课外拓展系列代数式初一数学

代数式风子编辑(biānjí)第一页，共21页。1分类(fēnlèi)代数式有理式无理式被开方数是否含有(hányǒu)字母整式(zhěnɡshì)分式分母中是否含有字母单项式式子中是否有加减运算多项式第二页，共21页。2概念(gàiniàn)代数式：由数、表示数的字母和运算符号组成的数学表达式。运算符号指加、减、乘、除乘方和开方等。单独一个数或一个字母也称为(chēnɡwéi)代数式。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫代数式的值。案例(ànlì)：1、x-32、〔a+b〕23、x4、105、3x6、a2+ab+b2第三页，共21页。3概念(gàiniàn)代数式的书写格式：1、代数式中数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以(kěyǐ)省略不写，或用“●〞来代替。数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的前面。如n×2写成2n，不要写成n2。2、一般按英文字母顺序来书写，y×x×2=2xy3、带分数与字母相乘时，假设要省略乘号，须把带分数化成假分数。4、当数字因数是1或-1时，通常省略不写。5、代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写。6、写代数式的答案时，假设是乘、除关系，单位名称直接写在式子后面；假设是加减关系时，必须把式子用括号括起来。第四页，共21页。4习题(xítí)用代数式表示：1、1〕x的2倍与3的和；2〕a、b、c的平均数；

2、一辆汽车以80km/h的速度行驶，从A城到B城需t〔h〕。如果该车的行驶速度增加(zēngjiā)v〔km/h〕，那么从A城到B城需多少时间？3、甲数比乙数的2倍少1。设乙数为x，用关于x的代数式表示甲数。4、大米单价为每千克a元，食油的单价为每千克b元。买10千克大米、2千克食油共需多少元？5、当x分别取以下值式，求代数式4-3x的值：1〕x=12〕x=4/33〕x=-5/66、当a=3，b=-2/3时，求以下代数式的值：1〕2ab2〕a2+2ab+b2第五页，共21页。5整式(zhěnɡshì)及合并同类项整式(zhěnɡshì)单项式〔由数与字母或字母与字母相乘(xiānɡchénɡ)组成的代数式〕多项式〔由几个单项式相加组成的代数式〕系数：单项式中的数字因数；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和；项：在多项式中的每个单项式；常数项：不含字母的项。同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。与字母顺序无关，与系数无关。合并同类项的法那么：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。多项式排列：1、变更项的位置时，一定要连同符号一起移动；2、确定排列的字母；3、确定按升序还是降序排列。第六页，共21页。6习题(xítí)1、区分整式类型(lèixíng)及系数，并指出是几次多项式？书本P.98’2、合并以下多项式的同类项1〕2a2b-3a-3a2b+2a2〕6xy-10x2-5yx+7x23〕3ab-4a+2ab-5a-1第七页，共21页。7整式(zhěnɡshì)的加减代数式运算的去括号法那么：括号前是“+〞号，把括号和它前面的“+〞号去掉(qùdiào)，括号里各项都不变；括号前是“-〞号，把括号和它前面的“-〞去掉(qùdiào)，括号里各项都改变符号。比方：+〔a+b-c〕=a+b-c-〔a+b-c〕=-a-b+c练习(liànxí)：化简下面代数式：2〔a2-ab〕-〔2a2-3ab〕2〔a2-1〕-(a2-2a-2)第八页，共21页。8拓展训练(xùnliàn)—重要事项1、标准代数式的书写标准；2、与整式相对应的是分式，整式中的除式或分母(fēnmǔ)不含有字母；3、整式的加减运算可归结为去括号和合并同类项；4、乘法与除法互为逆运算，乘方运算是乘法运算的延伸与拓展；5、常用的乘法公式如下：1〕平方差公式：〔a+b〕〔a-b〕=a2-b22〕完全平方公式：〔a±b〕2=a2±2ab+b23〕立方和〔差〕公式：a3+b3=〔a+b〕〔a2-ab+b2〕a3-b3=〔a-b〕〔a2+ab+b2〕4〕和〔差〕立方公式：〔a±b〕3=a3±3a2b+3ab2±b35、在整式运算中，要着重注意运算顺序和运算符号。举一反三(jǔyīfǎnsān):(a+b+c)2=?〔a2-b2〕2=?第九页，共21页。9拓展训练(xùnliàn)—案例题例1：设有理数a、b满足(mǎnzú)a=-2b+4，问6a-3b与8a+b-1哪个大？大多少？【分析】这题是两个代数式比较大小。比较大小，我们一般可以采用减法(jiǎnfǎ)。解：〔6a-3b〕-〔8a+b-1〕=6a-3b-8a-b+1=-2a-4b+1=-2〔a+2b〕+1=-2×4+1=-7所以，8a+b-1比较大，且大7。第十页，共21页。10拓展训练(xùnliàn)—案例题例2：化简以下(yǐxià)各式：1〕(2x-3y)2(2x+3y)-(3y-2x)(3y+2x)22〕(x3+x2+x+1)(x3-x2+x-1)-(x3+x2+x+2)(x3-x2+x-2)【分析】化简代数式，需要先观察代数式的规律，在运用相应的方法(fāngfǎ)。代数式1〕两个单项式中，有相同的组成元素(2x-3y)(2x+3y)，而相同局部又符合平方差公式；代数式2〕中，两个单项式局部相同，因此用字母来替代相同局部。解：1〕原式=(2x-3y)(2x+3y)[(2x-3y)-(2x+3y)]=(4x2-9y2)×〔-6y〕=54y3-24x2y2〕设x3+x2+x+1=A，x3--x2+x-1=B，那么：原式=AB-(A+1)(B-1)=AB-(AB-A+B-1)=A-B+1=2x2+3第十一页，共21页。11拓展训练(xùnliàn)—案例题例3：|x+y-9|与〔2x-y+3〕2互为相反数，求x-2y的值？【分析】此题涉及两个知识点：1〕非负数。我们已经学过的非负数有|a|、a2、a的算术平方根；2〕两个相反数相加和为0。解：因为|x+y-9|+〔2x-y+3〕2=0所以，有：x+y-9=02x-y+3=0两式相减，得：x-2y=-12备注：如果几个非负数的和等于零，那么(nàme)每个非负数必定都等于零。第十二页，共21页。12拓展(tuòzhǎn)训练—案例题例4：a=m+1/2，b=m-1/2，c=m+1/2，求a2+2b2+c2-ab-3bc的值。【分析】根据变量值，求代数式的值，最直接的方法就是代入法，此题最直接的做法就是把a、b、c的值分别代入代数式中求值。但是观察代数式，我们可以先进行化简，使代数式简化。代数式的变量越多，往往越麻烦，那么我们观察条件，发现a=c，因此先减少代数式的变量，再化简，这样可以更加简单。解：方法一：直接代入法〔动手(dòngshǒu)试试〕方法二：化简代数式〔动手(dòngshǒu)试试〕方法三：因为a=c所以，有：原式=a2+2b2+a2-ab-3ab=2a2+2b2-4ab=2〔a-b〕2=2第十三页，共21页。13拓展(tuòzhǎn)训练—案例题例5：x-y=m，y-z=n，试求多项式x2+y2+z2-xy-yz-zx的值。【分析】不考虑系数，代数式中存在x2、y2、xy，那么我们首先应该考虑到用完全平方(píngfāng)公式。因此，可以尝试对原式按照完全平方(píngfāng)公式格式进行变形。变形后，会发现条件不够，那么需要从条件去推导。解：因为x-y=m，y-z=n，所以两式相加有x-z=m+n

