第三章概率与概率分布

第三章概率与概率分布第1页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.1随机事件及其概率一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则第2页，共91页，2023年，2月20日，星期三一、随机试验与随机事件必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）——统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！第3页，共91页，2023年，2月20日，星期三随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。第4页，共91页，2023年，2月20日，星期三随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、……、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（Ω）基本事件的全体（全集）第5页，共91页，2023年，2月20日，星期三随机事件（续）复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间才是必然事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（Φ）第6页，共91页，2023年，2月20日，星期三二、随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P(

)=1不可能事件发生的可能性是零，P(

)=0随机事件A的概率介于0和1之间，0<P(A)<1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。第7页，共91页，2023年，2月20日，星期三1、古典概率古典概型（等可能概型）——它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象——具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）每个试验结果出现的可能性相同第8页，共91页，2023年，2月20日，星期三古典概率概率的古典定义前提：古典概型定义（公式）计算古典概率常用到排列组合知识第9页，共91页，2023年，2月20日，星期三2、统计概率当试验次数n很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）第10页，共91页，2023年，2月20日，星期三3、主观概率有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小例如某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据第11页，共91页，2023年，2月20日，星期三4.概率的基本性质非负性：规范性：必然事件的概率为1，即：

P()=1不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。

第12页，共91页，2023年，2月20日，星期三(补充）关于概率的公理化定义概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义——通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。第13页，共91页，2023年，2月20日，星期三三、概率的运算法则

1.加法公式用于求P(A∪B)——“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）不可能同时发生的事件没有公共样本点P(A∪B)=P(A)+P(B)互斥事件的加法公式

ΩABP(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)第14页，共91页，2023年，2月20日，星期三互补事件互补事件不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1AA例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6。第15页，共91页，2023年，2月20日，星期三相容事件的加法公式相容事件两个事件有可能同时发生有公共样本点相容事件的加法公式（广义加法公式）ABΩP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

ABΩAB事件的积（交）AB

事件的和（并）第16页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。——也即“A发生且B发生”的概率P(AB)先关注事件是否相互独立第17页，共91页，2023年，2月20日，星期三（1）条件概率条件概率—在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：其中P(B)>0

第18页，共91页，2023年，2月20日，星期三例2：某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：P(A)＝0.4，P(B)＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率P(B|A)＝0.28/0.4第19页，共91页，2023年，2月20日，星期三（2）事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

第20页，共91页，2023年，2月20日，星期三（3）全概率公式完备事件组事件A1、A2、…、An互不相容，A∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0（i=1、2、...、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、…、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：第21页，共91页，2023年，2月20日，星期三例3：假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设A＝知道正确答案，B＝选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即）＝（2/3）×1＋（1/3）×（1/4）＝3/4第22页，共91页，2023年，2月20日，星期三全概率公式——贝叶斯公式全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率——贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）第23页，共91页，2023年，2月20日，星期三贝叶斯公式若A1、A2、…、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率第24页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.2随机变量及其概率分布

一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布第25页，共91页，2023年，2月20日，星期三一、随机变量的概念随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举第26页，共91页，2023年，2月20日，星期三1.离散型随机变量的概率分布X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）二、随机变量的概率分布第27页，共91页，2023年，2月20日，星期三离散型概率分布的表示：概率函数：P(X=xi)=pi分布列：X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn第28页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数——概率密度函数f(x)和分布函数F(x)图形——概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示第29页，共91页，2023年，2月20日，星期三概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为1。

随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：

f(x)xab第30页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)＝P{X≤x}连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函数与概率密度第31页，共91页，2023年，2月20日，星期三三、随机变量的数字特征

1.随机变量的数学期望又称均值描述一个随机变量所有可能取值的平均值。离散型随机变量X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：

第32页，共91页，2023年，2月20日，星期三数学期望的主要数学性质若k是一常数，则E(kX)＝kE(X)对于任意两个随机变量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)＝E(X)E(Y)

