第三章运筹学

第三章运筹学第1页，共111页，2023年，2月20日，星期三矿井是复杂的发展着的系统，要使系统达到多个且有时是相互矛盾的目标。因此要从各不相同的开采方案中选出最优方案，要针对研究课题的性质和范围，选择技术和经济上的一组指标作为方案优选性准则体系。通常开采强度、投资等是很重要的指标，而综合性的指标如成本、折算费用等也能反映更多的技术经济内容。2.1多目标决策第2页，共111页，2023年，2月20日，星期三例如：济宁二号井设计方案优化，共做了240万/年，300，400，500，600万吨/年，共5个方案，每个方案输出了8项指标参加评定。方案生产能力(万吨/年)服务年限(年)资源回收率(%)吨煤折算费用(元/吨)初期投资(万元)初期工程量(m)建井工期(年)占地面积(公顷)1240108.760.554017.91621153369774.821.60230087.010.553816.41724717457445.725.50340065.260.549315.00029462510955.832.00450052.210.550214.72935577683315.837.50560043.500.550914.66741419815235.942.00f0600108.760.554014.66721153369774.821.60f0称标准值，定义为每项指标中相对较好的数值。第3页，共111页，2023年，2月20日，星期三(一)加权总均方根偏差最小法按照专家集体评定法(即DELPHI法)首先将不同标准的指标无量纲标准化，因为指标中有的以最小为好，有的以最大为好，所以采用相对偏差作为标准化后的指标，重要性系数(权系数)以20分(或10分)为满分，以加权总均方根偏差最小的方案为最优。第4页，共111页，2023年，2月20日，星期三1)决策准备过程:定目标：从5个方案中优选出综合最优方案。定指标：从国内53个专家的评定中定出了8项指标。定专家：专家的条件是：在采矿领域内，研究有素，精通业务；具有渊博的外围知识，思想敏捷的人才；熟悉本决策的内、外部条件。参加人数>20人。评定方式：背靠背、独立思考，不能互相讨论。第5页，共111页，2023年，2月20日，星期三2)定权系数φi

这些指标是否都一样重要呢？即权是否一样呢？分组取均值法：每位专家对8项指标打分,最高打20分，最低0分。专家生产能力服务年限资源回收率折算费用初期投资初期工程量建井工期占地面积118151012201987210127819201883…….…….53平均值

13.929.208.4312.137.7410.6213.407.01均方差σn-16.115.106.705.767.806.535.564.52第6页，共111页，2023年，2月20日，星期三方法特点：1）简单易行，一加一除得2）问题：均方差σn-1较大，反映出来意见不一致，相差太大，明显大于正态分布判断标准。第7页，共111页，2023年，2月20日，星期三重要性序列法将每位专家对8项指标所得的分数只排出名次分。

指标专家一二三四五六七八165348721245137862┆…………………………………………┆…………………………………………53…………………………………………第8页，共111页，2023年，2月20日，星期三列出“相对”重要性序列.JI12345678∑A10111001152001100114300000011240010001135111101117611110011670000000118000000000第9页，共111页，2023年，2月20日，星期三方法特点：对角线上为0以对角线为轴，1和0存在“反对称”关系∑A值只表示名次分第10页，共111页，2023年，2月20日，星期三累加相对重要性序列将25位专家的相对重要性序列相加.I

J12345678∑λ1012131314221821113213013151324202512331212012131817191034121013012212023111511121213022161310963174301011397758591501665840622149037∑λ1=113含义：有113人次认为指标1比其它指标重要.∑λ7=65含义:有65人次认为指标7比其它指标重要.第11页，共111页，2023年，2月20日，星期三求“权值”ψi 线性插值法：最高8分,最低1分,ψa列。a）求极差db）求ψi第12页，共111页，2023年，2月20日，星期三还原法：最高20分,最低6分,ψb列。为了遵守专家原意见，让最高分＝20分，即让“8分”＝“20分”可用公式：第13页，共111页，2023年，2月20日，星期三3）方案优选①以fij代表第j个方案的第i项指标i=1,2,…,8；j=1,2,…,n；以fi0代表各方案中的第i项指标的标准值；则无量纲化指标δij

为：第14页，共111页，2023年，2月20日，星期三②计算平均ψi值③计算“加权总均方根偏差值”Fj④最优解：第15页，共111页，2023年，2月20日，星期三实例步骤：

