新疆哈密市十五中2022-2023学年高二数学第二学期期末检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数过原点的切线的斜率为（）A． B．1 C． D．2．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形3．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．4．已知复数(为虚数单位)，则（）A． B． C． D．5．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是（）．A．为真命题 B．为真命题C．为真命题 D．为真命题6．已知为坐标原点，，是双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线上一点满足，且，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．7．展开式中不含项的系数的和为A． B． C． D．28．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是()A． B． C． D．9．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为()A．2 B．4 C．6 D．810．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A． B．C． D．11．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-312．已知函数g（x）=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12 C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的平方根是______．14．已知等比数列中，，则公比______；______．15．已知球的体积为，则该球大圆的面积等于______.16．某产品发传单的费用x与销售额y的统计数据如表所示：发传单的费用x万元1245销售额y万元10263549根据表可得回归方程，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）正项数列的前项和满足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.18．（12分）在极坐标系中，圆的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）.（1）求圆的标准方程和直线的普通方程；（2）若直线与圆交于两点，且，求实数的取值范围.19．（12分）己知直线的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为，直线与曲线C交于A、B两点，点．（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．20．（12分）十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当X∈[310，350)时，经济损失为60万元．为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施．试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．21．（12分）已知非零向量，且，求证：．22．（10分）已知点P(3，1)在矩阵变换下得到点P′(5，－1)．试求矩阵A和它的逆矩阵．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】分析：设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．详解：设切点坐标为（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切线的斜率是，切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切线的斜率是=故选：A．点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．2、B【解析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选B．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．3、C【解析】

构造函数，判断函数的单调性和奇偶性，脱离即可求得相关解集.【详解】根据题意，可设，则为奇函数，又当时，所以在R上为增函数，且，转化为,当时，则，当，则，则，故解集是，故选C.【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力，难度中等.4、D【解析】分析：化简复，利用复数模的公式求解即可.详解：因为，所以=，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5、A【解析】

由已知，先表示出命题“两次射击至少有一次没有击中目标”，在选择使该命题成立的一个充分条件.【详解】命题是“第一次射击击中目标”，

命题是“第二次射击击中目标”，

∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”,“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件:为真.故选：A．【点睛】本题考查的知识点是事件的表示，本题考查复合命题的真假的判断，考查充分条件的选择,属于基础题.6、D【解析】设P为双曲线右支上一点,=m,=n,|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得m−n=2a，点P满足,可得m2+n2=4c2，即有(m−n)2+2mn=4c2，又mn=2a2，可得4a2+4a2=4c2，即有c=a，则离心率e=故选：D.7、B【解析】试题分析：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0，故选B.考点：二项展开式各项系数和；二项展开式的通项8、D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.9、A【解析】

先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果.【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1．故选A【点睛】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.10、B【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.11、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．12、B【解析】

由对数函数的性质得到点M（4，2）在幂函数f（x）=xα的图象上，由此先求出幂函数f（x），从而能求出α的值．【详解】∵y=loga（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12故选B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、幂函数的性质的合理运用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设的平方根为，由列方程组，解方程组求得.【详解】设的平方根为（为实数），故，所以，解得，或，故.故答案为：.【点睛】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.14、24【解析】

根据等比数列通项公式构造方程求解即可.【详解】本题正确结果：；【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.15、【解析】

由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.【详解】因为球的体积为，设球的半径为，则，解得：，因为球的大圆即是过球心的截面圆，因此大圆的面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.16、1．【解析】

计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到，进而构造不等式，可得答案．【详解】由已知可得：，，代入，得，令解得：，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的,线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想证明见解析【解析】分析：（1）直接给n取值求出，，.(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.详解：（Ⅰ）令，则，又，解得；令，则，解得；令，则，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用数学归纳法证明.由（Ⅰ）可知当时，成立；假设当时，，则.那么当时，，由，所以，又，所以，所以当时，.综上，.点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2)数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。②证明假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，命题也成立.由①②得原命题成立.18、（1）详见解析；（2）。【解析】试题分析：（1）由得，根据极坐标与直角坐标互化公式，，所以圆C的标准方程为，直线的参数方程为，由得，代入得：，整理得：；（2）直线与圆C相交于A,B两点，圆心到直线：距离，根据直线与圆相交所得的弦长公式，所以，由题意，所以得，即，整理得：，即，解得：。试题解析：（1）的直角坐标方程为，在直线的参数方程中消得：；（2）要满足弦及圆的半径为可知只需圆心到直线的距离即可。由点到直线的距离公式有：,整理得：即解得：，故实数的取值范围为：考点：1.极坐标；2.参数方程。19、（1），；（2）.【解析】

（1）直线的参数方程消去t可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式，求得曲线C普通方程．（2）直线的参数方程改写为（t为参数），由t的几何意义求值．【详解】直线l的参数方程为为参数，消去参数，可得直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为，直线的参数方程改写为（t为参数），代入，，，，．【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．20、(1).(2)采取方案二最好，理由见解析.【解析】

（1）设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，由题意可知，据此计算可得满足题意的概率值为.（2）由题意结合各个方案的数学期望，比较计算可得三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【详解】（1）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（2）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列的计算与应用，数学期望的理解与应用，意在考查学生的转化能力和计算求