第33页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.随机变量的方差和标准差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或σ2离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：第34页，共91页，2023年，2月20日，星期三方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若两个随机变量X、Y相互独立，则

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

第35页，共91页，2023年，2月20日，星期三例4：试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：σ＝0.6xi012pi0.10.60.3第36页，共91页，2023年，2月20日，星期三四、常见离散型随机变量的概率分布

1.二项分布——n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是pn次试验相互独立。第37页，共91页，2023年，2月20日，星期三在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为X～B(n,p)二项分布的概率函数为：

二项分布的数学期望和方差：

n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）第38页，共91页，2023年，2月20日，星期三二项分布

(例题分析)

【例】已知一批产品的次品率为4%，从中任意有放回地抽取5个。求5个产品中：(1)没有次品的概率是多少？(2)恰好有1个次品的概率是多少？(3)有3个以下次品的概率是多少？第39页，共91页，2023年，2月20日，星期三1837年法国数学家泊松首次提出。通常用来描述一指定时间范围内，或者一定的长度体积、面积内，某一事件出现次数的分布。2.泊松分布

第40页，共91页，2023年，2月20日，星期三泊松分布的例子：一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数一匹布上发现瑕点的个数一段时间内，在车站等候公共汽车的人数第41页，共91页，2023年，2月20日，星期三X服从泊松分布，记为X～P(λ）:λ－－为给定时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数x－－表示给定时间间隔、长度、面积、体积内成功的次数第42页，共91页，2023年，2月20日，星期三E(X)=D(X)=λ当λ很小时，泊松分布呈偏态，并随着λ增大而趋于对称当n很大而p很小时，二项分布近似服从参数λ＝np的泊松分布第43页，共91页，2023年，2月20日，星期三例6：假定某航空公司预订票处平均每小时接到42次订票电话，问10分钟内恰好接到6次电话的概率是多少？解：设X＝10分钟航空公司接到订票电话的次数第44页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.超几何分布二项分布适合于独立重复试验，如果对总体采用不重复抽样，那么样本中“成功”的次数则服从超几何分布。记为X～H(n,N,M)

（N为总体单位数、M为具有某种特征的单位数）数学期望和方差:第45页，共91页，2023年，2月20日，星期三五、常见的连续型概率分布1.均匀分布X只在一有限区间[a，b]上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：第46页，共91页，2023年，2月20日，星期三X落在子区间[c，d]内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关P(c≤X≤d)f(x)acdbx第47页，共91页，2023年，2月20日，星期三均匀分布随机变量X在某取值范围[a,b]的任一子区间[c,d]上取值的概率为

同样有：第48页，共91页，2023年，2月20日，星期三均匀分布

(例题分析)【例】某公共汽车站从早上6时起每隔15分钟开出一趟班车，假定某乘客在6点以后到达车站的时刻是随机的，所以有理由认为他等候乘车的时间长度X服从参数为a=0，b=15的均匀分布。试求该乘客等候乘车的时间长度少于5分钟的概率。解：概率密度函数为落入区间[0，15]的任一子区间[0，d]的概率是

，等候乘车的时间长度少于5分钟即有d=5，因此该事件发生的概率等于5/15=1/3第49页，共91页，2023年，2月20日，星期三2.正态分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度为：正态分布随机变量的均值和标准差均值E(X)=μ

方差

D(X)=σ2

-∞<x<∞

第50页，共91页，2023年，2月20日，星期三正态分布曲线的主要特性σ相同而μ不同的正态曲线

2xf(x)μ相同而σ不同的正态曲线f(x)σ较小σ较大x关于x=μ对称的钟形曲线参数μ决定正态曲线的中心位置参数σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度以X轴为渐近线，即当x→±∞时，f(x)→0第51页，共91页，2023年，2月20日，星期三标准正态分布μ＝0、σ＝1的正态分布，记为N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函数Ф(x)X～N(μ、σ2),则：Z～N(0，1

)

