第三章正态分布

第三章正态分布第1页，共59页，2023年，2月20日，星期三

医学统计学第三章正态分布及其应用

第2页，共59页，2023年，2月20日，星期三第一节正态分布的概念和特征一、正态分布(normaldistribution)的概念A.DeMoivre:德国数学家和天文学家Gauss:高斯（JohannCarlFriedrichGauß(Gauss)（1777－1855），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有“数学王子”的美誉。

第3页，共59页，2023年，2月20日，星期三正态分布图形

例数更多，分组更细频数分布图全部观察对象BellShaped’Symmetrical医学上很多资料符合正态分布两头低，中间高，左右对称，呈钟型的单峰曲线。

第4页，共59页，2023年，2月20日，星期三二、正态分布的特征

1、连续型随机变量及其概率分布变量—研究指标，身高，体重等随机变量—可以等于任意数，不确定的值连续型—－∽≤X≤+∽，中途不间断，即包含小数离散型—中途间断，即只有整数，没有小数第5页，共59页，2023年，2月20日，星期三ProbabilityDistributionsContinuous

ProbabilityDistributionsBinomialPoissonProbabilityDistributionsDiscrete

ProbabilityDistributionsNormalCh.6Ch.3第6页，共59页，2023年，2月20日，星期三2、连续型随机变量的分布函数二、正态分布的特征

（1）概率密度函数（曲线的高度）（2）概率分布函数（曲线的面积）σ—总体标准差μ—总体均数π—圆周率，3.14159….第7页，共59页，2023年，2月20日，星期三（3）正态分布特征⑴曲线在横轴上方均数处最高；⑵以均数为中心，左右对称；⑶正态分布有两个参数：位置参数μ、形状参数σ

⑷正态分布曲线下的面积有一定的分布规律。

二、正态分布的特征

第8页，共59页，2023年，2月20日，星期三正态分布的两个参数（1）μ－位置参数：当σ一定时，μ越大，曲线越向右移动；μ越小，曲线越向左移动。（2）σ－离散度参数，决定曲线的形态：当μ一定时，

σ越大，表示数据越分散，曲线越“胖”；σ越小，表示数据越集中，曲线越“瘦”。第9页，共59页，2023年，2月20日，星期三正态分布的两个参数第10页，共59页，2023年，2月20日，星期三正态曲线下面积分布规律

无论μσ取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于1面积总等于1这个面积等于多少？－∞＋∞μx第11页，共59页，2023年，2月20日，星期三熟记下列常用的曲线下面积分布规律：1、μ±σ的区间占总面积的68.27％2、μ±1.96σ的区间占总面积的95％3、μ±2.58σ的区间占总面积的99％第12页，共59页，2023年，2月20日，星期三三、正态分布的应用1、估计频数分布（见例3-2）2、质量控制3、制定医学参考值范围（见第三节）4、正态分布是许多统计处理方法的理论基础第13页，共59页，2023年，2月20日，星期三质量控制＋2S＋3S上控制线下控制线警戒线警戒线－2S－3S第14页，共59页，2023年，2月20日，星期三第二节标准正态分布及其应用1、标准正态分布与标准化变换正态分布是一个分布族。对应于不同的参数μ和σ会产生不同位置不同形状的正态分布。第15页，共59页，2023年，2月20日，星期三第16页，共59页，2023年，2月20日，星期三（1）概率密度函数（曲线的高度）（2）概率分布函数（曲线的面积）σ—总体标准差μ—总体均数π—圆周率，3.14159….第17页，共59页，2023年，2月20日，星期三这个面积等于多少？－∞＋∞μx第18页，共59页，2023年，2月20日，星期三为了应用方便，令u服从均数为0、标准差为1的正态分布标准正态分布u变换当μ和σ未知时，用和s来估计u值。标准正态分布：凡均数为0、标准差为1的正态分布。所有的正态分布，经u变换后，都可以转为标准正态分布。第19页，共59页，2023年，2月20日，星期三2、标准正态分布表－∞－3－2－10＋1＋2＋3＋∞Φ(u)附表Ⅰ第20页，共59页，2023年，2月20日，星期三查表确定标准正态分布曲线下的面积时，必须注意：

（1）u变换当μ，σ已知时，先按u变换公式求得u值，再用u值查表；

第21页，共59页，2023年，2月20日，星期三当μ，σ未知时，用样本均数和样本标准差s代替求u值。

第22页，共59页，2023年，2月20日，星期三（2）查表时，可以利用标准正态分布的两个特征：a.曲线下对称于0的区间，面积相等；b.曲线下横轴上的总面积为100％或1。

第23页，共59页，2023年，2月20日，星期三例3-1求x1=μ-1.96σ与x2=μ+1.96σ区间的面积。查附表1，φ1(-1.96)=0.025,φ2(1.96)=1-φ(-1.96)=1-0.025=0.975,区间面积φ=φ2-φ1=0.975-0.025=0.95=95%第24页，共59页，2023年，2月20日，星期三例3-2已知X=36.3kg,S=6.19kg

⑴欲估计体重大于50kg男童的比例。36.350该面积等于多少？φ1φ2Φ2=1-Φ1-∞+∞Φ2=1-Φ（2.2132）=Φ（-2.2132）=0.0136第25页，共59页，2023年，2月20日，星期三⑵欲估计体重在30-40kg范围内男童的比例。Φ=Φ（x2）－Φ（x1)φΦ（-1.02）＝

