信号与系统2009年9月1第一章

例1：简单的力学系统如图所示，在光滑平面上，质量为m的钢性球体在外力f(t)的作用下产生运动。设球体与平面的摩擦力及空气阻力忽略不计。将外力f(t)看作是系统的激励，球体运动速度v(t)看作是系统的响应。f(t)v(t)§1-5系统的描述和分类

一、系统描述系统描述分为:内部描述和外部描述

把建立系统输入输出关系的系统模型称为输入输出模型（描述），相应的方程称为输入输出方程。把着眼于建立系统输入、输出与内部状态变量关系的系统模型称为状态空间模型（描述），相应的方程称为状态空间方程。1、线性性质：包括齐次性和迭加性齐次性：如果f(t)系统y(t)

则:kf(t)系统ky(t)叠加性：如果f1(t)系统y1(t)f2(t)系统y2(t)

则：f1(t)+f2(t)系统y1(t)+y2(t)线性：如果f1(t)系统y1(t)f2(t)系统y2(t)

则：k1f1(t)+k2f2(t)系统k1y1(t)+k2y2(t)二、系统的特性及分类用线性特性定义线性系统问题：若y(t)=a(t)f(t)，y(t)与f(t)是否满足线性？设y1(t)=a(t)f1(t)y2(t)=a(t)f2(t)以k1f1(t)+k2f2(t)为输入输出为a(t)[k1f1(t)+k2f2(t)]=k1y1(t)+k2y2(t)所以y(t)与f(t)满足线性线性系统：凡能满足线性特性的系统。非线性系统：

不能满足线性特性的系统。对线性系统，全响应=零输入响应＋零状态响应

分解特性线性系统满足零输入线性零状态线性分解特性一个线性系统要求在所有可能的输入条件下都必须呈线性。当输入为零时，对不同的初始状态，零输入响应必须呈线性。（零输入线性）当初始状态为零时，对不同的输入，零状态响应必须呈线性。

（零状态线性）线性系统线性系统不满足分解特性例1-7系统的输入f(t)和响应y(t)的关系如下(初始条件为x(t0))，试说明系统是否为线性系统，不是的说明原因。(1)y(t)=ax(t0)+bf(t)(a、b为常系数)(2)y(t)=x(t0)sin5t+tf(t)(3)y(t)=x(t0)sint+x(t0)f(t)(4)y(t)=3x(t0)+f2(t)解：（4）判断零状态响应是否线性此时yf(t)=f2(t)

设yf1(t)=f12(t)

yf2(t)=f22(t)以k1f1(t)+k2f2(t)为输入，输出为:[k1f1(t)+k2f2(t)]2

k1f12(t)+k2f22(t)=k1yf1(t)+k2yf2(t)所以零状态响应非线性。如果一个系统的输入f(t)与输出y(t)的关系，可用下面的方程描述上式中系数ai和bj可以是常数也可以是时间函数(但不是y或f的函数)，则这个系统为线性系统。例1-8判断以下系统是否为线性系统，不是的说明原因。是是时变系统

—系统参数随时间变化的系统，用变参数方程描述。非时变系统

—系统参数不随时间变化的系统，用常参数方程

。2、时不变性：ETtx(t)系统Ety(t)ET+t0tx(t-t0)t0系统Ety(t-t0)t0时不变特性：只要初始状态不变，则系统的输出响应形状不随输入施加的时间不同而改变。则：若：例1-9试判断以下系统是否为时不变系统(LTI)(1)yf(t)=2cos[f(t)](2)yf(t)=e-tf(t)解：(1)f(t)系统yf(t)=2cos[f(t)]f1(t)=f(t-td)系统2cos[f1(t)]=2cos[f(t-td)]=yf(t-td)

所以该系统为时不变系统。

(2)f(t)系统yf(t)=e-tf(t)f1(t)=f(t-td)系统e-tf(t-td)yf(t-td)=

e-(t-td)f(t-td)所以该系统为时变系统3、因果性：

因果性：激励是响应产生的原因，响应是激励产生的结果。当t>0时作用于系统的激励，在t<0时不会在系统产生响应。因果系统(可实现系统)：响应不出现于激励之前的系统。例如：yf(t)=2f(t)+4f(t-1)yf(t)=f(t+1)

yf(t)=f(2t)因果系统非因果系统非因果系统4、稳定性

一个系统，如果它对任何有界的输入所产生的输出亦为有界就称该系统为有界输入/有界输出稳定，简称BIBO稳定。例如：yf(t)=2f(t)yf(t)=tf(t+1)

yf(t)=f(2t)BIBO稳定系统BIBO不稳定系统BIBO稳定系统

本书着重讨论线性、时不变、因果、确定性的连续和离散系统。§1-6线性时不变系统性质及分析线性：如果f1(t)系统y1(t)f2(t)系统y2(t)

则：k1f1(t)+k2f2(t)系统k1y1(t)+k2y2(t)时不变特性：如果f(t)系统y(t)则:f(t-td)系统y(t-td)微分性：如果f(t)系统y(t)则:系统

积分性：如果f(t)系统y(t)则:系统例1.6-1:一线性非时变系统，在零状态条件下激励f1(t)与响应y1(t)的波形如图所示。试求激励波形为f2(t)时响应y2(t)的波形。02t2f1(t)0123t4y1(t)-402t4f2(t)0123t4y2(t)例1-6.2:一线性时不变系统，在相同的初始条件下，若当激励为f(t)时，其全响应为y1(t)=2e-3t+sin2tt>0；若当激励为2f(t)时，其全响应为y2(t)=e-3t+2sin2tt>0求:(1)初始条件不变，当激励为f(t-t0)时的全响应y3(t)(t0>0)(2)初始条件增大1倍，当激励为0.5f(t)时的全响应y4(t)解:设零输入响应为yx(t)，零状态响应为yf(t)，则有

yx(t)+yf(t)=y1(t)=2e-3t+sin2tyx(t)+2yf(t)=y2(t)=e-3t+2sin2t

解得：yx(t)=3e-3t

yf(t)=-e-3t+sin2t(1)y3(t)=yx(t)+yf(t-t0)=3e-3t+[-e-3(t-t0)+sin2(t-t0)]t>t0(2)y4(t)=2yx(t)+0.5yf(t)=23e-3t+0.5[-e-3t+sin2t]