第二章振动和波教学用

第二章振动和波教学用第1页，共89页，2023年，2月20日，星期三机械振动一、什么是振动从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。从广义上说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。第2页，共89页，2023年，2月20日，星期三二、什么是机械振动机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往复的运动。三、研究机械振动的意义不同类型的振动虽然有本质的区别，但振动量随时间的变化关系遵循相同的数学规律，从而不同的振动有相同的描述方法。研究机械振动的规律是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。

第3页，共89页，2023年，2月20日，星期三研究简谐运动的意义在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成一）、简谐运动1、弹簧振子2、弹簧振子运动的定性分析B→O：弹性力向右，加速度向右，加速；O→C：向左，向左，减速；C→O：向左，向左，加速；O→B：向右，向右，减速。物体在B、C之间来回往复运动3、物体作简谐运动的条件物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置一、简谐运动方程第4页，共89页，2023年，2月20日，星期三4、弹簧振子的动力学特征取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向。x力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为回复力。简谐运动微分方程第5页，共89页，2023年，2月20日，星期三5、简谐运动的运动学特征说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。第6页，共89页，2023年，2月20日，星期三二）、简谐运动的特点1、从受力角度来看——动力学特征2、从加速度角度来看——运动学特征3、从位移角度来看——运动学特征说明：要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。第7页，共89页，2023年，2月20日，星期三例1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。因此,此振动为简谐振动。以平衡位置O为原点弹簧原长挂m后伸长某时刻m位置伸长受弹力平衡位置解：求平衡位置第8页，共89页，2023年，2月20日，星期三一）、振幅—反映振动幅度的大小1、定义——A作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。2、说明振幅恒为正值，单位为米(m);振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、描述简谐运动的物理量第9页，共89页，2023年，2月20日，星期三二）、周期与频率—反映振动的快慢1、周期定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)2、频率定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。第10页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、圆频率定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s-1)。说明简谐运动的基本特性是它的周期性周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子简谐运动的表达式可以表示为第11页，共89页，2023年，2月20日，星期三1、相位2、初相位3、相位差定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差说明Δj>0质点2的振动超前质点1的振动Δj<0质点2的振动落后质点1的振动Δj=±2kπ，k=0,1,2,…，同相（步调相同）Δj=±(2k+1)π，k=0,1,2,…，反相（步调相反）对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。三)、相、初相、相差第12页，共89页，2023年，2月20日，星期三四）、常数A和j的确定说明：(1)一般来说j的取值在－π和π(或0和2π)之间；(2)在应用上面的式子求j时，一般来说有两个值，还要由初始条件来判断应该取哪个值；(3)常用方法：由求A，然后由x0=Acosjv0=-Aωsinj两者的共同部分求j。第13页，共89页，2023年，2月20日，星期三例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放，求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0，代入公式可得又因为x0为正，初速度v0＝0，可得因而简谐振动的方程为：第14页，共89页，2023年，2月20日，星期三xyo●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●oxy●●一、旋转矢量图示法二、旋转矢量与简谐运动的关系A←→振幅w←→圆频率j←→初相位wt+j←→相位三、旋转矢量第15页，共89页，2023年，2月20日，星期三三、旋转矢量的应用1、作振动图2、求初相位3、可以用来求速度和加速度4、振动的合成第16页，共89页，2023年，2月20日，星期三例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置所需要的最短时间。解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限（2）从x=-0.03m处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满足第17页，共89页，2023年，2月20日，星期三以水平的弹簧振子为例简谐振动的势能：

简谐振动的动能：Ek最大时，Ep最小，Ek、Ep交替变化。四、简谐振动的能量第18页，共89页，2023年，2月20日，星期三简谐振动的总能量：弹性力是保守力总机械能守恒，即总能量不随时间变化。谐振能量与振幅的平方成正比。动能的时间平均值:势能的时间平均值:弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。

