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文档简介
2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.“”是“函数为奇函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数的极小值点是()A.1 B.(1,﹣) C. D.(﹣3,8)3.设命题甲:关于的不等式对一切恒成立,命题乙:对数函数在上递减,那么甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知A2,3,B4,-3且APA.6,9 B.(3,0) C.6,-9 D.2,35.已知的三边满足条件,则()A. B. C. D.6.《九章算术》中有这样一个问题:今有竹九节,欲均减容之(其意为:使容量均匀递减),上三节容四升,下三节容二升,中三节容几何?()A.二升 B.三升 C.四升 D.五升7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是0.6,乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利?()A.5局3胜制 B.7局4胜制 C.都一样 D.说不清楚8.条件,条件,若是的必要不充分条件,则的取值范围是()A. B. C. D.9.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育,得到表:参照附表,得到的正确结论是附:由公式算得:附表:0.250.150.100.050.0250.0100.0051.3232.7022.7063.8415.0246.6357.879A.有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B.有以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好体育运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好体育运动与性别无关”10.曲线在点处的切线与直线垂直,则点的坐标为()A. B.或 C. D.或11.下列函数为奇函数的是()A. B. C. D.12.在极坐标系中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,则圆的极坐标方程为A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角、、满足不等式;在四边形中,内角、、、满足不等式;在五边形中,内角、、、、满足不等式.猜想,在边形中,内角满足不等式__________.14.已知点M抛物线上的一点,F为抛物线的焦点,点A在圆上,则的最小值________.15.在正四面体O-ABC中,,D为BC的中点,E为AD的中点,则=______________(用表示).16.设向量a,b,c满足,,,若,则的值是________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知正实数列a1,a2,…满足对于每个正整数k,均有,证明:(Ⅰ)a1+a2≥2;(Ⅱ)对于每个正整数n≥2,均有a1+a2+…+an≥n.18.(12分)选修4-5:不等式选讲.(1)当时,求函数的最大值;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知椭圆:经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于,两点,为椭圆的左焦点,若,求直线的方程.20.(12分)已知函数,其中(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若在上存在,使得成立,求的取值范围.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求的最小值;(2)当时,若存在,使得对任意的恒成立,求的取值范围.22.(10分)已知.(1)讨论的单调性;(2)若存在及唯一正整数,使得,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】时,,当时,,函数为奇函数;当时,,函数不是奇函数时,不一定奇函数,当是奇函数时,由可得,所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件,故选B.2、A【解析】
求得原函数的导数,令导数等于零,解出的值,并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值,并求得极值,由此得出正确选项.【详解】,由得函数在上为增函数,上为减函数,上为增函数,故在处有极小值,极小值点为1.选A【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值点,属于基础题.3、A【解析】
试题分析:若的不等式对一切恒成立,则,解得;在上递减,则,解得,易知甲是乙的必要不充分条件,故选B.考点:1.充分条件与充要条件;2.二次函数与对数函数的性质.4、C【解析】
设P点的坐标为x,y,根据题意得到AP与PB的坐标,由AP=-2【详解】设P点的坐标为x,y,因为A2,3所以AP=(x-2,y-3),BP因为AP=-2PB,所以因此x-2=2(x-4)y-3=2(y+3),解得x=6y=-9,即故选C【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.5、D【解析】
由题意首先求得的值,然后确定的大小即可.【详解】由可得:,则,据此可得.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、B【解析】
由题意可得,上、中、下三节的容量成等差数列.再利用等差数列的性质,求出中三节容量,即可得到答案.【详解】由题意,上、中、下三节的容量成等差数列,上三节容四升,下三节容二升,则中三节容量为,故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用,其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7、A【解析】
分别计算出乙在5局3胜制和7局4胜制情形下对应的概率,然后进行比较即可得出答案.【详解】当采用5局3胜制时,乙可以3:0,3:1,3:2战胜甲,故乙获胜的概率为:;当采用7局4胜制时,乙可以4:0,4:1,4:2,4:3战胜甲,故乙获胜的概率为:,显然采用5局3胜制对乙更有利,故选A.【点睛】本题主要考查相互独立事件同时发生的概率,意在考查学生的计算能力和分析能力,难度中等.8、B【解析】因为是的必要不充分条件,所以是的必要不充分条件,可以推导出,但是不能推导出,若,则等价于无法推导出;若,则等价于满足条件的为空集,无法推导出;若,则等价于,由题意可知,,,,的取值范围是,故选B.9、A【解析】
根据参照表和卡方数值判定,6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”.【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”,故选A.【点睛】本题主要考查独立性检验,根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键.10、B【解析】试题分析:设,或,点的坐标为或考点:导数的几何意义11、A【解析】试题分析:由题意得,令,则,所以函数为奇函数,故选A.考点:函数奇偶性的判定.12、A【解析】
