微分中值定理(怎样构造辅助函数)

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐微分中值定理(怎样构造辅助函数)怎样在微分中值定理中构造辅助函数成了解这类题的主要关键，下面介绍怎样构造的办法，还有附带几个经典例题，希翼对广阔高数考生有所协助。

先看这一题，已知f(x)延续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在ε使f’(ε)=f(ε)

证实过程：f’(ε)=f(ε),所以f’(x)=f(x),让f(x)=y,

所以ydxdy=,即dxdyy=1，所以对两边容易积分，即??=dxdyy

11，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C，但这只是我的阅历办法，所以不加）就是xy=ln，也就是xey=，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把xe除下来，就是1=xe

y，所以左边就是构造函数，也就是xey-?，而y就是f(x)，所以构造函数就是xexf-)(，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。

二、已知f(x)延续，且f(a)=f(b)=0,求证：

在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0证：一样的，xydxdy2-=，把x,y移到两边，就是xdxdyy

21-=，所以积分出来就是2lnxy-=，注重y一定要单独出来，不能带ln，所以就是=y2xe-，移出1就是,12=xye所以构造函数就是2

)(xexf，再用罗尔定理就出来了。

三、已知f(x)延续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε)ε+2f(ε)=0.

证：

02=+yxdxdy，移项就是dxxdyy121-=，所以xyln2ln-=，所以就是2

1xy=，移项就是12=?xy，所以构造的函数就是2)(xxf?，再用罗尔定理就可以了。

注：这种办法不是万能的，

结合下面例题尝试做下。

微分中值定理的证实题

1.若()fx在[,]ab上延续，在(,)ab上可导，()()0fafb==，证实：

Rλ?∈，(,)abξ?∈使得：()()0ffξλξ'+=。

证：构造函数()()xFxfxeλ=，则()Fx在[,]ab上延续，在(,)ab内可导，且()()0FaFb==，由罗尔中值定理知：,)abξ?∈（，使()0Fξ'=

即：[()()]0ffeλξξλξ'+=，而0eλξ≠，故()()0ffξλξ'+=。

经典题型二：

思路分析：

实战分析：

设,0ab>，证实：(,)abξ?∈，使得(1)()baaebeeabξξ-=--。证：将上等式变形得：1111111111(1)()baeeebaba

ξξ-=--作辅助函数1

()xfxxe=，则()fx在11[,]ba上延续，在11(,)ba内可导，由拉格朗日定理得：

11()()1()ffbafba

ξ-'=-1ξ11(,)ba∈，即11111(1)11baeebaeba

ξξ-=--1ξ11(,)ba∈，即：ae(1)(,)bebeeabξξ-=-(,)abξ∈。

经典题型三

设()fx在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f=，有2()()Fxxfx=证实：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0Fξ''=。

证：明显()Fx在[0,1]上延续，在(0,1)内可导，又(0)(1)0FF==，故由罗尔定理知：0(0,1)x?∈，使得0()0Fx'=

又2()2()()Fxxfxxfx''=+，故(0)0F'=，于是()Fx'在0[0]