原式=[(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+x2)+(z2-2xz+x2)]

=[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]

=(m2+n2+2mn+m2+n2)

=m2+mn+n2在此题的解题过程(guòchéng)中，用到了添项、配凑与配方等方法技巧，这些方法在恒等变形中非常重要，不仅要牢牢掌握，还要能灵活应用。第十四页，共21页。14拓展训练(xùnliàn)—案例题例6：x2-4x+1=0，求x4-5x3+6x2-5x的值。【分析】1〕由可得x2=4x-1，因此可以对代数式进行不断(bùduàn)的降次，以简化代数式。这个方法比较繁琐。2〕把代数式配成A(x2-4x〕形式，以到达快速降次；3〕使代数式变成A〔x2-4x+1〕+B形式，我们可以采用多项式的竖式除法。解：方法一〔x2=4x-1〕：原式=〔4x-1〕2-5x〔4x-1〕+6〔4x-1〕-5x方法二〔x2-4x=-1〕：原式=x2〔x2-4x〕-x〔x2-4x〕+2〔x2-4x〕+3x方法三〔多项式竖式除法〕：原式除以x2-4x+1，商为x2-x+1，余式为-1，那么有：原式=〔x2-4x+1〕〔x2-x+1〕-1第十五页，共21页。15拓展(tuòzhǎn)训练—案例题例7：假设(jiǎshè)且xy+yz+zx=99，求2x2+12y2+9z2的值。【分析】已知条件按正比例时，一般可以设解：设，则有x=3k，y=k，z=2k

代入xy+yz+zx=99，得：3k2+2k2+6k2=99

即：k2=9

所以，有：

原式=18k2+12k2+36k2=66k2=594

第十六页，共21页。16拓展训练(xùnliàn)—案例题例8：多项式x3-3x2+5x+a能被多项式x2-x+3整除(zhěngchú)，求常熟a的值。【分析】解决此题有两条思路：1〕利用竖式除法，其余式中应含有a的代数式，使其为0，可得a的值。2〕可根据两个多项式相等的定义，利用待定系数法求解(qiújiě)。待定系数法是解决数学问题的重要方法，必须牢牢掌握。〔方法一自己尝试〕解：方法二：〔待定系数法〕原式=〔x2-x+3〕〔x+m〕………….思考为什么是x+m=x3+〔m-1)x2+〔3-m〕x+3m对照两个多项式，得：m-1=-33-m=53m=a解得：m=-2，故a=-6第十七页，共21页。17拓展训练(xùnliàn)—案例题例9：a2+b2=2，c2+d2=2，ac=bd，求证(qiúzhèng)a2+c2=2，ab=cd【分析】在解决数学问题时，在没有太多明确思路时，往往需要去尝试(chángshì)。此题条件与需求证的多项式，存在某种关系。因此，我们需要找到能够交换位置的方法。证明：∵(a2+b2-2)2+(c2+d2-2)2+2(ac-bd)2=a4+b4+c4+d4+2a2b2+2c2d2+2a2c2+2b2d2-4a2-4b2-4c2-4d2-4abcd+8=(a2+c2-2)2+(b2+d2-2)2+2(ab-cd)2=0∴a2+c2-2=0，b2+d2-2=0，ab-cd=0∴a2+c2=2，b2+d2=2，ab=cd第十八页，共21页。18拓展(tuòzhǎn)训练—案例题例10：求证：不管(