微分中值定理相关竞赛题

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这部分有关考题主要是证实题，技巧性比较高。

内容要点

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理

典型例题

一、用罗尔定理的有关办法

例1设)(xf在[0，3]上延续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++fff，1)3(=f.试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0fξ'=

证：∵)(xf在[0，3]上延续，∴)(xf在[0，2]上延续，且有最大值M和最小值m.于是Mfm≤≤)0(；Mfm≤≤)1(；Mfm≤≤)2(，故

Mfffm≤++≤

)]2()1()0([3

1.由延续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c∈使得1)]2()1()0([3

1)(=++=

fffcf，因此)3()(fcf=，且)(xf在[c，3]上延续，（c，3）

内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(?∈cξ使得()0fξ'=。

例2设)(xf在[0，1]上延续，（0，1）内可导，且?=1

3

2)0()(3fdxxf

求证：存在)1,0(∈ξ使0)('

=ξf

证：由积分中值定理可知，存在2

[,1]3

c∈，使得

?

-

=13

2)3

21)(()(cfdxxf

得到?==1

3

2)0()(3)(fdxxfcf

对)(xf在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足）

故存在)1,0(),0(?∈cξ，使()0fξ'=

例3设)(xf在[0,1]上延续，(0，1)内可导，对随意1>k，有?-=kx

dxxfxe

kf1

1)()1(，

求证存在)1,0(∈ξ使1()(1)()ffξξξ-'=-

证：由积分中值定理可知存在1[0,

]ck

∈使得)01)(

()(11

1-=--?

k

cfce

dxxfxe

c

kx

令)()(1xfxexFx-=，可知)1()1(fF=

这样1

110

(1)(1)()()()x

c

kFfkxe

fxdxce

fcFc--====?

，对)(xF在]1,[c上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在)1,0()1,(?∈cξ，使()0Fξ'=而111()()()()x

x

x

Fxe

fxxe

fxxe

fx''=-+

∴11

()[()(1)()]0Feffξξξξξξ

-''=--

=

又01≠-ξξe，则1

()(1)()ffξξξ

'=-

罗尔定理的有关证实命题中，如何按照条件和结论构造一个合适的)(xF是十分关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些挑选。

模型Ⅰ：设)(xf在],[ba上延续，（ba,）内可导，0)()(==bfaf则下列各结论皆成立。

（1）存在),(1ba∈ξ使11()()0flfξξ'+=（l

（2）存在),(2ba∈ξ使1

222()()0kfkfξξξ-'+=（k

（3）存在),(3ba∈ξ使333()()()0fgfξξξ'+=（)(xg

例4设)(xf在]1,0[上延续，在（0，1）内可导，0)1()0(==ff，1)21

(=f，试证：

（1）存在)1,2

1

(∈η，使ηη=)(f。

（2）对随意实数λ，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1ffξλξξ'--=

证实：（1）令xxfx-=Φ)()(，明显它在[0,1]上延续，又

021)21(,01)1(>=ΦM是)

(xf在[1，2]上的最大值，证实：存在)2,1(∈ξ，使得()2fMξ'≥。

证：由周期性可知0)2()1()0(===fff，不妨假定)2,1(0∈x而0)(0>=Mxf，

对)(xf分离在[1,0x]和[0x,2]上用拉格朗日中值定理，

存在),1(01x∈ξ，使得010()(1)

()1

fxffxξ-'=

-①

存在)2,(02x∈ξ，使得020

(2)()()2ffxfxξ-'=

-②

假如)2

3,

1(0∈x，则用①式，得010()()21

fxfMxξ'=

≥-；

假如03[

,2)2

x∈，则用②式，得020

()()22fxfMxξ-'=

≥-；

因此，必有)2,1(∈ξ，使得()2fMξ'≥

例3设)(xf在[0,1]上延续，（0,1）内可导，且0)0(=f，1)1(=f，证实：（Ⅰ）存在)1,0(∈ξ，使得ξξ-=1)(f

（Ⅱ）存在,(0,1)ηζ∈，ηζ≠，使()()1ffηζ''=

证：（Ⅰ）令1)()(-+=xxfxg，则)(xg在[0,1]上延续，且01)0(=g，用介值定理推论存在)1,0(∈ξ，使0)(=ξg，即ξξ-=1)(f

（Ⅱ）在[0,ξ]和[ξ，1]上对)(xf用拉格朗日中值定理，存在),0(ξη∈，使

得()(0)

1()0

fffξξ

ηξξ

--'=

=

-

存在(,1)ζξ∈，ηζ≠，使(1)()1(1)()111fffξξξ

ζξ

ξ

ξ

'=

=

=

∴()()1ffηζ''?=

例4设()x?在[0,1]上可导，且(0)0,(1)1??==。证实：存在(0,1)内的两个

数ξ与η，使

3)

(2

)

(1

='+'η?ξ?。

（2022）例5设函数)(xf在闭区间[ba,]上延续，在开区间（ba,）内可导，且()0fx'>，若极

限a

xaxfa

x--+

→)

2(lim

存在，证实：

（1）在),(ba内0)(>xf；（2）在),(ba内存在ξ，使

)

(2)(2

2

ξξfdx

xfa

bba

=

-?

；

（3）在),(ba内存在与（2）中ξ相异的点η，使

22

2()()()ba

fbafxdxaξ

ηξ'-=

-?

证：（1）由于a

xaxfa

x--+

→)

2(lim

存在，故0)2(lim=-+

→axfa

x，由)(xf在[ba,]上

延续，从而0)(=af.又()0fx'>知)(xf在),(ba内单调增强，故

),(,0)()(baxafxf∈=>

（2）设)()()(,)(2

bxadttfxgxxFxa

≤≤=

=?

，

则()()0gxfx'=>，故)(xF，)(xg满足柯西中值定理的条件，于是在),(ba内

存在点ξ，使

2

22

()()()()()

()()(())xbaxa

a

a

FbFaba

xgbgaftdtftdtftdtξ

='

--=

=

-'

-?

?

?

，

即

)

(2)(2

2

ξξfdx

xfa

bba

=

-?

（3）因)()(0)()(affff-=-=ξξξ，在[ξ,a]上应用拉格朗日中值定理，知在

(,)aξ内存在一点η，使()()()