一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类（原卷版）高考数学一轮题型归纳与解题策略

一元二次不等式与其他常见不等式解法6种常见考法归类考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式（二）解含参数的一元二次不等式考点二解其他不等式（一）指数不等式（二）对数不等式（三）分式不等式（四）根式不等式（五）绝对值不等式（六）高次不等式考点三由一元二次不等式的解确定参数考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题（一）一元二次不等式在R上的恒成立问题（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题（三）给定参数范围求范围的恒成立问题（四）一元二次不等式在某区间有解问题考点五一元二次方程根的分布问题考点六一元二次不等式的实际应用1.一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.2.解一元二次不等式的方法和步骤3.解含参数的一元二次不等式的步骤4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当时,;②当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.5．简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)(4)；；(5)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了n+1个区间。（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为的解集。8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．9.由一元二次不等式的解确定参数（1）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．（2）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（3）已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．（4）已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．10.一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.11.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：①。②12.给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．13.一元二次方程的根的分布问题解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.考点一解一元二次不等式（一）解不含参数的一元二次不等式1．（2023·全国·模拟预测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B．（3,4） C． D．2．（2023·安徽合肥·二模）若集合，则（

）．A． B． C． D．3．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（

）A． B． C．8 D．6（二）解含参数的一元二次不等式4．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式5．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式：．6．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．7．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．8．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．9．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于的不等式．10．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）ax2-2（a+1）x+4>0.11．（2023·全国·高三专题练习）已知，若，解关于x的不等式；12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．13．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.考点二解其他不等式（一）指数不等式15．（2023·浙江宁波·统考二模）若集合，，则（

）A． B． C． D．16．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则（

）A． B． C． D．17．（2023·全国·高三专题练习）设全集为，集合，则（

）A． B．C．或 D．（二）对数不等式18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．19．（2023·全国·模拟预测）若集合，，则（

）A． B．C． D．20．（2023·江西鹰潭·二模）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．21．（2023·全国·高三专题练习）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则（

）A． B． C． D．（三）分式不等式23．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集是_____.24．（2023·安徽·校联考三模）已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（

）A．14 B．15 C．30 D．6225．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）不等式的解集为______.26．（2023·全国·高三对口高考）已知集合，则________．27．（2023·上海·统考模拟预测）不等式的解集是__________.（四）根式不等式28．（2023·陕西西安·西安市东方中学校考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．29．（2023·全国·高三对口高考）不等式的解集为________30．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．（五）绝对值不等式31．（2023·天津·天津市宁河区芦台第一中学校联考模拟预测）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．32．（2023·河北邯郸·统考二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．33．（2023·上海浦东新·统考二模）已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．34．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知．(1)若，求的取值范围；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．35．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数，．(1)若，求不等式的解集；(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．（六）高次不等式36．（2023·全国·高三专题练习）解不等式：37．（2023·全国·高三专题练习）不等式的的解集是______38．（2023·全国·高三专题练习）解下列不等式(1)(2)(3)(4)(5)39．（2022秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式的解集为______.40．（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）不等式的解集为____________．考点三由一元二次不等式的解确定参数41．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．42．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．或43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（

）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为44．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于的的解集是，则（

）A．B．C．关于的不等式的解集是D．的最小值是45．（2023·全国·高三专题练习）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．46．（2023·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集是，则下列四个结论中错误的是（

）A．B．C．若关于x的不等式的解集为，则D．若关于x的不等式的解集为，且，则47．（2023·全国·高三对口高考）关于的不等式的解集为，且，则________．48．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（

）A．9 B．8 C．6 D．450．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则函数的图象可以为（

）A． B．C． D．考点四一元二次不等式的恒成立（有解）问题一元二次不等式在R上的恒成立问题51．（2023·高三课时练习）已知关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是（

）．A． B．C． D．52．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．53．（2023·山东潍坊·统考一模）“”是“，成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件54．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C．或 D．或55．【多选】（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．56．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．57．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则a的取值范围是__________，的最小值为__________．58．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或59．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．（二）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题60．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围是_________.61．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．62．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．63．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．（三）给定参数范围求范围的恒成立问题64．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____.65．（2023·全国·高三专题练习）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．66．（2023·全国·高三专题练习）函数，若恒成立，则实数x的取值范围是___________．67．（2023·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为__________．68．（2023·全国·高三专题练习）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．（四）一元二次不等式在某区间有解问题69．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．70．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）若不等式在上有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．71．（2023·全国·高三专题练习）若使关于的不等式成立，则实数的取值范围是______．72．（2023·全国·高三专题练习）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（

）A． B．C．） D．73．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．考点五一元二次方程根的分布问题74．（2023·全国·高三专题练习）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（

）A．B． C． D．75．（2023·全国·高三专题练习）方程在区间内有两个不同的根，的取值范围为__．76．（2023·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．77．（2023·全国·高三专题练习）已知方程的两根分别在区间，之内，则实数的取值范围为______．78．（2023·全国·高三专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．79．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（

）A．-2 B． C． D．180．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}81．（2023·全国·高三专题练习）为何值时，关于的方程的两根：（1）为正数根；（