巧用同构四两拨千斤 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文巧用同构，四两拨千斤——浅谈同构法在导数中的应用摘要：导数中不等式的证明和求参数范围的题型，最常见的的形式是xe和lnx与其他代数式的结合。对于这种形式的问题，学生们常会用隐零点代换、适当的放缩变换等方法来解决，但这都避免不了复杂的运算。如果学生们能够熟练掌握同构法，通过构造函数，则会极大的简化计算，并提升解题正确率。同构，就是把等式或不等式两边变形为形式上一致的函数，再利用函数的单调性转化为比较大小和恒成立等问题。学生们在处理这类题目时，既要有同构的意识，又要会同构的方法，同时还要具备一定的观察、变形以及计算能力。近年来，同构法的应用也屡屡出现在高考试题中，这是高考的热点。关键词：同构；导数；函数模型；不等式；恒成立一、同构式的基本原理 同构式，顾名思义，是指等式或不等式两边，除了变量不同之外，其余地方均相同的表达式。（一）变形原理1.当a>0且a¹1，x>0时，有alogax=x2.当a>0且a¹1时，有logaax=x．因此对形如xex这样的式子进行变形时，可结合指数运算和对数运算的法则，得到下述结论可将其变形成xex=elnxex=elnxx，也可变形成xex=exlnex。（二）在导数中的应用情境12022年安徽省中小学教育教学论文①在方程中的应用：如果方程fa=() 0和fb=() 0呈现同构特征，则,ab可视为方程fx=() 0的两个根。②在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，变形为fgx[()]>fhx[()]的结构，fx()为外层函数，进而利用函数的单调性找到联系，可比较大小或解不等式。二、常见同构方法（一）同左同右取对数1.乘积型，如不等式aea<blnb有以下三种同构方式：①同左构造：可以同构成aea<(ln)belnb，进而构造函数f(x)＝xex；②同右构造：可以同构成ealnea<blnb，进而构造函数fx()=xlnx；③两边取对数：可得不等式变形为a+lna<lnb+ln(ln)，进而构造函数fx()=+lnx。ea b2.比商型，如不等式< 有以下三种同构方式：①同左构造：可以同构成a lnbea<elnb，进而构造函数fx()=xeea b；②同右构造：可以同构成 < ，进而构lnea lnbalnbx造函数f(x)＝x

；③两边取对数：可得不等式变形为lnxa-lna<lnb-ln(ln)，进而构造函数fx()=-lnx。3.和差型，如不等式ea±a>b±lnb，同左或同右同构后可以构造函数f(x)＝ex±x或f(x)＝x±lnx.（其中x>0）常用的同构母函数：（1）y=ex±xy=lnx±x；22022年安徽省中小学教育教学论文（2）fx() xe=,fx()=xx；xln（3）fx()=xex,fx()=xllnx；（4）=xfx()=lnxfx(),exx（二）切线放缩齐上阵结合常用的切线不等式1-1£lnx£x-1（x=1时取等号），lnx£x（x=exe时取等号），xe³x+1（x=0时取等号），xe³ex（x=1时取等号）等（可自行证明），可以得到更多的结论，这里以xex和x+lnx为例，可得到如下结论：xex=ex+lnx³x+lnx+1；x+lnx=ln(xex)£xex-1xex=ex+lnx³e(x+ln)；x+lnx=ln(xex)£xex=xex-1e结合式子特征，在小题求最值或取值范围时，同构函数和放缩公式齐上阵，可极大简化计算量，但用此法时需注意等号是否能够取到。注：大题使用时，所有公式需先证后用，否则扣分。三、典例分析abcÎæ1,+¥öln5=-5lnaln3=-3lnbln2=-2lnc例1已知çèe÷，且øa，b，c，则（）A．b<<aB．c<<a32022年安徽省中小学教育教学论文C．a<<bD．a<<c分析这是一道实数比较大小的题目，通过将式子整理为1ln5=alna，观察5等式两边式子的结构特征，会发现可通过构造函数fx()=xlnx，根据单调性即可确定abc的大小。解析设函数fx()=xlnx，f¢()=+lnx，当xÎæçè1,e+¥ö÷,

øf¢()>0，此时fx()单调递增，当xÎæç0,è1ö÷,

øf¢()<0，此时fx()单调递减，由题ln5

a=-5lna，ln3

b=-3lnb，eln2=-2lnc，得alna 1=5ln1,lnb 1=3ln1,lnc 1=2ln1 1=4ln1，因为1<11 1<<3 e，所c532454以1ln1 1>4ln1 1>3ln1，则alna>clnc>blnb，且abcÎæ1çèe,+¥ö

÷，所以øa>>b.5543故选：A评析本题构造函数并非难点，但在求导判断完函数单调性之后，会得到fa()=f1

()5，fb()=f1

()3，fc()=f1

()2，分别在不同的单调区间，这时进行1ln1=1ln1的转换就尤为重要了，这也是这题的难点和精华所在。2244例2若存在x，y∈(0，＋∞)使得xln(2ax)＋y＝xlny，则实数a的最大值为()1

A.e 1

B.

2e 1

C.

