福建省三明市2019届高三上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)

三明市2018-2019学年第一学期一般高中期末质量检测高三理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.已知会合，，则会合A.B.C.D.【答案】A【剖析】【剖析】化简会合A，B，尔后求交集即可.【详解】会合，所以会合应选：A【点睛】此题察看会合的运算，主假如交集的求法，同时察看二次不等式的解法，以及运算能力，属于基础题．2.若复数知足，其中为虚数单位，则A.B.C.D.5【答案】B【剖析】【剖析】利用复数的除法法例化简可得进而获得尔后求模即可.【详解】解：复数z知足，故，∴|z|．应选：B．【点睛】此题察看复数的模的求法，复数的运算法例的应用，察看计算能力．3.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.4【答案】C【剖析】【剖析】由双曲线的一条渐近线与直线垂直可得，进而获得双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为：又双曲线

的一条渐近线与直线

垂直，即直线

与直线

垂直，∴

，即

2a，∴e应选：C【点睛】此题察看了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中依照条件转变为圆锥曲线的离心率的方程，获得

a,c的关系式是解得的重点，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常有有两种方法：①求出a,c，代入公式②只要要依照一个条件获得对于a,b,c的齐次式，转变为a,c的齐次式，尔后转变为对于e的方程(不等式)，解方程

；(不等式)，即可得

e(e的取值范围

)．4.若实数

，知足拘束条件

则

的最大值为A.B.

4C.

7D.

9【答案】

D【剖析】【剖析】作出不等式组对应的平面地区，依照直线平移即可求出目标函数的最大值．【详解】作出不等式组对应的平面地区如图由z＝4x﹣y得y＝4x﹣z，平移直线y＝4x﹣z，由图象知，当直线y＝4x﹣z经过B时，直线的截距最小，此时z最大，由，解得x，y，z＝4x﹣y的最大值是4应选：D．【点睛】此题主要察看线性规划的应用，利用数形联合求出目标函数的最优解，利用数形联合是解决此题的重点．5.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，以以下图的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为，则A.2B.C.D.【答案】D【剖析】【剖析】设BC＝x，AC＝y，由题意列对于x，y的方程组，求解获得x，y的值，进一步获得tanθ，张开两角差的正切得答案．【详解】解：如图，设BC＝x，AC＝y，则，解得．tanθ．∴．应选：．【点睛】此题察看三角恒等变换及化简求值，察看两角差的正切，察看平面几何知识，是基础题．6.已知命题，；命题，.则以下是真命题的为A.B.C.D.【答案】B【剖析】【剖析】分别判断出p，q的真假，进而判断出复合命题的真假即可．【详解】判断命题p的正误：，显然是假命题；判断命题q的正误：即，显然是真命题；∴是真命题应选：B【点睛】此题察看了复合命题的判断，察看对数的运算性质、二次函数的性质，是一道基础题．7.已知是实数，则函数的图象不可以能是（）【答案】D【剖析】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：T=2π/|a|，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，知足函数与图象的对应关系，应选D．8.棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后获得一个几何体，其三视图以以下图，则该几何体的体积为A.6B.5C.4D.3【答案】C【剖析】【剖析】由已知中的三视图可得该几何体，其体积显然是正方体体积的一半.【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是多面体ABCDEFG,其体积显然是正方体体积的一半，∴该几何体的体积为应选：C【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思虑方法：1、第一看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、察看正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再依照三视图进行调整.9.的张开式中的系数是A.-5B.10C.-15D.25【答案】A【剖析】【剖析】，分两类状况利用通项公式计算即可.【详解】，的通项公式为，其中r=0,1,2,3的通项公式为，其中r=0,1,2,3,4,5∴张开式中的系数是,应选：A【点睛】求二项张开式有关问题的常有种类及解题策略(1)求张开式中的特定项.可依照条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知张开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10.已知等边三角形的边长为3，若上一点知足，则当取最小值时，A.B.C.D.7【答案】B【剖析】【剖析】由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+2y＝1，利用均值不等式可知y＝x=时有最小值，联合即可获得结果.【详解】解：由题意可知，x＞0，y＞0；∵M，A，B三点共线，且；∴x+＝1；∴≥5+2=9，当，即y＝x=时取“＝”，即取最小值；，即应选：B．【点睛】此题察看向量加法的平行四边形法例，三点A，B，C共线的充要条件：，且x+y＝1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号建立的条件，向量数量积的运算及计算公式．11.直角坐标平面内的点既在以，，为极点的三角形的边上，又在曲线上，则知足条件的点的个数为A.3B.4C.5D.6【答案】D【剖析】【剖析】由可得或，作出直线系与三角形各边的交点个数即可.【详解】由可得或即，∴点在直线系上，又在三角形的边上，以以下图：对直线系来说，当k=0时，与三角形的边有两个交点，当k=1时，与三角形的边有两个交点，对直线系来说，当k=0时，与三角形的边有一个交点B，当k=1时，与三角形的边有一个交点A，综上，知足条件的点的个数为6，应选：D【点睛】此题察看直线方程的应用，察看三角函数的等价转变，察看数形联合思想，属于中档题.12.若不等式对随意恒建立，则实数的值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【剖析】【剖析】记，，当时，，可猜得是图像在P点处的公切线.【详解】记，当时，故P是图像的公共点，可猜想是图像在P点处的公切线，由可得,∴在P点处的公切线为：，即，同理可得在P点处的公切线为下面证明：结构，,可知：在上单一递减，在上单一递加，∴，即对随意恒建立，同理可证：对随意恒建立∴即∴应选：C【点睛】此题察看不等式恒建立问题，察看函数的切线问题，察看结构函数，察看函数的单一性，极值与最值，综合性较强.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知

