吉林省通化市梅河口市重点中学2023届高三第五次模拟考试数学试题及参考答案

梅河口市重点中学2023届高三第五次模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（）A．0 B．i C． D．3．在中，，且，则的面积是（）A． B． C． D．4．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测．下表是对A，B两家企业10天内已处理的废水的某项指标值的检测结果．下列说法正确的是（）A43727398638665758178B82687137616558687794A．A企业该指标值的极差较大 B．A企业该指标值的中位数较小C．B企业该指标值的平均数较大 D．B企业该指标值的众数与中位数相等5．核酸检测是新型冠状病毒感染疫情防控的一项重要举措．某社区每周六组织A，B，C三个小区的居民进行核酸检测．现有甲、乙、丙、丁、戊5名大学生报名参加这三个小区的志愿者服务工作，要求每个小区至少分配1人，且甲和乙必须分配在同一个小区，则不同的分配方案共有（）A．72种 B．36种 C．18种 D．6种6．已知，则（）A． B．C． D．7．已知是椭圆的左焦点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，若线段MN的长等于椭圆短轴长的，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆雉形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A．圆锥的母线长为9 B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为 D．圆锥的体积为10．某人参加国际互联网大会，可从互联网与云计算、互联网与信息服务、互联网与金融服务、互联网与竞技体育四个分会中随机选择分会参加．已知该参会者参加互联网与云计算分会的概率为，参加另外三个分会的概率都是，参加每个分会相互独立，用随机变量X表示该参会者参加分会的个数，则下列说法中正确的是（）A．参会者至多参加一个分会的概率为 B．C． D．11．已知函数满足，对于，，，则下列结论中正确的有（）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．不等式的解集为D．将函数的图像保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后将其向左平移个单位长度，得到函数的图像12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，且，，则（）A．双曲线的离心率为2B．过点作双曲线其中一条渐近线的垂线，垂足为，则C．若为AB的中点，则直线OQ（其中O为坐标原点）和直线AB的斜率之积为3D．的内切圆半径和的内切圆半径之比为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某函数满足以下三个条件：①是偶函数；②；③的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数的解析式______．14．设为等比数列的前项和．已知，，则______．15．已知直线与圆相交于A，B两点，其中点，若，且圆与轴相切，则圆的方程为______．16．在三棱雉中，，．若三棱雉的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．（1）求；（2）求的面积的最大值．18．（12分）已知数列中，，为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，为数列的前项和，求证：．19．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面平面ABCD，，．（1）若点是棱AP上一点，且平面PCD，求；（2）若，，平面PCD与平面PAB交于直线，求直线与平面PAD所成角的正弦值．20．（12分）某精密检测仪器厂锐意改革，实施科学化、精细化管理，产量大幅提高．产品制成后先去掉残次品，然后随机按每箱20件装箱．现从中随机抽取4箱，测得其内径（单位：cm），将结果分成4组：，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图．（1）估计这批产品每件内径的平均值（残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）；（2）若这批产品每件内径服从正态分布，其中的近似值为产品每件内径的平均值，请估计1500箱产品中内径位于（1.1452，1.1752）内产品的件数；（3）规定这批产品中内径位于内的产品为优质品，视频率为概率，随机打开一箱，记优质品的件数为，求的数学期望．附：若随机变量，则，21．（12分）已知抛物线的焦点为F，，点是在第一象限内上的一个动点，当DP与轴垂直时，，过点作与相切的直线交轴于点，过点作直线的垂线交抛物线于A，B两点．（1）求C的方程；（2）如图，连接PD并延长，交抛物线C于点Q．①设直线AB，OQ（其中O为坐标原点）的斜率分别为，，证明：为定值；②求的最小值．22．（12分）已知函数．（1）若曲线在点处的切线过原点，求的值；（2）若在的切线中，存在着过原点的切线，求的取值范围．参考答案一、选择题1-5：CDADB 6-8：CAB二、多选题9．AB 10．AC 11．BCD 12．ACD三、填空题13．（答案不唯一） 14．215．或 16．四、简答题17．解：（1）∵，∴由正弦定理，得，即，由余弦定理，得．又，∴．（2）由（1）知，．由余弦定理，得，∴，∴．当且仅当，即为等边三角形时，等号成立，∴的面积的最大值为．18．（1）解：由题意得，所以，所以，所以，①因此．②由②-①，得，即，因此或．因为，所以，所以，所以数列的奇偶项分别成等差数列，且公差为2．又因为，得，所以，．所以．（2）证明：由（1）知，可得，两式相减，得，即．又，所以．又，所以，所以．19．解：（1）因为，，所以，所以，，且，所以是等边三角形．如图，取AD的中点N，连接BN，MN，所以．又，则．又因为平面，平面PCD，所以平面PCD．又因为平面PCD，，所以平面平面PCD．因为平面平面，平面平面，所以，所以是棱AP的中点，即．（2）如图，延长DC，AB交于点，连接PE，则直线PE为直线，过点作，交AC于点，连接OB，OD．因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC，所以平面ABCD．又，，，所以是直角三角形，且，所以，，．又，所以，且．以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，，，．设平面PAD的一个法向量为，则令，得，所以．设直线PE与平面PAD所成的角为，则，即直线与平面PAD所成的角的正弦值为．20．解：（1）由频率分布直方图可知，，解得，估计这批产品每件内径的平均值为．（2）由题意可知，，所以，，所以，所以1500箱产品中内径位于（1.1452，1.1752）内产品的件数的估计值为（3）在这批产品中随机抽取一件，内径位于的频率为，因此随机打开一箱，再从中随机抽取一件，这件产品为优质品的概率为．依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，…，20，且，所以的数学期望为．21．（1）解：因为当DO与轴垂直时，，所以，解得，所以．（2）①证明：设，则，由，得当时，，所以直线PM的斜率为，所以直线，即，所以．又因为，，所以．将直线PD的方程与联立并化简，得，设，则，所以．把点的坐标代入，得，所以．所以，为定值．（2）解：由①得，直线．将与联立并化简，得，则，，所以．在直线AB的方程中，令，得，设直线AB与轴的交点为，则的坐标．因为，所以，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小