第三章自动控制系统的时域分析型

第三章自动控制系统的时域分析型第1页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.1稳定性和代数稳定判据j0稳定区域不稳定区域S平面判别系统稳定性的基本方法：

(1)

劳斯判据(2)

根轨迹法(3)

奈奎斯特判据(4)

李雅普诺夫第二方法线性系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部。3.1.1稳定性概念系统工作在平衡状态，受到扰动偏离了平衡状态，扰动消失之后，系统又恢复到平衡状态，称系统是稳定的。稳定性只由结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。设初始条件为零时，作用一理想脉冲信号到一线性系统，这相当于给系统加了一扰动信号。若，则系统稳定。第2页，共62页，2023年，2月20日，星期三线性系统特征方程为：3.1.2劳斯判据系统闭环稳定的必要条件：特征方程各项系数均存在且大于零，即ai>0。列劳斯表：

第3页，共62页，2023年，2月20日，星期三当劳斯表中第一列的所有数都大于零时，系统稳定；反之，如果第一列出现小于零的数时，系统就不稳定。第一列各系数符号的改变次数，代表特征方程的正实部根的个数。3.4.3劳斯判据的应用判定系统的稳定性和根的分布情况例3.1

设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0;试用劳斯稳定判据

判别系统稳定性。系统稳定的充要条件：特征方程的全部系数都大于零，劳斯表的第一列元素都大于零注意两种特殊情况的处理：例3.2设系统特征方程为s4+s3+3s2+3s+2=0，试用劳斯稳定判据

判断系统的稳定性。第4页，共62页，2023年，2月20日，星期三例3.3

设系统特征方程为s5+s4+3s3+3s2+2s+2=0，试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。

分析系统参数变化对稳定性的影响：利用劳斯判据可以确定系统的个别参数变化对稳定性的影响，以及为使系统稳定，这些参数的取值范围。例3.4已知某单位负反馈系统开环传递函数，试确定使系统稳定的k的取值范围及临界放大系数kp。2）当劳斯表中出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。说明系统有对称于原点的根，系统不稳定或临界稳定。1）某行的第一列项为0，而其余各项不为0或不全为0。用趋于零的正数代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。第5页，共62页，2023年，2月20日，星期三对结构不稳定系统进行改进措施确定系统的相对稳定性：

以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离来表征系统的相对稳定性（稳定裕度）。j0s平面z平面做法：以s=z-带入原系统的特征方程，对z变量应用劳斯判据。例3.5对于例3-4所示系统，若要使系统具有以上的稳定裕度，试确

定K的取值范围。1.定义：仅仅通过调整参数无法稳定的系统称为结构不稳定系统。C(s)R(s)

-第6页，共62页，2023年，2月20日，星期三2.改进措施：1)改变积分环节的性质

-

-2)引入比例微分环节C(s)R(s)

-第7页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.2典型输入信号和阶跃响应性能指标3.2.1典型输入信号系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、正弦典型时间响应：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、单位加速度响应第8页，共62页，2023年，2月20日，星期三动态性能1.延迟时间td：响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。 2.上升时间tr：指输出响应第一次到达稳态值的时间； 3.峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰值所需时间。 4.调节时间ts：响应到达并保持在误差带内所需的最小时间，通常取±0.05c(∞)[或0.02c(∞)]为误差带。 5.最大超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞)之差的百分比，即t稳态性能：3.2.2阶跃响应性能指标由稳态误差ess描述。tr0.5c(∞)

c(t)tdtp0c(∞)ts稳态误差cmax第9页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.3一阶系统的时域分析3.3.1一阶系统的阶跃响应传递函数为为了研究的方便令k=1。R(s)C(s)(-)定义控制系统的传递函数的分母阶次为1时，称为一阶系统。R(s)C(s)(-)阶跃响应及特点输入r(t)=1(t)时第10页，共62页，2023年，2月20日，星期三调节时间：ts=3T(△=0.05)或ts=4T(△=0.02)

c(t)0.6320.8650.950.9820

t/T123413.3.2一阶系统的性能指标特点：1）可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值； 2）瞬态响应曲线初始斜率为1；