求出圆C的圆心坐标为(2,0),由圆C经过点得到圆C过极点,由此能求出圆C的极坐标方程.【详解】在中,令,得,所以圆的圆心坐标为(2,0).因为圆经过点,所以圆的半径,于是圆过极点,所以圆的极坐标方程为.故选A【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法,考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
观察分子与多边形边的关系及分母中的系数与多边形边的关系,即可得到答案。【详解】在中不等式成立,在四边形中不等式成立,在五边形中不等式成立,所以在边形中不等式成立【点睛】本题考查归纳推理,属于简单题。14、3【解析】
由题得抛物线的准线方程为,过点作于,根据抛物线的定义将问题转化为的最小值,根据点在圆上,判断出当三点共线时,有最小值,进而求得答案.【详解】由题得抛物线的准线方程为,过点作于,又,所以,因为点在圆上,且,半径为,故当三点共线时,,所以的最小值为3.故答案为:3【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义,与圆有关的最值问题,考查了学生的转化与化归的思想.15、【解析】因为在四面体中,为的中点,为的中点,,故答案为.16、4【解析】∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·[-(a+b)]=0.即|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|=1,∵a⊥b,∴a·b=0,∴|c|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+b2=1+0+1=2.∴|a|2+|b|2+|c|2=4.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析【解析】
(Ⅰ)利用已知条件可得,然后结合基本不等式可证;(Ⅱ)利用数学归纳法进行证明.【详解】证明:(Ⅰ)当k=2时,有,即,,∵,数列为正实数列,由基本不等式2,∴,∴a2+a2≥2.(Ⅱ)用数学归纳法:由(Ⅰ)得n=2时,a2+a2≥2,不等式成立;假设当n=k(k≥2)时,a2+a2+…+ak≥k成立;则当n=k+2时,a2+a2+…+ak+ak+2≥k,要证kk+2,即证2,即为kak≥ak2+k﹣2,即为(ak﹣2)(k﹣2)≥0,∵k≥2,∴k﹣2≥2,当ak﹣2≥0时,a2+a2+…+ak+ak+2≥k+2,∴对于每个正整数n≥2,均有a2+a2+…+an≥n.当0<ak<2时,∵对于每个正整数k,均有,∴,则,a2+a2+…+an+an+2an+2n﹣2+2=n+2.综上,对于每个正整数n≥2,均有a2+a2+…+an≥n.【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列问题中的应用,明确数学归纳法的使用步骤是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.18、(1)4(2)【解析】分析:(1)利用绝对值三角不等式求函数的最大值.(2)先求,再解不等式即得实数的取值范围.详解:(1)当时,,由,故,所以,当时,取得最大值,且为.(2)对任意恒成立,即为,即即有,即为或,所以的取值范围是.点睛:(1)本题主要考查绝对值三角不等式和不等式的恒成立,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)重要绝对值不等式:,使用这个不等式可以求绝对值函数的最值,先要确定是使用左边还是右边,如果两个绝对值中间是“-”号,就用左边,如果两个绝对值中间是“+”号,就使用右边.再确定中间的“±”号,不管是“+”还是“-”,总之要使中间是常数.19、(1);(2)或【解析】
(1)由椭圆的离心率可得,,从而使椭圆方程只含一个未知数,把点的坐标代入方程后,求得,进而得到椭圆的方程为;(2)因为直线过定点,所以只要求出直线的斜率即可,此时需对直线的斜率分等于0和不等于0两种情况进行讨论,当斜率不为0时,设直线的方程为,点、,利用得到关于的方程,并求得.【详解】(1)设椭圆的焦距为,则,∴,,所以,椭圆的方程为,将点的坐标代入椭圆的方程得,解得,则,,因此,椭圆的方程为.(2)①当直线斜率为0时,与椭圆交于,,而.此时,故不符合题意.②当直线斜率不为0时,设直线的方程为,设点、,将直线的方程代入椭圆的方程,并化简得,,解得或,由韦达定理可得,,,同理可得,所以,即解得:,符合题意因此,直线的方程为或.【点睛】本题考查椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系并与向量进行交会,求解过程中要始终领会设而不求的思想,即利用坐标运算解决几何问题,考查运算求解能力.20、(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)函数的单调区间与导数的符号相关,而函数的导数为,故可以根据的符号讨论导数的符号,从而得到函数的单调区间.(2)若不等式在上有解,那么在上,.但在上的单调性不确定,故需分三种情况讨论.解析:(1),①当时,在上,在上单调递增;②当时,在上;在上;所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当时,的单调递增区间为,当时,的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)若在上存在,使得成立,则在上的最小值小于.①当,即时,由(1)可知在上单调递增,在上的最小值为,由,可得,②当,即时,由(1)可知在上单调递减,在上的最小值为,由,可得;③当,即时,由(1)可知在上单调递减,在上单调递增,在上的最小值为,因为,所以,即,即,不满足题意,舍去.综上所述,实数的取值范围为.点睛:函数的单调性往往需要考虑导数的符号,通常情况下,我们需要把导函数变形,找出能决定导数正负的核心代数式,然后就参数的取值范围分类讨论.又不等式的恒成立问题和有解问题也常常转化为函数的最值讨论,比如:“在上有解”可以转化为“在上,有”,而“在恒成立”可以转化为“在上,有”.21、(1)见解析;(2)【解析】
(1)求出f(x)的定义域,求导数f′(x),得其极值点,按照极值点a在[1,e2]的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论,可得其最小值;(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即f(x)min<g(x)min,由(1)知f(x)在[e,e2]上递增,可得f(x)min,利用导数可判断g(x)在[﹣2,0]上的单调性,可得g(x)min,由f(x)min<g(x)min,可求得a的范围;【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)(a∈R),当a≤1时,x∈[1,e2],f′(x)≥0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(1)=1﹣a;当1<a<e2时,x∈[1,a],f′(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e2],f′(x)≥0,f(x)为增函数,所以f(x)min=f(a)=a﹣(a+1)lna﹣1;当a≥e2时,x∈[1,e2],f′(x)≤0,f(x)为减函数,所以f(x)min=f(e2)=e2﹣2(a+1);综上,当a≤1时,f(x)min=1﹣a;当1<a<e2时,f(x)min=a﹣(a+1)lna﹣1;当a≥e2时,f(x)min=e2﹣2(a+1);(2)存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[﹣2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即f(x)min<g(x)min,当a<1时,
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