵；⑶xRn,x0，都有(x)<0,则称(x)为负定二次型，并称A为负定矩阵；⑷

xRn,都有(x)≤0,则称(x)为半负定二次型，并称A为半负定矩阵；第47页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型⑸若存在x1,x2Rn,有(x1)>0,(x2)<0,则称(x)为不定二次型，并称A为不定的矩阵；例设指出下列实二次型的类型⑴⑵⑶⑷⑸正定负定半负定半正定不定第48页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型定理4.1

可逆线性变换保持二次型的类型不变。(证略)依定理2.2可推知，对实二次型(x)=xTAx，⑴(x)正定A的特征值全为正数；(定理4.3)⑵

(x)负定A的特征值全为负数；(P193)⑶

(x)半正定A的特征值全为非负数；⑷(x)半负定A的特征值全为非正数；⑸(x)不定A的特征值有正有负；第49页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型例4.1判别下列实二次型的正定性解法1：二次型的矩阵第50页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型例4.1判别下列实二次型的正定性解法2：第51页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型例4.1判别下列实二次型的正定性解法3：二次型的矩阵第52页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型进一步可推知：若n元实二次型(x)的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则⑴(x)正定

p=n，q=0；(定理4.2，定理4.4)⑵

(x)负定

p=0，q=n；(P193)⑶

(x)半正定p<n，q=0

；(P193)⑷(x)半负定p=0，q<n；⑸(x)不定p>0，q>0

；第53页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型2.正定二次型与正定矩阵定义4.2n阶方阵A=(aij)n的k阶子式称为A的k阶顺序主子式定理4.5实二次型(x)=xTAx正定

A的各阶顺序主子式大于零，第54页，共61页，2023年，2月20日，星期三§4实二次型的分类正定二次型定理4.5实二次型(x)=xTAx正定

A的各阶顺序主子式大于零。类似的有⑴实二次型(x)=x