求Fi同理可计算出，F3=0.4281

、F4=0.5225、F5=0.6805。选择最优方案

F3=0.4280为最优方案第16页，共111页，2023年，2月20日，星期三（二）TOPSIS法TOPSIS是“逼近理想解的排序方法”（techniquefororderpreferencebysimilaritytoidealsolution）的英文缩略。它借助多目标决策问题的理想解和负理想解给方案集X中各方案排序。第17页，共111页，2023年，2月20日，星期三设一个多目标决策问题的各备选方案构成的方案集为衡量方案优劣的属性或指标向量为这时方案集X中的每个方案的m个属性值构成的向量是它作为n维空间中的一个点，能唯一地表征方案。TOPSIS法的求解思路：第18页，共111页，2023年，2月20日，星期三理想解

是一个方案集X中并不存在的虚拟的最佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好的值；负理想解

则是虚拟的最差方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最差的值。在m维空间中，将方案集X中的各备选方案与理想解和负理想解的距离进行比较，既靠近理想解又远离负理想解的方案就是方案集X中的最佳方案；并可以据此排定方案集X中各备选方案的优先序。第19页，共111页，2023年，2月20日，星期三用理想解求解多目标决策问题的概念简单，只要在属性空间定义适当的距离测度就能计算备选方案与理想解。TOPSIS法所用的是欧氏距离。至于既用理想解又用负理想解是因为在仅仅使用理想解时有时会出现某两个备选方案与理想解的距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。第20页，共111页，2023年，2月20日，星期三TOPSIS法的算法步骤：步骤一：用向量规范化的方法求得规范决策矩阵。设多目标决策问题的决策矩阵规范化决策矩阵则：第21页，共111页，2023年，2月20日，星期三步骤二：构成加权规范阵表示各属性权重向量。有两种确定权重的办法，一是主观法，一是客观法。主观法最大的缺陷是人为因素太多，随意性大，聘请众多专家，投入人力、财力较大。而客观法是从数据本身的内在属性，特别是数据对综合绩效的贡献大小出发来确定权重的，因而克服了主观法的上述缺点。第22页，共111页，2023年，2月20日，星期三步骤三，确定理想解和负理想解步骤四：计算各方案到理想解与负理想解的距离第23页，共111页，2023年，2月20日，星期三步骤五：计算各方案的综合评价指数步骤六：按Di*由大到小排列方案的优劣次序某市A君准备购房，现有4所房子供A君选购。已知数据如表，请用TOPSIS法为A君将4处房子按购买的优先顺序排序。第24页，共111页，2023年，2月20日，星期三层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(A.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

3.2层次分析法(AHP法)第25页，共111页，2023年，2月20日，星期三是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法，是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。第26页，共111页，2023年，2月20日，星期三决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。第27页，共111页，2023年，2月20日，星期三层次分析法的步骤和方法运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：1.建立层次结构模型2.构造判断(成对比较)矩阵3.层次单排序及其一致性检验4.层次总排序及其一致性检验第28页，共111页，2023年，2月20日，星期三1.建立层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层：决策的目的、要解决的问题。最低层：决策时的备选方案。中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。下面举例说明。第29页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，在“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己才干作出较好贡献（即工作岗位适合发挥自己的专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉等）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升机会多（如新单位或前景好）等。第30页，共111页，2023年，2月20日，星期三工作选择可供选择的单位P1’

P2，Pn

贡献收入发展声誉工作环境生活环境目标层准则层方案层第31页，共111页，2023年，2月20日，星期三目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.第32页，共111页，2023年，2月20日，星期三例3科研课题的选择某研究所现有三个科研课题，限于人力及物力，只能研究一个课题。有三个须考虑的因素：(1)科研成果贡献大小(包括实用价值和科学意义)；(2)人材的培养；(3)课题的可行性(包括课题的难易程度、研究周期及资金)。在这些因素的影响下，如何选择课题?第33页，共111页，2023年，2月20日，星期三将决策问题分为3个或多个层次：最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、…。表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。层次分析法的思维过程的归纳层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。第34页，共111页，2023年，2月20日，星期三2.构造判断(成对比较)矩阵在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出：一致矩阵法，即：1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层不要超过9个因素。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标度方法给出。第35页，共111页，2023年，2月20日，星期三判断矩阵元素aij的标度方法标度含义1表示两个因素相比，具有同样重要性3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2，4，6，8上述两相邻判断的中值倒数因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij第36页，共111页，2023年，2月20日，星期三设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地目标层O(选择旅游地)准则层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5第37页，共111页，2023年，2月20日，星期三成对比较的不一致情况一致比较允许不一致，但要确定不一致的允许范围。第38页，共111页，2023年，2月20日，星期三考察完全一致的情况可作为一个排序向量成对比较满足的正互反阵A称一致阵。