若Z～N(0，1

)，则有：P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)标准化标准正态曲线

-a

0aφ(z)zΦ(a)第52页，共91页，2023年，2月20日，星期三【例3-14】例7：某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求：使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？以均值为中心，95％的灯管的使用寿命在什么范围内？第53页，共91页，2023年，2月20日，星期三

X＝使用寿命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的灯管寿命在均值左右392（即658～1442）小时＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.00298第54页，共91页，2023年，2月20日，星期三3σ原则|X－μ|>3σ的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]区间内广泛应用:产品质量控制判断异常情况……图3-12常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）

-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%第55页，共91页，2023年，2月20日，星期三指数分布

(exponentialdistribution)若随机变量X的概率密度函数为称X服从参数为的指数分布，记为X~E()第56页，共91页，2023年，2月20日，星期三

指数分布是用于描述等待某一待定事件发生所需时间的一种连续型概率分布。其期望与方差分别为第57页，共91页，2023年，2月20日，星期三指数分布

(概率计算)随机变量X取小于或等于某一特定值x的概率为

随机变量X落入任一区间(a，b)的概率为

第58页，共91页，2023年，2月20日，星期三指数分布

(例题分析)【例】假定某加油站在一辆汽车到达之后等待下一辆汽车到达所需要的时间(单位：分钟)服从参数为1/5的指数分布，如果现在正好有一辆汽车刚刚到站加油，试分别求以下几个事件发生的概率：(1)一辆汽车到站前需要等待5分钟以上(2)一辆汽车到站前需要等待5~10分钟解：第59页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.3常用的抽样方法3.3.1简单随机抽样3.3.2分层抽样3.3.3系统抽样3.3.4整群抽样第60页，共91页，2023年，2月20日，星期三常用的抽样方法常用的抽样方法分为概率抽样和非概率抽样。概率抽样：根据一个已知的概率来抽取样本单位。（本书研究的内容）非概率抽样：研究人员有意识第选取样本单位，样本单位的抽取不是随机的。第61页，共91页，2023年，2月20日，星期三简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率第62页，共91页，2023年，2月20日，星期三抽样框是指可以选择作为样本的总体单位列出名册或排序编号，以确定总体的抽样范围和结构。例如，要从10000名职工中抽出200名组成一个样本，则10000名职工的名册，就是抽样框。第63页，共91页，2023年，2月20日，星期三重复抽样：有放回P.97不重复抽样：无放回P.97第64页，共91页，2023年，2月20日，星期三分层抽样

(stratifiedsampling)将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计第65页，共91页，2023年，2月20日，星期三系统抽样

(systematicsampling)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度第66页，共91页，2023年，2月20日，星期三

整群抽样

(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对抽中的各个群中的所有个体单位全部实施调查。特点抽样时只需群的名单就可以抽样，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差第67页，共91页，2023年，2月20日，星期三3.4抽样分布3.4.1抽样分布的概念3.4.2样本均值抽样分布的形式3.4.3样本均值抽样分布的特征3.4.4中心极限定理第68页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本统计量1.样本统计量:

称样本X1，…，Xn的函数g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量,如果g(X1，…，Xn)不含未知参数2.样本统计量是随机变量样本均值,样本比例，样本方差等第69页，共91页，2023年，2月20日，星期三抽样分布

(samplingdistribution)样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布

结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据第70页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)，即总体单位数N=4。4个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差第71页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）第72页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5第73页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值2.样本均值的方差等于总体方差的1/n第74页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布重要结论当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)=50

=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16第75页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布中心极限定理设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时(通常n≥30)，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布一个任意分布的总体X第76页，共91页，2023年，2月20日，星期三抽样分布与总体分布的关系总体分布(N)正态分布非正态分布大样本（n)小样本(n)正态分布正态分布非正态分布第77页，共91页，2023年，2月20日，星期三第78页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)第79页，共91页，2023年，2月20日，星期三样本比率的抽样分布第80页，共91页，2023年，2月20日，星期三总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别