导体表面电荷分布与表面曲率关系

摘要从导体表面电场的特征和电荷分布的微观解释导体表面电场的特性出发，我们对孤立带电导体凹凸形尖端的表面电荷与电场分布进行了定性计算及分析。依据该带电导体的等势面与电场线正交的特征，得出了该带电导体尖端处表面电荷与表面电场间的定量关系，而且进行了讨论。对于孤立的带电导体来说，电荷分布规律有以下的结论，其上面电荷的多少与该处表面的曲率有关，导体表面凸出尖端的地方（曲率较大），面电荷密度。较大；表面较平缓的地方（曲率较小）电荷密度。较小；表面凹下去的地方（曲率小于零）。更小。本文将进行分析说明：电荷密度分布与曲率成正比只是一个大致的定性的规律，不能简单地根据两处的曲率大小来比较两处的电荷密度的大小。关键词：带电导体电荷面密度电场分布电荷面密度表面曲率一、导体表面电荷分布的有关因素1电荷分布的微观解释ununIfZM燎普僵费隼*rnSHUCNIIK权神e。1色媪，|||00rn

CN一、导体表面电荷分布的有关因素1电荷分布的微观解释我们所说的导体带电，通常是指正负电荷中和后会出现多余〃净电荷”。若正电荷数量大于负电荷，则中和后，导体就会多余出正的〃净电荷”，这些〃净电荷”都会带有正的电性，我们也因此判定导体带正电。又根据同种电荷间有库伦力的作用，导体表面相同电性的电荷将会齐向着斥力小的方向运动。此时若导体呈球状，电荷也会自由移动至均匀分布于球体表面，进而形成均匀的对称电场。但若导体非球状，表面有凸凹时，净电荷依旧向着斥力最小的方向自由移动。但由于凸面的顶端据其他表面最远，会使得此处电荷受其他电荷的斥力最小。因此会吸引大量电荷移向此处，导致电荷分布最集中，随之电场也会最强。反之，凹面距离其余电荷最近，库伦力也最大，因此电荷密度最小，电场也最弱。2尖端处表面电荷总静电荷不为零且与其他物体距离足够远的孤立带电导如果带有电荷Q，当自由电子不做自由运动达到静电平衡时有（1）导体内电场强度为零（2）导体内部电荷密度为零，电荷只能在导体表面分布;（3）在导体外部，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比，可在导体外紧靠表面处人去一点做高斯面，有高斯定理知电场强度大小为E=错误!未找到引用源•，而导体表面的电荷密度是错误!未找到引用源•。大致来说，当曲率半径p>0时，任意形状的孤立带电导体外表面，向夕卜突出的地方电荷较密，场强也大。在突出部位较平坦的地方电荷很疏，场强也小；当某处场强〉击穿场强时，就发生常见的尖端放电现象。3电荷分布与表面曲率关系椭球面的代数方程式是比较简单的，当椭球的三个半轴相等时，它的方程式就变成圆的方程。现有一椭圆，使该椭圆绕短（长）轴旋转而得到的椭球就相当于一根细长棒。长棒两端曲率很大，中间曲率较小，因此用这种导体研究表面曲率与电荷分布是能说明问题的，无论它是什么形状的带电导体，除了夕卜界环境，导体内部各处场强大小等于零是判断导体电荷是否平衡分布的唯一条件。假设我们考虑的是一个绕轴旋转的椭球体，它的两个焦点分别为01和O2,椭球表面的电荷分布使椭球内部任一点的场强矢量和为零。一般来说，这种现象是导体表面电荷产生的场强相互抵消的结果。但是，对于焦点O1和O2，这种抵消是一对一成立的。过椭球的焦点O1作一个较小的立体角，它在椭球表面上切出两块表面ds和ds2，通过严格的理论证明，ds上的电荷在焦点O1处产生的场强与ds2上的电荷在O1处产生的场强恰恰相互抵消，所以，整个椭球表面上的电荷在O1产生的场强之和为零，根据这一规律，就可以找到带电导体表面电荷分布的一些规律。图1旋转椭球焦点场强分布如图1,设ds1处电荷密度为。1,离O1的距离为r1,即ds上的带电量为dq1=。1ds,这些电荷在O1处产生的场强d错误!未找到引用氟为：d错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。注意，ds=ds'/cosa1,错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。与该处表面法线错误!未找到引用氟间的夹角。ds'=错误!未找到引用源。d错误!未找到引用源。，d错误!未找到引用源。是ds对O1张的立体角。因此：d错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。同理，ds2上的电荷在O1处产生的场强也可以用同样的方法求出。ds2对O1的立体角也是dQ1。同理：d错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。其中错误!未找到引用源。是d错误!