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，Saaty等人建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质但允许范围是多大？如何界定？第39页，共111页，2023年，2月20日，星期三3.层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。

定理：n阶一致阵的唯一非零特征根为n定理：n阶正互反阵A的最大特征根

n,当且仅当

=n时A为一致阵第40页，共111页，2023年，2月20日，星期三由于λ连续的依赖于aij，则λ比n大的越多，A的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用λ-n数值的大小来衡量A的不一致程度。定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有满意的一致性CI越大，不一致越严重第41页，共111页，2023年，2月20日，星期三RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI。方法为Saaty的结果如下随机一致性指标RI则可得一致性指标随机构造500个成对比较矩阵第42页，共111页，2023年，2月20日，星期三一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。一般，当一致性比率的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对aij

加以调整。时，认为A定义一致性比率：第43页，共111页，2023年，2月20日，星期三“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验第44页，共111页，2023年，2月20日，星期三4.层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。对总目标Z的排序为的层次单排序为第45页，共111页，2023年，2月20日，星期三即B层第i个因素对总目标的权值为：B层的层次总排序为：B层的层次总排序AB第46页，共111页，2023年，2月20日，星期三层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。第47页，共111页，2023年，2月20日，星期三记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002

…

n

=3.0权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地第48页，共111页，2023年，2月20日，星期三第3层对第2层的计算结果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T第49页，共111页，2023年，2月20日，星期三1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。第50页，共111页，2023年，2月20日，星期三计算最下层对最上层总排序的权向量。4.计算总排序权向量并做一致性检验进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率第51页，共111页，2023年，2月20日，星期三层次分析法的广泛应用应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。第52页，共111页，2023年，2月20日，星期三国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择第53页，共111页，2023年，2月20日，星期三过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择第54页，共111页，2023年，2月20日，星期三过河的代价A经济代价B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择第55页，共111页，2023年，2月20日，星期三待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价第56页，共111页，2023年，2月20日，星期三层次分析法应用实例某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。第57页，共111页，2023年，2月20日，星期三目标层选一领导干部准则层方案层健康状况业务知识口才写作能力工作作风政策水平⑴建立层次结构模型第58页，共111页，2023年，2月20日，星期三健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风A的最大特征值相应的特征向量为：⑵构造成对比较矩阵及层次单排序一致性指标随机一致性指标RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.084/1.24=0.068<0.1通过一致性检验第59页，共111页，2023年，2月20日，星期三假设3人关于6个标准的判断矩阵为：健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风第60页，共111页，2023年，2月20日，星期三由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。特征值健康情况业务知识写作能力口才政策水平工作作风3.023.143.573.073.003.22各属性的最大特征值均通过一致性检验第61页，共111页，2023年，2月20日，星期三从而有即在3人中应选择A担任领导职务。