3）无超调；稳态误差ess=0。第11页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.4二阶系统的时域分析闭环标准形式3.4.1二阶系统的瞬态响应定义：控制系统传递函数分母的阶次为2，称为二阶系统。R(s)C(s)(-)其中：

ωn

—自然频率；ζ—阻尼比。R(s)C(s)(-)开环标准形式第12页，共62页，2023年，2月20日，星期三瞬态响应单位阶跃函数作用下，二阶系统的响应拉氏变换1)

无阻尼二阶系统（即ζ=0时）jjn-jn0此时系统有两个纯虚根：-s1,2=±jn

瞬态响应：瞬态响应为一条不衰减的等幅余弦振荡曲线。第13页，共62页，2023年，2月20日，星期三2）欠阻尼二阶系统(即0<ζ<1时)

•系统有一对共轭复根：=cos

0-s1

ωn-n-s2

j

jd•其中3)

临界阻尼二阶系统（即ζ=1时）

•系统有两个相同的负实根：-s1,2=-

n

•瞬态响应:

•系统单位阶跃响应是无超调、无振荡单调上升的.j0-n•称为阻尼角

•瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由n(即σ，特征根实部）决定；

•振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部），其值由阻尼比ζ和自然振荡角频率n决定。第14页，共62页，2023年，2月20日，星期三•此时系统有两个不相等负实根

4）过阻尼二阶系统（即ζ>1时）j00123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0第15页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.4.2二阶系统的动态性能指标单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。

阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。

欠阻尼系统的动态性能指标上升时间tr峰值时间tp单位阶跃响应

•即

•得

•由

•得

•此时第16页，共62页，2023年，2月20日，星期三单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。

超调量%

•由得：第17页，共62页，2023年，2月20日，星期三单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。

调节时间ts

•有

•根据定义

•因

•则

c(t)t01包络线•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。

欠阻尼二阶系统的一对包络线如右图：第18页，共62页，2023年，2月20日，星期三（=2%时）(=5%时)第19页，共62页，2023年，2月20日，星期三

过阻尼系统的动态性能指标超调量为零，用ts描述动态性能。临界阻尼是非振荡响应过程中具有最小调节时间的情况。第20页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.4.3二阶系统的动态性能指标和系统参数的关系例3.6

试讨论下图所示系统的动态性能指标同结构参数的关系。R(s)C(s)(-)例3.7

对于上图所示系统，若已知.试求

（1）系统的动态性能指标.

（2）若欲使，但保持不变时，K0应取何值？由惯性环节和积分环节构成的二阶系统例3.8

讨论图示系统速度负反馈对动态性能的影响；

设，欲使，

应如何取值？R(s)C(s)--第21页，共62页，2023年，2月20日，星期三由双惯性环节构成的二阶系统例3.8

下图为由两个惯性环节构成的二阶系统，试讨论当k01=5和

k01=25时系统的动态性能。R(s)C(s)(-)例3.9

图示某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线，已知

，试确定其开环传递函数。0t(s)0.951.37*0.955c(t)第22页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.4.4具有零点的二阶系统分析闭环零点对系统的影响峰值时间提前、超调增大、振荡加剧、调节时间拉长。

t

tc(t)

c(t)100

cz(t)第23页，共62页，2023年，2月20日，星期三1.81.60.20.40.60.81.01.21.42.00

α=∞

α=4

α=2

α=112345678

ct(t)

ntl为零点与任一共轭复数极点之间的距离第24页，共62页，2023年，2月20日，星期三特点:(1)

引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；(2)

零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，超调量增大，又削弱了“阻尼”作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。R(s)(-)C(s)τs+1带有比例加微分环节的二阶系统分析第25页，共62页，2023年，2月20日，星期三例3.10

