实验二：迭代法、初始值与收敛性

实验二：迭代法、初始值与收敛性一：实验要求考虑一个简单的代数方程-.-X2—x—1=0,jiBFfT"rFftpjtBF>r”丫，"rt针对上述方程，可以构造多种迭代法，如X=X2—1,X=1+—,X=X；X+1等。在实n+1«,n+1・Xn+1n1n轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果（1）取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放』■»_alHF,矿,,w事工,■»入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。（2）对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？实验内容：TOC\o"1-5"\h\zi）对X=X2—1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6，1.6进行n+1n实验，并画出迭代结果的趋势图。F编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1p'pp'clearn=30;x=-0.5;<,,，'击七.・‘击二沁x1=xA2-1;fori=1:nx1=x1A2-1;--xx（i）=x1;end'\m=linspace（0,29,n）;

plot(m,xx)x=-060-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.7-0.8-0.9title('x=-0.5')1.5x=-060-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.7-0.8-0.91-0.60.5-0.60-0.5-10246810121416182002468101214161820如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。分析：g⑴=x2-1，g'(x)=2x，要想在某一邻域上|g'(x)|=|2x|<1,则Vxe[-1,1]但是g(x)史［-1,1］，所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都是发散的。ii)对x=1+—进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7，2.1进〃+1xn行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=xA2-1clear^・・n=20;x=-0.5;x1=1+1./x;{fori=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;aendm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')m'■¥-9118200246810121416g(x)c[1.65,g(x)c[1.65,+8],Vxc[1.65,+8],g'(x)=分析：g(x=+1—设xn[1.65,+8]上有界，且g'(x)=<1,Vxc[1.65,+8]则由迭代式对任意初始值xc[1.65,+8]g(x)=1+—,产生的序列都收敛。同时由g(x)=1+—,可以看到，在0xxx0c[-8,+8]选取初值，在进行n次迭代后，都会存在一个xn>1.65，此时[1.65,+8]上有界，且g'(x)=."ii)对x=u'x+1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值=-0.6,2.1进n+1n行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1=sqrt(1.+x);fori=1:nx1=sqrt(1+x1);xx(i)=x1;

endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')分析：g(x)=设分析：g(x)=设g(x)c[—1,+8],Vxe[—1,+8],g'(x)=—.在[—1,+8]2待x+1实数域上有界，且g'<1Vxe—[+®则]由迭代式对任意初始值1.651-r1—X=06_i—1111.67L1L1-^-2^——11—111.6--1.66--5--1.51.45-|-1.64-1.4-11.63--1.351.62-■—--—1.3rriii■11r1r1r11■11.251.610246810121416182002468101214161820，，x0e[—1,Eg(x)=、'F产生的序列都收敛。同时由g⑴=如石可以看到，在x0e[-8,—1]选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。如初值选取x=-3，得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618,虚部收敛于0，Columns1through51.1688+0.6050i1.4867+0.2035i1.5782+0.0645i1.6058+0.0201i1.6143+0.0062iColumns6through101.6169+0.0019i1.6177+0.0006i1.6179+0.0002i1.6180+0.0001i1.6180+0.0000iColumns11through151.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000iColumns16through201.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.651.61.551.51.451.41.35口1.3-—"5024681012141618—^20上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。1III在进行n次迭代后，实部都会存在一个气>T，此时气相当于是在［T，+8］范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。对线性方程f(ax1+bx2)=af(气)+bf(气)，设f(x)=ax+b，则f'(x)=a。若线性方程的迭代是收敛的，则有|f'(x)|=|a|<1,-1<av1对f(x)=ax+b而言，在［-8,+8］上，都有x,f(x)c［-8,+8］，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。对非线性方程的迭代，就复杂的多。对于方程迭代发散的