⑶层次总排序及一致性检验第62页，共111页，2023年，2月20日，星期三作业一位同学准备购买一部手机，他考虑的因素有质量，颜色，价格，外形，实用，品牌等因素，比较中意的手机有诺基亚N73，摩托罗拉E8，索爱W890i，但不知选择哪一款为好，请你建立数学模型给他一个好的建议。对计算机编程能力较好的同学，可否编写一个AHP法的计算程序，VB，VC均可。其他同学考虑用Excel如何计算AHP法。（主要是特征值，特征向量的计算）通过网络资源，查找关于层次分析法应用的论文（2篇以上），并指出其应用的方面，所考虑的目标，准则和方案。第63页，共111页，2023年，2月20日，星期三在我们日常的生活中，常常可以观察到各种各样带有竞争性质的现象．例如，下棋、打牌、球赛等各种体育竞赛和游戏；经济领域内的广告与销售活动、贸易谈判、生产管理；政党之间的政治斗争；国家之间的外交谈判以及战争等这些现象都是冲突各方处于一种竞争或对抗中，并且由于参加的各方在竞争中采取不同策略而得到不同的结果这种带有竞争或对抗性质的行为，我们称之为对策行为，简称为对策或博弈(game)。3.3对策论第64页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1．1．1田忌赛马问题战国时期，齐国的国王与一名叫田忌的大将进行赛马．双方各出三匹马，分别为上(等)马、中(等)马、下(等)马各一匹比赛时，每次双方各从自己的三匹马中任选一匹马来比，输者付给胜者1千两黄金，共赛三次．当时．三种不同等级的马相差非常恳殊，而同等级的马，齐王的比田忌的要强．谋士孙胺给田忌出了个主意：每次比赛先让齐王牵出他要参赛的马，然后用下马对齐王的上马，用中马对齐王的下马．用上马对齐王的中马．结果田忌二胜一负，赢得1千两黄金．由此看来，两人采取什么样的策略(出马次序)对胜负是至关重要的．对策的例子第65页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1．1．2冬季取暖问题某单位在秋季要决定取暖用煤矿量问题。在正常的冬季气温下要消耗15吨煤，但在较暖与较冷的冬季分别需要10吨和20吨煤，假定煤的价格随着冬季寒冷程度而有所变动：在较暖、正常、较冷的冬季气温下分别为每吨100元、120元、150元．又设在秋季煤价为每吨100元．问在没有当年冬季准确的气象预报条件下，秋季贮煤多少吨才较合理？第66页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1．1．3罪犯两难问题甲、乙两人因犯罪而牵涉于某案件中，但法院只掌握其部分罪证．如果他们都不承认，则他们将作为较小的违法案件的被告而受到惩罚(例如各判刑—年)；如果两人都承队有罪，则两人都被判刑，但考虑认罪态度，可以减刑(例如各判刑6年)；如果一人坦白，而另一人拒不承认，则承认者可以宽大处理(例如判刑3个月)．而不承认者将受到严惩(例如判刑10年)．问甲、乙应如何选择才能对自己有利?第67页，共111页，2023年，2月20日，星期三从上述例子可以看出：在具有竞争或对抗性质的行为中，参加的各方各自具有不同的利益和目标．为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中竞争的各方是否存在最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法第68页，共111页，2023年，2月20日，星期三对策的基本要素对策模型的形式可以干差万别，但本质上都必须包括三个基本要素：局中人策略集支付函数第69页，共111页，2023年，2月20日，星期三局中人在—个对策中，有权决定自己行动方案的参加者称为局中人(player)，通常用N表示局中人的集合一个对策中至少要有两个局中人．局中人除了可以是一个自然人外，还可以是代表共同利益的—个集团，如球队、企业、国家．在研究人与大自然作斗争时，人和大自然都是局中人．例1．1．1中局中人是齐王和田忌；例1．1．2中局中人为人和大自然：例1．1．3中局中人为甲、乙两罪犯；第70页，共111页，2023年，2月20日，星期三策略集一个对策中．可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为—个策略(strategy)．参加对策的每个局中人i都有自己的策略集(strategyset)Si，I∈N,它是局中人i的所有策略的全体．在任何一个对策中，每个局中人至少应有两个策略、这是因为，若某个局中人只有一个策赂，则对策的结果将完全听凭别人摆布，该局中人就失去了作局中人的资格．第71页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1．1．1中，如果用(上，中，下)表示以上马、中马、下马依次参赛这样一个次序，就是一个完整的行动方案，即一个策略．齐王和田忌均有六个策略：(上，中，下)，(上，下，中)，(中，上，下)，(中，下，上)，(下，中，上)，(下，上，中)，依次把齐王的策略记为α1，α2，······，α6；把田忌的策略记为β1，β2，······，β6．第72页，共111页，2023年，2月20日，星期三例1．1．2中，人有三个策略：秋季买煤10吨、15吨、20吨，依次记为α1，α2，α3；大自然也有三个策赂：冬天的气温较暖、正常、较冷，分别记为β1，β2，β3例1．1．3中．罪犯甲有两个策略：不承认和承认，记为α1，α2；罪犯乙有两个策略：不承认和承认，记为β1，β2。第73页，共111页，2023年，2月20日，星期三值得注意的是，这里的策略强凋“完整性’，并非指对策行为中某一步所采取的局部行动方案，例如，在下棋时．对于一局棋来说，某—步走“当头炮”，只是作为一个策略的一个组成部分．而不是一个完整的策略．又如在田忌赛马问题中．齐王的三匹马的出场次序是一个策略，但每次出哪匹马只是一个策略的一个部分，而不是一个完整的行动方案我们把对策中每个局中人的策略集中各取一个策略所组成的策略组称为对策的一个局势(situation)第74页，共111页，2023年，2月20日，星期三