是各项均为正数的等比数列，若

，则

等于__________．【答案】【剖析】【剖析】依照

列方程解出公比

q，代入式子化简计算即可．【详解】解：设

{an}的公比为

q，∵

，∴

q2＝

q，即

q2﹣q﹣2＝0，解得

q＝2或q＝

．∴

．故答案为：．【点睛】此题察看了等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．14.将一个等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，获得体积为

的几何体，则该几何体外接球的表面积为__________．【答案】【剖析】【剖析】将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，易知圆锥底面半径即为外接球的半径，进而获得结果.【详解】设等要直角三角形的直角边长为a，将等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，则，可得，该几何体外接球的半径R=a=2∴该几何体外接球的表面积为故答案为：【点睛】此题察看圆锥的形成过程，体积的计算，以及其与外接球的关系，察看空间想象能力与计算能力，属于中档题.15.若为奇函数，则实数__________．【答案】【剖析】【剖析】利用奇偶性定义即可获得a的值.【详解】,由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数，∴g（﹣x）＝g（x），即g（﹣x）﹣g（x）＝0，则﹣＝0，﹣＝2ax，即﹣x＝2ax则（2a+1）x＝0，即2a+1＝0，解得a．故答案为：【点睛】此题察看奇偶性的定义与性质，察看推理能力与计算能力，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，点，动点知足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．【答案】【剖析】【剖析】由抛物线定义可知M的轨迹方程，直线过定点，联合圆的性质，可知B点的轨迹为圆，再联合抛物线与圆的性质即可获得最小值.【详解】由动点知足以为直径的圆与轴相切可知：动点M到定点A的距离等于动点M到直线的距离，故动点M的轨迹为，由可得，解得D，即直线过定点D，又过作直线的垂线，垂足为，所以点在以AD为直径的圆上，直径式方程为，化为标准方程为：，圆心E,半径r=过M做M垂直准线，垂足为则故答案为：【点睛】此题察看抛物线与圆的几何性质，波及抛物线的轨迹，圆的轨迹，直线过定点，线段和的最值，察看数形联合的思想，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必定作答.第22、23题为选考题，考生依照要求作答.17.已知为数列的前项和，且，.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.【答案】（1）；（2）【剖析】【剖析】(1)利用，两式作差化简可得数列是公差为1的等差数列，进而可得的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减法即可求出的前项和.【详解】（1）由于，所以当时，，则.即，所以.由于，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列.由得，由于，解得.所以.（2）由（1）知，所以，①②③-④得，，，∴.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于鉴别题目种类，特别是等比数列公比为负数的状况；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步正确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种状况求解.18.在中，内角，，所对的边分别为，，，知足.（1）求证：；（2）若的面积为，求角的大小.【答案】（1）见剖析；（2）或【剖析】【剖析】（1）依照余弦定理，与可得，再利用正弦定理可得联合内角和定理与两角和与差正弦公式可得结果；（2）利用面积公式有，可得，又进而有，进而可得结果.【详解】（1）在中，依照余弦定理，，又由于，所以，又由于，所以，依照正弦定理，.由于，即，则，所以，即.由于，，则，所以，或（应舍去）.所以.（2）由于的面积为，所以，由于，，所以，则，由于，所以，所以.由于，所以，即，所以或.当，即时，；当时，由，解得，则.综上，或.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依照正、余弦定理联合已知条件灵便转变边和角之间的关系，进而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，尔后确定转变的方向.第二步：定工具，即依照条件和所求合理选择转变的工具，推行边角之间的互化.第三步：求结果.19.如图，在三棱锥中，平面平面，为棱上的一点，且，为棱的中点，为棱上的一点，若平面，是边长为4的正三角形，，.（1）求证：平面