0.1539Φ（0.60）＝1－Φ（-0.60）＝1-0.2743＝0.7257Φ＝

0.7257－0.1539＝0.5718第26页，共59页，2023年，2月20日，星期三⑶估计该地80%的男童体重的分布范围(中间)

。（本题为从面积查u值）10%10%80%-1.281.28即：第27页，共59页，2023年，2月20日，星期三第三节医学参考值范围的制定医学参考值范围意义：医学参考值范围（亦称为正常值范围）是指正常人的解剖、生理、生化等各种指标的波动范围。它主要用于划分正常与异常的界限。

第28页，共59页，2023年，2月20日，星期三第29页，共59页，2023年，2月20日，星期三医学参考值范围制定的一般原则2、对选定的正常人进行统一而准确的测定

4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围

5、选定适当的百分界限

6、选择适当制定方法3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组确定医学参考值范围1、抽取足够数量的“正常人”作为调查对象第30页，共59页，2023年，2月20日，星期三一、医学参考值范围制定的一般原则：

1、抽取足够数量的“正常人”作为调查对象“正常人”－不是指任何一点小病都没有的人，而是指排除影响被研究指标的疾病和因素的人。

第31页，共59页，2023年，2月20日，星期三例如，制定SGPT（谷丙转氨酶）正常值范围，“正常人”的条件是：a.无肝、肾、心、脑、肌肉等疾患；b.近期无服用损肝的药物（如氯丙嗪，异烟肼）c.测定前未作剧烈运动。

第32页，共59页，2023年，2月20日，星期三（2）医学参考值范围制定所需的样本例数一般要求n>100

2、对选定的正常人进行统一而准确的测定：(1)测定的方法、仪器、试剂，操作的熟练程度，方法的精确度均要统一；(2)要尽量与应用医学参考值范围时的实际情况一致。

第33页，共59页，2023年，2月20日，星期三3、考虑是否应按性别、年龄、职业等因素分组确定医学参考值范围。

原则上，组间差别明显，并有实际意义，应分开制定，否则应合并。

第34页，共59页，2023年，2月20日，星期三考察组间差别最简便而有效的方法是：

从频数分布表，直接比较各组的分布范围，高峰位置，分布趋势等是否相近，如相近就合并，如差异明显，就分组。或做两样本均数的假设检验，有差别就分组，无差别就合并。

第35页，共59页，2023年，2月20日，星期三

4、确定取单侧还是双侧医学参考值范围。

（1）白细胞数过高和过低均属于异常，需制定下限（最小值）和上限（最大值），称双侧医学参考值范围。(2)肺活量只过低为异常，只需制定医学参考值范围的下限；尿铅只过高为异常，只需制定医学参考值范围的上限；均称单侧医学参考值范围。

第36页，共59页，2023年，2月20日，星期三5、选定适当的百分界限。

正常值范围的意思：绝大多数正常人的某项观察值均在该范围之内。这个绝大多，习惯上指正常人的80％、90％、95％、99％（最常用是95％）。

第37页，共59页，2023年，2月20日，星期三根据所选定的百分界限，会造成假阳性或/和假阴性。

如何选定百分位数，以平衡假阳性和假阴性：（1）正常人的分布和病人的分布没有重叠，这是只要求减少假阳性，则取99％较为理想。

第38页，共59页，2023年，2月20日，星期三正常人病人诊断界值第39页，共59页，2023年，2月20日，星期三（2）正常人分布与病人分布有重叠诊断界值正常人病人假阳性（误诊）假阴性（漏诊）第40页，共59页，2023年，2月20日，星期三a.如需兼顾假阳性和假阴性，取95％较适当；b.如主要目的是减少假阳性（如用于确诊病人或选定科研病例），宁取99％。c.如主要目的是减少假阴性（如用于初筛搜查病人），宁取80％或90％。d.根据ROC曲线来判断（见第十三章，P209)

即：选择灵敏度和特异度均高的切点。第41页，共59页，2023年，2月20日，星期三6、选择适当制定方法（见下）。

二、制定医学参考值范围常用方法

第42页，共59页，2023年，2月20日，星期三

1、正态分布法适用范围：（近似）正态分布或对数正态分布资料

2、百分位数法适用范围：a.偏态分布资料b.分布不清资料c.开口资料

二、制定医学参考值范围常用方法

第43页，共59页，2023年，2月20日，星期三医学参考值范围的题目：（1）判断分布类型：正态分布或偏态分布？（2）判断：单侧或双侧？第44页，共59页，2023年，2月20日，星期三例3-3100名正常人血铅含量步骤：1、判断分布类型：偏态2、处理：对数变换3、再判断分布类型：正态分布（对数正态分布）4、按正态分布法计算95%参考值范围（注：必须在对数的条件下；双侧或单侧？）（如果仍是偏态分布：百分位数法）5、还原：取反对数第45页，共59页，2023年，2月20日，星期三（原始数据频数分布图）第46页，共59页，2023年，2月20日，星期三第47页，共59页，2023年，2月20日，星期三例3-4步骤：1、判断分布类型：正态分布2、按正态分布法计算95%参考值范围（注：双侧或单侧？）第48页，共59页，2023年，2月20日，星期三例3-5第49页，共59页，2023年，2月20日，星期三（原始数据取对数后的频数分布图）第50页，共59页，2023年，2月20日，星期三第四节正态性判定1、根据专业知识和经验判定2、图示法（目测法）：主观3、计算法：客观判定方法：注意：用于判定正态分布的资料，例数应足够大（100例以上）第51页，共59页，2023年，2月20日，星期三一、图示法1、频数表或直方图(histog