支付函数对策的结果由局势惟一确定，或者说，一个局势确定了对策的一种结果。对策的结果又决定了每个局中人的得与失，这种得失称为局中人的支付(payoff)．显然，每个局中人的支付都是局势的函数，因此称支付为支付函数(payofffunction)．局中人i的支付函数记为Pi．第75页，共111页，2023年，2月20日，星期三一般地，局中人的集合N，策略集{Si}以及支付函数{Pi}这三个基本要素确定之后，一个对策就完全确定了此时记这种对策称为策略型(strategyform)对策或正规型(normalform)对策下面我们给出前面四个例子的支付函数第76页，共111页，2023年，2月20日，星期三田忌赛马问题中齐王的支付函数第77页，共111页，2023年，2月20日，星期三如果只考虑数字，齐王的支付函数就是“—个矩阵”第78页，共111页，2023年，2月20日，星期三同样，田忌的支付函数也可以写成个矩阵；第79页，共111页，2023年，2月20日，星期三对于冬季取暖问题，人的支付函数为大自然的支付函数为第80页，共111页，2023年，2月20日，星期三对于罪犯两难问题，甲和乙的支付函数分别为第81页，共111页，2023年，2月20日，星期三分类局中人：二人对策、多人对策策略有限对策、无限对策；非合作对策、合作对策支付零和对策、非零和对策时间单阶段对策、多阶段对策第82页，共111页，2023年，2月20日，星期三二人零和有限对策二人零和有限对策是—种最简单、最基本的对策。说它简单是因为：只有两个局中人，且每个局中人都只有有限个策略；说它基本是因为它的—套比较成熟的理论和算法是研究其他各种对策的基础。二人零和有限对策也称为短阵对策。矩阵对策中一个局中人的所得就是另一个局中人的所，所以短阵对策是完全对抗性的，两个局中人绝对不会合作，即矩阵对策是非合作二人对策。第83页，共111页，2023年，2月20日，星期三对策的分类：鞍点型非鞍点型“方案—状态型”第84页，共111页，2023年，2月20日，星期三矩阵对策的最优策略解—鞍点法例子假定G={SαSβ,A}其中A为：а支付表β1β2β3β4α10210α2-58-3-2α33541第一步：α的最大收入为8，必先出α2；第二步：β的最大收入为5，必先出β1使α损失5；第三步：如果β出β1，α必出α3使β损失3；第四步：如果α出α3，β必出β4使β损失1；

α2—β1—α3—β4—结束。第85页，共111页，2023年，2月20日，星期三思路：如果对局双方都是有智谋的话，必然都不敢冒险，而是考虑对方总要使自己处于最不利的地位。为此，双方都应当从坏处着想，力争好的结果。因为当对局双方的最坏情况下的最好结果的绝对值相等时(等于1)，称此时的对局(α3，β4)为对策G={Sα,Sβ,A}的最优局势或鞍点。第86页，共111页，2023年，2月20日，星期三如果：maxminaij=minmaxaij=ai*j*=Uijji则称(αi*,βj*)为局中α和β的最优策略。式(αi*,βj*)为对策的鞍点。第87页，共111页，2023年，2月20日，星期三鞍点存在准则：在给定矩阵对策G中，若能在α的支付表中找到ai*j*，它既是αi*中的最小元素，又是所在列βj*中的最大元素，则(αi*，βj*)即为G的鞍点。例G22=5既是α2的min，又是β2的max，故鞍点为(α2，β2)。对策值为5。第88页，共111页，2023年，2月20日，星期三非鞍点型对策α的最坏结果：-4，-3β的最坏结果：13，1显然无鞍点。α想出α1得13，β出β2让α为-4α又出α2得1，β出β1让α为-3α又出α3。想得13······如此循环，对方无稳定策略。保密成了非鞍点对策的核心！第89页，共111页，2023年，2月20日，星期三一般解法：求解方程组或求非线性规划。例设α以概率Pα1选取策略α1；(1-Pα1)选`取策略α2；β以概率Pβ1选取策略β1；(1-Pβ1)选取策略β2；则α获胜的期望值为：E(Pα1,Pβ1)=13Pα1*Pβ1-3(1-Pα1)Pβ1-4Pα1(1-Pβ1)+(1-Pα1)(1-Pβ1)第90页，共111页，2023年，2月20日，星期三化简得：E(Pα1,Pβ1)=21[(4/21-Pα1)(5/21-Pβ1)+1/21讨论：只有当Pα1=4/21,Pα2=17/21时,α才能取得E(Pα1,Pβ1)=1/21β只有取：Pβ1=5/21,Pβ2=16/21才能使自己的“亏”不超过1/21。故α取策略：(4/21,17/21),β取策略：(5/21,16/21)时双方都会得到满意的结果。返回看“齐王、田忌”赛马，可列出12元非线性(规划)方程，但总可分析得出：齐王每个策略获胜的概率为5/6，田忌每个策略获胜的概率为1/6(不证)。第91页，共111页，2023年，2月20日，星期三“方案—状态”型决策方法现有矩阵对策G={Sα,Rθ,B}