结论：第19页，共89页，2023年，2月20日，星期三例.有一水平弹簧振子，k=24N/m，重物的质量m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程。解：依题意，有：选取坐标如图，第20页，共89页，2023年，2月20日，星期三一、两个同方向同频率简谐运动的合成某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动合振动1、应用解析法令五、简谐振动的合成第21页，共89页，2023年，2月20日，星期三2、应用旋转矢量法xy合成振动是简谐运动演示第22页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、讨论合振幅最大情况1当称为干涉相长情况2合振幅最小当称为干涉相消情况3：一般情况第23页，共89页，2023年，2月20日，星期三小结简谐运动简谐运动简谐运动的特点简谐运动的振幅、周期、频率和相位振幅周期与频率相位常数A和j的确定旋转矢量作业P333，5，第24页，共89页，2023年，2月20日，星期三基本概念与平面简谐波机械波的几个概念平面简谐波的波函数第二节波动第25页，共89页，2023年，2月20日，星期三第二节波动振动在空间的传播过程称为波动机械振动在弹性介质中的传播称为机械波如声波、水波、地震波等交变电磁场在空间的传播称为电磁波如无线电波、光波等波动的特征具有一定的传播速度；伴随着能量的传播；能产生反射、折射、干涉和衍射等现象；有相似的波动方程。第26页，共89页，2023年，2月20日，星期三一）、机械波的产生1、波动的产生铙钹等乐器振动时，在空气中形成声波音叉振动时，形成声波小球点击水面，会形成水波介质中一个质点的振动会引起邻近质点的振动，而邻近质点的振动又会引起较远质点的振动。这样，振动就以一定的速度在弹性介质中由近及远地传播出去，形成波动。一、波的产生和传播第27页，共89页，2023年，2月20日，星期三xyo第28页，共89页，2023年，2月20日，星期三2、产生机械波的条件波源：产生机械振动的振源；弹性介质：传播机械振动。3、需要注意的问题波动是波源的振动状态或波动能量在介质中的传播介质中的质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近往复运动。第29页，共89页，2023年，2月20日，星期三横波与纵波●●波的传播方向向右波的传播方向向右质点振动方向水平xyo质点振动方向向上分类标准介质质点的振动方向与波动的传播方向的关系1、横波质点的振动方向与波的传播方向垂直。波峰——波形凸起部分波谷——波形凹下部分2、纵波质点的振动方向与波的传播方向平行。纵波的传播表现为疏密状态沿波传播方向移动。第30页，共89页，2023年，2月20日，星期三二）、波长、波的周期和频率、波速1、波长——反映波动的空间周期性定义：同一波线上两个相邻的、相位差为2p的振动质点之间的距离，或沿波的传播方向，相邻的两个同相质点之间的距离叫波长。说明：波长可形象地想象为一个完整的“波”的长度；横波：相邻两个波峰或波谷之间的距离纵波：相邻两个密部或疏部之间的距离xyoλ第31页，共89页，2023年，2月20日，星期三2、周期和频率——反映波动的时间周期性定义：周期：波传播一个波长所需要时间，叫周期，用T表示。频率：周期的倒数叫做频率，用n表示说明：由于波源作一次完全的振动，波就前进一个波长的距离波的周期等于波源振动的周期；波的周期只与振源有关，而与传播介质无关。第32页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、波速u——描述振动状态传播快慢程度的物理量定义：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内所传播的距离。说明：由于振动状态的传播也就是相位的传播，因而这里的波速也称为相速。第33页，共89页，2023年，2月20日，星期三4、三者关系式在一个周期中，波前进一个波长，故小结：频率、周期：决定于波源波速：决定于传输介质波长：由波源和传输介质共同确定第34页，共89页，2023年，2月20日，星期三三）、波线、波面、波前1、概念波线：沿波的传播方向画一些带箭头的线，称为波线；波面：不同波线上相位相同的点所连成的曲面，叫做波面或同相面、波阵面；波前：在某一时刻，由波源最初振动状态传到的各点所连成的曲面，叫波前。2、特点波线的指向表示波的传播方向同一波面上各点的相位是相同的在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。第35页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、分类平面波：波前为平面；柱面波：波前为柱面，由线状波源产生；球面波：波前为球面，由点波源产生；*波动的分类按介质质点的运动方向与波动传播方向来分——横波和纵波按波的波前来分——平面波、球面波、柱面波按波动的传播来分——行波和驻波按波动的明显的物理性质来分——光波、声波、水波等按传播波动的质点的行为来分——脉冲波、周期波等。

第36页，共89页，2023年，2月20日，星期三例1：在室温下，已知空气中的声速为u1=340m·s-1，水中的声速为u2=1450m·s-1，求频率为200Hz的声波在空气和水中的波长。解：由得空气中水中结论：同一频率的声波，在水中的波长要比在空气中的波长要长。原因：波速决定于介质，频率决定与振源，所以同一波源发出的一定频率的波在不同介质中传播时，频率不变，但波速不同，因而波长也不同。第37页，共89页，2023年，2月20日，星期三二、波动方程一）、平面简谐波的波函数1、平面简谐波的概念波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为平面简谐波，或称为简谐波。2、波动方程波源X轴上任一点P(x)，时间上要落后τ=x/u，P处振动的相位要比O处的相位落后ωτ演示第38页，共89页，2023年，2月20日，星期三平面简谐波的波动方程若考虑O处质点的振动初相位波数第39页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、波动中质点振动的速度和加速度4、沿X轴负方向传播的平面简谐波的表达式演示第40页，共89页，2023年，2月20日，星期三1.振动方程与波函数的区别波函数是波程x