未找到引用源。上的法线与错误!未找到引用源。之间的夹角，因为在焦点上是对应的电荷产生的场进行抵消，所以dE1=dE2，进而得到错误!未找到引用源。/错误味找到引用源。=错误味找到引用源。，这也就是说。8cosa,这就是椭球表面电荷分布的具体规律，依据以焦点为原点的椭圆方程：r=错误!未找到引用源。（P是焦点参数，£是偏心率）可以求出r、中处的cosa,为：错误味找到引用源。=错误!未找到引用源。由次我们可以求出导体上任意两点（即中1和中2）的表面电荷密度之比。如：1）在最平的一点B,错误!未找到引用氟=-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。根据以上讨论得密度比为：错误!未找到引用源。=错误味找到引用源。2）在椭圆最尖锐的一端A，中A=0,cosaA=13）在A与B之间的其它的点，其中cosa值是介于错误!未找到引用源。与错误!未找到引用氟之间的，我们假设椭球长轴逐渐变长，当首艮接近于1时，焦点01、02逐渐到达椭球两端，椭球上很大一部分面积的错误!未找到引用源.，因而cosa必0，所以电荷集中分布在椭球两长轴末尾的尖端这一很小的区域内，长椭球中间部位多地方的电荷分布几乎为零。首先对导体表面面电荷率和表面曲率的关系进行定性分析，如图1、我们可以简单的知道，表面曲率小的地方，a角大，cosa值小；表面曲率大的地方，以角小，cosa值大。所以可知曲率大的地方的电荷密度大于曲率小的地方的电荷密度，这个说法是正确的，但应该想到，这并不是一个一般的结论，我们可以来进行下面的分析。由数学学过的知识可知平面曲线的曲率为：k=错误!未找到引用源。=错误!其中dl是曲线（该题目中即为椭圆）上的一段弧长，通过计算可得，k与cosa的关系并部确定，影响它的因素有多个，所以电荷密度与K也不是一一对的的，与曲率并不成简单的正比关系，可推测它们二者之间的关系是一个很复杂的函数。通过这样分析，就可以得到结论，用细导线连接两个导体球面而得到的可以看成—个孤立导体的模型中，电荷密度。与曲率K成正比的结论并不一定。进一步分析，任意一个曲面上某一点有两个曲率值。比如旋转椭球上短轴上的B点，在椭球旋转方向上有一个曲率，在椭圆形的平面上还有一个曲率，我们的〃电荷密度与半径成反比，即与曲率成正比”这句话到底是指旋转方向的曲率还是表面曲率？当出现一个方向的曲率很小，另一个方向的曲率又很大的情况时，电荷又将怎么分布呢？图2旋转椭球面电荷分布图3旋转椭球面电荷分布二导体表面的电场1电场分布的描述图4等势面图2旋转椭球面电荷分布图3旋转椭球面电荷分布现在孤立导体外部空间电场中，取一等势面元s,s面上的两个主曲率半径分别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。，再沿着s面的法线方向外移一段线元dz，即得到另一个等势面的面元(s+ds)，如图4所示：由于两层面元之间不存在电荷，可由高斯定理得：d(E-S)=0,所以EdS+SdE=0整理得：错误!未找到引用源。=-错误!未唳引用源。(1)由此可见导体表面场强大小与此处面积的相对变化率变化方向相反，但绝对值相等，随着Z值的逐渐变大，错误!未找到引用源。，离导体表面越远的地方，场强越小。如图由几何关系可知：错误!未找到引用源。(2)联立两式并把高阶无穷小项略去，得到：dS=(错误!未找到引用源。)dzd错误!未找到引用源。d错误!未找到引用TOC\o"1-5"\h\z源.⑶\o"CurrentDocument"同除以S得：错误味找到引用源=错误!未找到引用源。dz=(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)dz错误!未找到引用源。dz(4)联立(1)(4)式得：错误!未找到引用源。或错误!未唳引用源。=错误!未找到引用氟E⑸可知，电场在此处的相对变化率与该处等势面的曲率半径成反比。当导体表面为平面时，p-8错误!未找到引用源。；在凹面外，P<0,错误!未找到引用源。，即沿Z方向，E越来越大，场强增大，凹面处的E最小。在凸面外，P>0,错误!未找到引用氟即沿Z方向，E越来越小，且p越小，场强变小的速度越快，凸处尖端电场强度E最大。图5凸端场强图6凹端处场强2凸端处的场强如图5所示，以凸处尖端的棱角处为原点，取电场线线方向为Z轴。在Z轴上A,与原点相距为Z,设A处等势面的曲率半径为p,将其在原点处以曲率半径错误!未找到引用氟展开，得泰勒级数如下。即：错误!未找到引用氟+（错误!未找到引用源。+...，错误!未找到引用源。=0。且略去上式高次项，整理上式得：错误!未找到引用源。