其中

Sα={α1,α2，······，αm}表示α可采用的m种策略

Rθ={θ1,θ2，······，θn}表示n种状态(都有可能出现)B表示α采用αi策略以及θ的n种状态时的“损失矩阵”则称G={Sα,Rθ,B}为“方案—状态”型决策矩阵。第92页，共111页，2023年，2月20日，星期三例：G={Sα,Rθ,B}2解法：1）最大最小法当采用α1策略时，最大损失为17万元当采用α2策略时，最大损失为14万元当采用α3策略时，最大损失为20万元当采用α4策略时，最大损失为19万元即minmax{B(αi,θj)}=14万元，所以最优方案α*=α2。第93页，共111页，2023年，2月20日，星期三2）等可能性法将每种状态下的期望值E(αi)值求出，找出最小者。E(α1)=1/5(15+10+0-6+17)=7.2E(α2)=1/5(3+14+8+9+2)=7.2E(α3)=1/5(1+5+14+20-3)=7.4E(α4)=1/5(7+19+10+2+0)=7.6因为minE(αi)=7.2所以：第94页，共111页，2023年，2月20日，星期三可靠性是一门综合技术，在设计阶段和生产时期应分析系统所具备的可靠性水平，把它作为评价系统好坏的主要指标之一。苏联在70年代就对煤矿设计和生产中系统可靠性提出了具体要求，目前我国正加强对系统可靠性在煤矿中应用的研宄工作。提高系统的可靠性，也增加系统的正常工作时间，减少故障时间，是达到稳产高产和提高经济效益必不可少的条件。3.4系统可靠性第95页，共111页，2023年，2月20日，星期三基本概念可靠性：系统的可靠性是系统在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。研究的目的在于提高系统的可靠性，从而提高经济效益。第96页，共111页，2023年，2月20日，星期三可靠度R(t)可靠度是指系统或元素在规定的条件和规定的时间内，无故障地完成规定的概率。即：R(t)=P(X>t)=1―F(t)式中：F(t)为系统在[0，t)时刻内失效（故障）的概率，又称不可靠度或失效函数。一般地，R(t)服从指数分布。R(t)=e-λt=e-t/mλ——平均故障率，次/minm——平均故障间隔时间，min/次, m=1/λ,即平均工作时间。第97页，共111页，2023年，2月20日，星期三R(t)具有以下特征：1）R(0)=1，系统开始时处于良好状态。2)R(t)是t的单调减函数，即R(t)随时间的增大面减小，即系统的可靠度下降。3）当时间无限增大时，可靠度逐渐减小，其极限为0。4）0≤R(t)≤1，即系统可靠度的值在0，1之间。第98页，共111页，2023年，2月20日，星期三5）特别地，对于R(t)=e-λt=e-λ/m，当t=m，即工作时间=平均工作时间或平均寿命时，R(t)=e-1=

0.368。即系统或元件工作到平均寿命时，可靠度只有约1/3。过了平均寿命可靠度越来越低，不能“凭空想象”为一半。第99页，共111页，2023年，2月20日，星期三例：某皮带运输机经7000小时观察，发生了10次故障。设故障间隔时间服从指数分布。试求该机的平均工作时间并分别计算从开机到工作100、500、1000小时后的可靠度。解：平均工作时间：m=7000/10=700(小时)工作100小时后的可靠度为：R(100)=e-100/700=