和时间t

的函数，描写某一时刻任意位置处质点振动位移。振动方程是时间t的函数2.当（常数）时，为距离原点为d处一点的振动方程。3.当（常数）时，为某一时刻各质点的振动位移，波形的“拍照”二）.波函数的物理意义第41页，共89页，2023年，2月20日，星期三例2：平面简谐波的传播速度为u，沿X轴正方向传播。已知距原点x0处的P0点处的质点的振动规律为y=Acosωt求波动表达式。

解：在X轴上任取一点P，其坐标为x，振动由P0点传到P点所需的时间为

τ=(x-x0)/u因而P处质点振动的相位比P0处质点振动的相位要落后

ωτ所以波动的表达式为

第42页，共89页，2023年，2月20日，星期三例3：一平面简谐波的波动表达式为

求：（1）该波的波速、波长、周期和振幅；（2）x=10m处质点的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；（3）x=20m,60m两处质点振动的相位差。

解：（1）将波动表达式写成标准形式

因而振幅A=0.01m波长λ=20m周期T=1/5=0.2s波速u=λ/T=20/0.2=100m·s-1

（2）将x=10m代入波动表示，则有

该式对时间求导，得

将t=2s代入得振动速度v=0

（3）x=20m,60m两处质点振动的相位差为

第43页，共89页，2023年，2月20日，星期三

1.写出某个已知点的振动方程；2.以刚得到的已知点的振动方程为出发点，根据波速的方向和大小写出任一个点的振动方程，即得到波动方程。关于波动方程的题型主要有两种：（1）已知波函数求各物理量；（2）已知各物理量求波函数。4.波动方程的求解步骤第44页，共89页，2023年，2月20日，星期三例4：已知波函数求：A、、、u。解：由第45页，共89页，2023年，2月20日，星期三解：①原点波函数例5：原点O振动方程为波速方向向右，求：①波函数；②波长、频率；处质点振动与原点的相位差。③②.波长、频率第46页，共89页，2023年，2月20日，星期三③.x=5m处相位相位差P点落后反映在相位上为20，

即原点完成10个全振动后，P

点开始振动。质点振动与原点的相位差。原点的相位原点5m处第47页，共89页，2023年，2月20日，星期三在波动过程中，振源的能量通过弹性介质传播出去，介质中各质点在平衡位置附近振动，介质中各部分具有动能，同时介质因形变而具有势能。波动的过程实际是能量传递的过程。1.波动的能量弹性介质中取一体积元dV，质元振动速度为u，质量以平面余弦弹性纵波（行波）通过一根细长的棒为例来讨论有关波动的能量问题。设波函数1.波动的动能三、波的能量第48页，共89页，2023年，2月20日，星期三动能质元振动速度由于介质发生形变而具有势能。势能Ek、EP同时达到最大同时达到最小平衡位置处最大位移处2.波动的势能可以证明体元内具有的势能与动能相同：第49页，共89页，2023年，2月20日，星期三在孤立振动系统中，Ek、EP相互交换，系统总机械能守恒。而对于波动来说，由于媒质中各部分由弹性力彼此相联，使得振动在其中传播。任一质元总机械能随时间周期性的变化，波动能量中Ek、EP同时达到最大，同时为零，总能量随时间周期变化。系统总机械能不守恒。波动的能量与振动能量的区别：3.波动的能量第50页，共89页，2023年，2月20日，星期三定义：平均能量密度—能量密度在一个周期内的平均值其中能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半。平均能量密度与振幅平方、频率平方和质量密度均成正比。2.能量密度定义：单位体积内的总机械能第51页，共89页，2023年，2月20日，星期三对于某一体元，它的能量从零达到最大，这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的过程，周而复始。平均讲来，该体元的能量密度保持不变，即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；因为波是能量传播的一种形式，下面讨论。第52页，共89页，2023年，2月20日，星期三3.能流、波的强度能流P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。为截面所在位置的能量密度所以，能流为：显然能流是随时间周期性变化的。但它总为正值设波速为u，在时间内通过垂直于波速截面的能量:单位：焦耳/秒，瓦，J•s-1，W第53页，共89页，2023年，2月20日，星期三在一个周期内能流的平均值称为平均能流通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。声学中声强就是上述定义之一例

平均能流能流密度是矢量，其方向与波速方向相同。单位：J•s-1•m-2，W•m-2第54页，共89页，2023年，2月20日，星期三惠更斯：(ChristianHaygens，1629—1695)

