孝感市重点中学2023年高二数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．02．随机变量服从正态分布，且.已知，则函数图象不经过第二象限的概率为()A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20003．参数方程（为参数）对应的普通方程为（）A． B．C． D．4．函数在处的切线方程是()A． B． C． D．5．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A．34种 B．35种 C．120种 D．140种6．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150 B．200 C．300 D．4007．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．928．复数在复平面上对应的点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．函数f（x）＝（x2﹣2x）ex的图象可能是（）A． B．C． D．10．已知复数在复平面内的对应点关于实轴对称，（为虚数单位），则（）A． B． C． D．11．已知集合,则中所含元素的个数为（）A． B． C． D．12．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．14．若曲线在点处的切线斜率为1，则该切线方程为__________．15．已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则p（X>4）=16．已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．18．（12分）已知函数的定义域为；（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数，，满足，求的最小值.19．（12分）设数列的前n项和为已知直角坐标平面上的点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式；（2）若已知点，，为直角坐标平面上的点，且有，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若使对于任意恒成立，求实数t的取值范围.20．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.21．（12分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益（单位：万元）绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.广告投入/万元12345销售收益/万元23257（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到上表：表中的数据显示与之间存在线性相关关系，求关于的回归方程；（Ⅲ）若广告投入万元时，实际销售收益为万元，求残差.附：，22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.2、C【解析】图象不经过第二象限，，随机变量服从正态分布，且，函数图象不经过第二象限的概率为，故选C.3、C【解析】

将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域.【详解】参数方程（为参数），消参后可得，因为所以即故选：C.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题.4、A【解析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．5、A【解析】分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．详解：分3步来计算，

①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；

②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；

故选A．点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．6、C【解析】

求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选C．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．7、D【解析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．8、C【解析】

把复数化为形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】，时，，对应点在第二象限；时，，对应点在第四象限；时，，对应点在第一象限．或时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为形式，就可以确定其对应点的坐标．9、B【解析】

根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证.【详解】，当或时，，当时，，选项不正确，，令，当或，当，的递增区间是，，递减区间是，所以选项不正确，选项正确.故选:B.【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.10、A【解析】

由题意，求得，则，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数在复平面内的对应点关于实轴对称，，则，则根据复数的运算，得.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11、D【解析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选12、C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14、【解析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程．【详解】的导数为，在点处的切线斜率为1，可得，所以，切点纵坐标为：，可得切点为，即有切线的方程为，即为．故答案为．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．15、0.1587【解析】

P(3≤X≤4)=12P(2≤X≤4)=0.3413,

观察如图可得,

∴P(X>4)=0.5-P(3≤X≤4)=0.5-0.3413

=0.1587考点：正态分布点评：随机变量～N(μ,δ2)中，16、9【解析】

令，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断在区间上零点的个数。【详解】由于定义在上的函数满足，函数为奇函数，则在上必有，当，由得，即，可得：，故，，函数为周期为3的奇函数，，此时有3个零点，又,，，此时有1，2，4，5四个零点；当，故，即，此时有两个零点综上所述：函数在区间上的零点个数是9.【点睛】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点的个数，做到不重不漏，综合性较强，属于中档题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析.（2）.【解析】分析：（1）推导出是的斜边上的中线，从而是的中点，由此能证明平面；（2）三棱锥的体积为，由此能求出结果．详解：（1）因为，所以，又，，所以，又因为，所以是的斜边上的中线，所以是的中点，又因为是的中点．所以是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）据题设分析知，，，两两互相垂直，以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且，分别是，的中点，所以，，所以，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，即，所以，令，则，设直线与平面所成角的大小为，则．故直线与平面所成角的正切值为．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（1）；（2）【解析】

（1）由定义域为R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得实数m的取值范围（2）根据（1）实数t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【详解】(1)函数的定义域为R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0对任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根据绝对值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故实数m的取值范围（﹣∞，3]；（2）由（1）可知m的最大值为3，即t＝3，那么a2+b2+c2＝t2＝9，则a2+1+b2+1+c2+1＝12，由柯西不等式可得（）（a2+1+b2+1+c2+1）≥（1+1+1）2＝9，∴（），当a＝b＝c时取等号，故得的最小值为．【点睛】本题主要考查函数最值的求解，转化思想和柯西不等式的应用．属于中档题19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）先根据点在直线上得和项关系式，再根据和项与通项关系求通项；（2）根据向量平行坐标表示得关系式，代入（1）结论得结果；（3）分奇偶分类讨论，再根据参变分离转化为求对应函数最值，最后根据函数最值得结果.【详解】（1）因为点在函数，所以当时，；当时，；（2）（3）为偶数时，，为奇数时，，因此【点睛】本题考查由和项求通项、向量平行坐标表示以及不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.20、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值.【详解】（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，解得.又，且当时等号成立，所以长度的最小值为【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.21、(1).(2).(3).【解析】分析：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面积总和为，可得，从而可得结果；（Ⅱ）利用平均数公式求出平均数、利用样本中心的性质结合公司可求得回归系数，从而可写出线性回归方程；（Ⅲ）计算当时，销售收益预测值，再求残差值.详解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率直方图各小长方形的面