如图所示系统,设,(1)试计算引入微分环节前

系统的动态性能;(2)若要求，试确定的取值。R(s)(-)C(s)τs+1扰动作用下的二阶系统分析R(s)C(s)--N(s)单位阶跃扰动作用下：第26页，共62页，2023年，2月20日，星期三假设系统极点互不相同R(s)=1/sa,aj为C(s)在极点s=0和s=-pj处的留数；bk、ck是与C(s)在极点处的留数有关的常数。高阶系统的单位阶跃响应3.5高阶系统的动态性能第27页，共62页，2023年，2月20日，星期三3）极点的性质决定瞬态分量的类型；实数极点非周期瞬态分量；共轭复数极点阻尼振荡瞬态分量。1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则随着时间t→∞，c(∞)=a。，系统是稳定的。第28页，共62页，2023年，2月20日，星期三极点距虚轴的距离决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快；（衰减系数pj、kk）第29页，共62页，2023年，2月20日，星期三系统零点分布对时域响应的影响1）系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略。2）通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小一个数量级，则该极点和零点构成一对偶极子，可以对消。第30页，共62页，2023年，2月20日，星期三主导极点：（距虚轴最近、实部的绝对值为其它极点实部绝对值的1/5或更小，且其附近没有零点的闭环极点）对高阶系统的瞬态响应起主导作用。高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它远离虚轴的极点和偶极子的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理。闭环主导极点第31页，共62页，2023年，2月20日，星期三三阶系统二阶系统第32页，共62页，2023年，2月20日，星期三开环极点的影响忽略Ta前开环传递函数忽略Ta后开环传递函数令Ta=0.1s，Tm=1sR(s)C(s)-第33页，共62页，2023年，2月20日，星期三1）k0=0.5时，α=p3/ωn=11.9忽略Ta不会对动态品质有明显的改变，此时动态性能较好，可以忽略小时间参数Ta去分析系统的动态性能。两种传递函数所对应的系统的阶跃响应曲线为：第34页，共62页，2023年，2月20日，星期三2）K0=4时，α=p3/ωn=4.5两种传递函数所对应的系统的阶跃响应曲线为：两种动态性能相差很大，不可以忽略小时间常数Ta去分析系统的动态性能。第35页，共62页，2023年，2月20日，星期三3）K0=11时忽略Ta之前的系统是不稳定的忽略后，系统稳定，原系统不稳定，不容许忽略小时间参数Ta去分析系统的动态性能。结论：见p102第36页，共62页，2023年，2月20日，星期三3-6稳态误差分析3.6.1稳态误差的定义E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)稳态误差：稳态下输出量的要求值同实际值之间的差值，分为给定作用下的稳态误差和扰动作用下的稳态误差。输入端定义：输入信号和主反馈信号之差。输出端定义：输出量的期望值同实际值之差。第37页，共62页，2023年，2月20日，星期三根据终值定理

误差传递函数为：使用该公式应满足sE(s)在s右半平面及虚轴上解析的条件，即sE(s)的极点均位于s左半平面。当sE(s)在坐标原点具有极点时，虽不满足虚轴上解析的条件，但使用后所得无穷大的结果正巧与实际应有的结果一致，因此实际应用时可用此公式。E(s)G(s)C(s)H(s)R(s)B(s)(-)两种定义之间的关系：第38页，共62页，2023年，2月20日，星期三

式中，K为开环增益。为开环系统在s平面坐标原点的极点重数，=0,1,2时，系统分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型系统。3.6.2控制系统的型别显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次、开环增益K以及输入信号的形式。第39页，共62页，2023年，2月20日，星期三输入信号：稳态误差：令称为静态位置误差系数

tb(t)r(t)R0b(t)r(t)ess阶跃函数输入3.6.3给定输入信号作用下系统的稳态误差第40页，共62页，2023年，2月20日，星期三斜坡函数输入（速度阶跃输入）输入信号：令称为静态速度误差系数稳态误差：

tb(t)r(t)R0b(t)r(t)ess第41页，共62页，2023年，2月20日，星期三抛物线函数输入（加速度阶跃输入）输入信号：令称为静态加速度误差系数

t稳态误差：b(t)r(t)0b(t)r(t)ess第42页，共62页，2023年，2月20日，星期三减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次