，把Z代入（5）式，有：错误!未找到引用源。•错误!未找到引用源。因为凸处尖端外部曲率半径p增大，所以式中错误!未找到引用源。。设点A处场强为错误!未找到引用源。，凸处尖端0点场强为错误味找到引用源。，引用源。则有：错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。•错误味错误!未找到引用源。-错误味找到引用源。=-错误味找到引用源。•错误味找到引用源•-错误!未找到引用氟引用源。要使上式等号成立，其中错误!未找到引用源。的值有限，则错误!未找到引用源。T8,可得错误!未找到引用源。T8,这样的话在此处可出现尖端放电这种现象。导体尖端附近电荷面密度与错误!未找到引用源。是成正比，这里r表示导体表面上的任意一点到尖端的距离，v是一个与锥角B有关的变量，如图4。现假设B=10。时，v必0.2邙=1°时，v=0.1…。以此类推，我们可得到，当导体尖端锥角很小时，v-。，。工错误!未找到引用源•，这时，电荷面密度与曲率成反比，因为当r足够小时，任何尖端都趋于圆弧，所以以上公式不能用于离尖顶太近的地方，理论上说，r=0处。-8,这实际上是不可能的。由此可知，电荷面密度和表面曲率的并不是成正比这种简单的关系。3凹端处的场强如图6所示，设错误味找到引用源。•错误!未找到引用源。，因为曲率半径是负的，而凹处外部错误!未找到引用源。逐渐增大，所以其变化率错误味找到引用源。仍小于零，错误!未找到引用源。，所以有：错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。•错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。。要使等式成立，其中可知错误!未找到引用氟为有限值，所以错误!未找到引用源。=错误味找到引用源。一定是0，即凹处错误味找到引用源。=0,因此，场强最小。现看一个比较复杂形状的导体，进行进一步考察，例如图5的〃元宝”导体，显然在凹陷的区域有些地方的曲率很大，但是电荷密度不会很大。图5图6三、结论从以上论述中，可得:电荷在导体上的分布是非常不均，难以测量的，由以上论证也只可得到电荷密度与表面曲率有着正相关的定性关系，但是还不能证明电荷密度的大小由各处表面曲率决定。参考文献[1]黄莹.电磁学原理在科学技术中的应用[M].北京:兵器工业出版社,1998.5-16.[2]敬仕超.物理学导论[M].成都:成都科技大学出版社,1995.216-246.[3]张之翔.带电导体椭球的电势和电荷分布[J].大学物理,2008,27(1):11213.[4]斯米尔诺夫.高等数学教程:第二卷，第二分册[M].孙念增，译.北京:高等教育社,1956:202,1982204[5]陈斌,李有泉，沙健，等.介观电路中电荷的量子效应[J].物理学报,1997,46(1):1292133.苏玉霞.面电荷所在处的电场强度[J].龙岩师专学报.1994(03)金仲辉.均匀带电球面上的电场强度如何计算[J].现代物理知识.2002(04)张之翔.带电导体椭球的电势和电荷分布[J].大学物理.2008(01)刘盂.关于曲率与面电荷分布问题[J].宁夏大学学报(自然科学版).1986(04)AbstractFromtheperspectiveofthepeculiaritiesofpowerfieldoftheconductorsurfaceandmicroexplanationofthedistributionoftheelectriccharge,wemakeaqualitativecalculationandanalysisofthedistributionofelectricchargeandpowerfieldoftheisolatedelectricconductor'sconcavo-convexpointedsurface.Accordingtothepeculiaritiesoftheperpendicularofequipotentialsurfaceandtheelectricfieldoftheelectricconductor,wecanconcludethequantitativedeterminationbearsoftheelectricchargeandpowerfieldofconductorspointedsurfaceandhaveadiscussion.Toisolatedelectricconductor,electricchargehastheflowingconclusionofitsdis