平面

；（2）求直线与平面所成角的正弦值

.【答案】（1）见剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)要证平面平面转证平面，联合条件面面垂直可证；(2)先证明平面以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连接，由于，所以，由于平面，平面，平面平面，所以，又由于，所以，所以为的中点，又由于为的中点，所以，所以，由于平面平面，平面平面，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，由于平面平面，平面平面，所以平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，由得，取，则，，所以.又，，，设直线平面所成角为.则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的重点在于“四破”：第一，破“建系关”，建立适合的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，正确求解有关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知椭圆在左、右焦点分别为，，动点在椭圆上，的周长为6，且面积的最大值为.（1）求的方程；（2）设直线

与的另一个交点为

，过，分别作直线

的垂线，垂足为

，，与轴的交点为

.

若

，，

的面积成等差数列，求直线

斜率的取值范围

.【答案】（1）【剖析】【剖析】

；（2）由题意列对于a，b的方程组，即可获得的方程；(2)设直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理表示条件，以，进而获得直线斜率的取值范围.【详解】（1）由于是上的点，且，为的左、右焦点，所以，又由于，的周长为6，所以，当为短轴端点时，的面积最大，所以，又由于，解得，，，所以的方程为.（2）依题意，直线与轴不重合，故可设直线的方程为，由消去得：，设设由于

，，，，

，则有且，的面积分别为成等差数列，所以

，，，，，即

.，则，即，得，又，，于是，所以，由得，解得，设直线的斜率为，则，所以，解得或，所以直线斜率的取值范围是.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常有求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能显然表现几何特点和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能表现一种明确的函数关系，则可第一建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题经常从以下几个方面考虑：①利用鉴别式来结构不等关系，进而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，进而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.已知函数.（1）求证：；（2）若对于的不等式恒建立，求实数的取值范围.【答案】（1）见剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)令，求出函数的最大值即可；(2)不等式恒建立，即恒建立，令，研究函数的单一性与极值即可.【详解】（1）令，即，所以，令，得，当时，；当时，，所以在上单一递加，在上单一递减，所以，所以.（2）由于不等式恒建立，即恒建立，令，则，令，则.则在上单一递减，在上单一递加，故只要，即，令，单一性与（1）中一致，即在上单一递加，在上单一递减，又，所以，即.【点睛】利用导数证明不等式常有种类及解题策略(1)结构差函数.依照差函数导函数符号，确定差函数单一性，利用单一性得不等量关系，进而证明不等式.（2）依照条件，搜寻目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转变为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转变为一元函数.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）试判断点可否在直线上，并说明原因；（2）设直线与曲线交于点，，求的值.【答案】（1）见剖析；（2）【剖析】【剖析】(1)把直线