、增加开环增益

K。但会使系统的稳定性下降，振荡加剧，动态性能变差。表3-1输入信号作用下的稳态误差例3.11

设单位负反馈系统的开环传递函数为

试求系统的。解：(一)根据定义求第43页，共62页，2023年，2月20日，星期三(二)由型别求由可知系统是I型系统将传递函数写成时间常数形式有第44页，共62页，2023年，2月20日，星期三例3.12

引入比例加微分控制的系统结构图如图所示，若已知输入

信号为，试确定系统的稳态误差。C(s)R(s)

-解：由结构图可得系统的开环传递函数为当输入信号为时或由第45页，共62页，2023年，2月20日，星期三例3.13

已知系统结构图如图所示。试求系统在给定输入信号

作用下系统输出端稳态误差。C(s)R(s)

-E(s)解：由结构图可得系统的开环传递函数为当输入信号为时：而故所以第46页，共62页，2023年，2月20日，星期三对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。C(s)G1(s)

G2(s)R(s)N(s)(-)C(s)

N(s)(-)E(s)

N(s)(-)E(s)C(s)扰动作用将使系统输出量偏离要求值而出现误差，以输出量的稳态值来讨论稳态误差。3.6.4扰动作用下系统的稳态误差系统结构图具有相同开环传递函数，但扰动作用点不同的两系统：第47页，共62页，2023年，2月20日，星期三若系统同时受到给定输入作用和扰动输入作用，则系统总的稳态误差等于给定和扰动信号分别单独作用下的稳态误差的叠加。C(s)

R(s)N(s)(-)例3.14

某单位负反馈控制系统结构图如图所示。试求系统在给定

输入信号和单位阶跃扰动输入信号共同作用下

系统输出量稳态误差。解：先求给定输入信号下的稳态误差开环传递函数为而故当输入信号为时再求给定输入信号下的稳态误差第48页，共62页，2023年，2月20日，星期三3.6.5提高稳态精度的措施为了减小或消除给定稳态误差，必须增大系统的开环放大系数或增加前向通道传递函数中的零值极点个数；为了减小或消除扰动稳态误差，则必须增大E(s)到扰动作用点间传递系数的零值极点或增大放大系数。但稳定性变差。若输入信号和扰动信号可以检测时，可引进与给定作用有关或与扰动作用有关的附加控制构成复合控制的方法，减小稳态误差。C(s)

R(s)N(s)(-)当时输出端总的稳态误差为：第49页，共62页，2023年，2月20日，星期三按给定输入补偿的复合控制按扰动输入补偿的复合控制C(s)R(s)

-Gc(s)

G2(s)E(s)

G1(s)C(s)R(s)(-)Gc(s)G1(s)

G2(s)N(s)E(s)(-)对扰动作用实现完全不变性的条件对给定作用实现完全不变性的条件第50页，共62页，2023年，2月20日，星期三例3.15

如下图所示的复合控制系统，前向通路传递函数为：

补偿环节的特性为，试求该系统的位置误差和速度误差，并讨论

位置误差、速度误差和参数的关系。C(s)R(s)

-

G2(s)E(s)

G1(s)当输入信号为时解：解：偏差传递函数第51页，共62页，2023年，2月20日，星期三当输入信号为时未加补偿环节稳态误差为零，完全补偿稳态误差小于零，实际值大于理想值，过补偿稳态误差仍然存在，但随着的增加而减小总结第52页，共62页，2023年，2月20日，星期三知识点回顾稳定性绝对稳定性、相对稳定性和条件稳定

1.线性系统稳定的充分必要条件:闭环特征方程的根都具有负实部2.劳斯（Routh）稳定判据