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第四章习题课

不定积分1

1.理解原函数与不定积分的概念和性质,明确不定积分法是微分法的逆运算.2.熟记不定积分的基本公式表并熟练掌握.3.积分法

1)直接积分法:通过恒等变形化为基本积分法积分公式中的形式.2)换元积分法:第一类(凑微分法);第二类(三角

代换;倒代换;根代换等).3)分部积分法：注意选择

一基本要求2二.例题分析

1.判断正误:1)2)

3解1)错,由不定积分的定义,而由不定积分性质

2)错,由于原函数可导必是连续的，所以必须保证即只有在时，上述运算才正确。即42.求不定积分1）解1)563.求不定积分解1)原式

2)原式78以上所用的“凑微分法”是求不定积分常用方法,它的基本思想是:利用微分形式不变性,将所给被积函数中的一部分送入微分中,使所给积分化为积分公式形式.9常用凑微分形式如下:104.求不定积分:解1)三角代换:设则11一般地为了简便,换回原变量时往往引入直角三角形,利用锐角三角函数的定义来确定计算中的三角函数值.另解:用倒代换,设则122)先有理化分母,拆成两个积分,然后分别对两个积分换元,设13则14

同理原积分

154.已知的一个原函数为求解由分部积分公式,有不必先求出被积函数,而用分部积分公式可以简化计算.16

5.求不定积分(一题多解):解1)法1:换元法(三角代换),设17

法2倒代换,设则

倒代换常用在分母的次数比分子的次数高于一次的情况.例如

18法3设则法4凑微分法

192)法1:凑微分

法2:先配方20法3:设则法4:设请自己练习.法5:设213)(请学生参与)法1:拆项,法2:设则22法3:设则法4:设则23法5:由分部积分公式,有245.求不定积分:解

25

26

2)另解:设则分部积分法可与换元法结合使用.27

3)虽然可以取但是由求出再代入原积分,不如先恒等变形简单

注意运算中综合使用不同方法.284)选注意第二次使用分部积分时,与的类型必须与第一次选取与的类型一致,否则将返回原来形式.29求几个简单有理分式的不定积分:3031三.

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