荷兰物理学家、数学家、天文学家。1629年出生于海牙。1655年获得法学博士学位。1663年成为伦敦皇家学会的第一位外国会员。他的重要贡献有：①建立了光的波动学说，打破了当时流行的光的微粒学说，提出了光波面在媒体中传播的惠更斯原理。②1673年他解决了物理摆的摆动中心问题，测定了重力加速度之值，改进了摆钟，得出了离心力公式，还发明了测微计。③他发现了双折射光束的偏振性，并用波动观点作了解释。④在天文学方面，他供助自己设计和制造的望远镜于1665年，发现了土星卫星----土卫六，且观察到了土星环。第三节波的干涉第55页，共89页，2023年，2月20日，星期三惠更斯原理1、前提条件2、惠更斯原理介质中波动传播到的各点都可看作是发射球面子波的波源；而在其后的任意时刻，这些子波的包络面就是新的波面。第56页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、用惠更斯原理来解释波动的传播方向平面波球面波R1oS1S2R2S1S2u

△t第57页，共89页，2023年，2月20日，星期三一、波的叠加原理几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，它们将各自保持其原有的特性（频率、波长、振动方向等）不变，并按照它们原来的方向继续传播下去，好象其它波不存在一样；在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。说明：此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的性质；只有在波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线性的，此原理才是正确的第58页，共89页，2023年，2月20日，星期三

叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；

第59页，共89页，2023年，2月20日，星期三二、波的干涉1、相干波振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，这种现象称为波的干涉现象。相干波：能够产生干涉的两列波；相干波源：相干波的波源；相干条件：满足相干波的三个条件振动方向相同频率相同相位相同或相位差恒定的两列波第60页，共89页，2023年，2月20日，星期三最强最强最强最弱最弱第61页，共89页，2023年，2月20日，星期三3、相干波源的获得分波振面：S为波源前的一个障碍物上的一个小孔，S1和S2是在波前进路程中的另外一个障碍物上的两个小孔，且SS1=SS2。根据惠更斯原理，S、S1、S2都是独立的波源，S1和S2发出的波为相干波。第62页，共89页，2023年，2月20日，星期三4、干涉图样的形成考虑两相干波源，振动表达式为：传播到P点引起的振动为：在P点的振动为同方向同频率振动的合成。第63页，共89页，2023年，2月20日，星期三在P点的合成振动为：其中：对空间不同的位置，都有恒定的相位差，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。干涉相长的条件：干涉相消的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：相长干涉相消干涉第64页，共89页，2023年，2月20日，星期三例1：两相干波源A、B位置如图所示，频率=100Hz，波速u=10m/s，A-B=，求：P点振动情况。解：P点干涉减弱。第65页，共89页，2023年，2月20日，星期三例2：两相干波源分别在PQ两点处，初相相同，它们相距3/2，由P、Q发出频率为，波长为的两列相干波，R为PQ连线上的一点。求：①自P、Q发出的两列波在R处的相位差。②两波源在R处干涉时的合振幅。解：为的奇数倍，合振幅最小，第66页，共89页，2023年，2月20日，星期三小结波动的基本概念横波和纵波波长、波的周期和频率、波速平面简谐波的波函数波函数的物理意义第67页，共89页，2023年，2月20日，星期三小结波动能量惠更斯原理波的叠加原理波的干涉第68页，共89页，2023年，2月20日，星期三第四节超声波第69页，共89页，2023年，2月20日，星期三声波：声振动在媒质中的传播机械波超声波

声波次声波注：广义的声波包括超声波和次声波第70页，共89页，2023年，2月20日，星期三一.声波声速：声波传播的速度影响声速的因素：媒质性质温度一）声波的基本概念第71页，共89页，2023年，2月20日，星期三声速c与温度t的关系：c=331+0.6t

注：声波的速度与频率无关第72页，共89页，2023年，2月20日，星期三二）.声强和声强级声强：声波的强度称为声强，即单位时间内通过垂直与传播方向的单位面积的能量。第73页，共89页，2023年，2月20日，星期三声强级(dB)注：声强具有可加性，而声强级不能直接相加第74页，共89页，2023年，2月20日，星期三例1．一台收音机打开时，在某点产生的声强级为45dB，而两台收音机同时打开并发出同样声音时，该处的声强级为多少dB？第75页，共89页，2023年，2月20日，星期三解：一台收音机时，声强与声强级分别为I1和L1，则有dB两台收音机时，声强与声强级分别为I2和L2，则有

于是有dB第76页，共89页，2023年，2月20日，星期三三）、