3e 2

D.

e分析分离参数之后，进行同构（换元）处理，通过研究新函数的图像从而得到ln(2)的范围，进而得到a的最大值。解析由xln(2ax)＋y＝xlny，42022年安徽省中小学教育教学论文得[ln(2)+ln]=xlny-yÞxln(2)=x(lny-ln)-yy y y 1 1－t所以ln(2a)＝ln－，令t＝>0，g(t)＝lnt－t，则g′(t)＝－1＝ ，x x x t t当0<t<1时，g′(t)>0，当t>1时，g′(t)<0，所以g(t)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t＝1时，g(t)取得极大值即最大值g(1)＝－1，因为当t→0时，g(t)→－∞，所以g(t)∈(－∞，－1]，1 1所以ln2a≤－1，所以0<a≤ ，所以实数a的最大值为 ．2e 2e故选B评析本题考察的是方程有解问题，对于此类问题，通常采用参数分离和画函数图象数形结合的方法。通过分离参数后对等式右端整理后构造gt()=lnt-t，从而a的范围由此函数所确定。例3若对任意的xÎ(0,+¥)，不等式ex-1³lnx+2a恒成立，则实数a取x值范围为________．将分析不等式恒成立问题可分离参数后求函数gx()=ex×-x-lnx的最小值，xex转化为elnxx+，令t=+lnx换元后可根据单调性求最值。解析ex-1³lnx+2a可化为2a£x×-x-lnx.xe令gx()=ex×-x-lnx=ex×lnx-x-lnx=ex+lnx-(x+ln)，设t=+lnx，则ht()=et-t，f¢()=ex-1,令f¢()>0,52022年安徽省中小学教育教学论文可得fx()的单调递增区间(0,+¥)(或[0+¥)亦可);=e0-0=1，由fx()=ex-x在[0+¥)上单调递增可知，ht()³h(0)则2a£1，故解得a£1．2故答案为：(-¥1

,]2思考这道题不用同构法可以做么？当然。令gx()=xex-x-lnx，（x>0)则gx()=(x+1)ex-1-1=(xex-1)(x+1)xx令j()=xex-1，j¢()=(x+1)ex>0，故j()在(0,+¥)上单调递增，j1

()2=e-1<0,(1)=-1>0,2故$x0Î1

(,1)2，使得j()=0，即xe0x0-1=0，可得x0+lnx0=0且xÎ(0,x0),()<0;xÎ(x0,+¥),()>0,又Qx+>0x，\gx()在(0,x0)单调递减，在(x+¥0)单调递增，gx()min=gx0)=xe0x0-x0-lnx0=-1(x0+lnx0)=-10=1，故2a£1,解得a£1．2评析本题中第二种方法直接对分离变量之后的函数进行研究，就变成了隐零点问题，显然计算量变大不少。而运用同构法虽有一定的技巧性，但构造之后的函数简单清晰，有效的降低了难度，极大的简化了运算量。通过以上三道题，我们对同构法的应用类型有了一定的了解，因此在解题过 62022年安徽省中小学教育教学论文程中，我们要多观察，多思考，敢于尝试，大胆变形，找到更好更适合的方案。下面我们将同构法和放缩结合在一起，再来看看两法结合的魔力。例4若关于的不等式ax-ex<a(lnx+-)ex在(1,+¥)上恒成立，则实数的a取值范围为（）A．æç-¥è1,eù

úûB．(-¥,3]C．(-¥,2]D．(-¥,e]分析先根据题目不等式构造fx()=ax-ex，得到fx()<f(lnx+1)，构造gx()=-lnx-1，x>1，由切线不等式可知x>lnx+1在(1,+¥)上恒成立，得到fx()=ax-ex在(1,+¥)上单调递减，转化为a£ex在(1,+¥)上恒成立，求出实数的a取值范围。解析依题意，ax-ex<a(lnx+-)elnx+1．在(1,+¥)上恒成立，令fx()=ax-ex，则fx()<f(lnx+1)．令gx()=-lnx-1，x>1，由切线不等式可知x>lnx+1在(1,+¥)上恒成立故fx()=ax-ex在(1,+¥)上单调递减，所以f¢()=-ex£0在(1,+¥)上恒成立，故a£ex其中y=ex在(1,+¥)单调递增，故y=ex>e．所以a£e，实数的取值范围是a(-¥,e].72022年安徽省中小学教育教学论文故选D例5已知fx()=xex-ax2,()=lnx+-x2+-e，当a>0时，若ahx()=fx()-agx()³0恒成立，则实数a的取值范围为.分析先根据题目不等式两边同构，并分离变量由切线不等式可知xe³ex在(0,+¥)上恒成立，得到函数的最小值，求出实数的取值范围。a解析fx()-agx()³0Ûxex+³a(lnx++Ûex+lnx+³a(lnx++1)当lnx++£0，不等式恒成立；当lnx++>0时，a£ex+lnx+e，x+lnx+1由于ex+lnx+e³ex+ln)+e=e，（此处利用切线不等式xe³ex）x+lnx+1x+lnx+1当且仅当x+lnx=1等号成立，所以a£e，故0<£e.例6已知函数fx()=×-2+1，gx() ln=xx+2.x（1）求函数gx()的极值；（2）当x>0时，证明：fx()³gx().分析（1）首先确定gx()定义域为(0,+¥),求导可得g¢() 1lnx=x2，根据导数的应用，分xÎ(0,e)和xÎ(e,+¥)时，两种情况讨即可得解；（2）要证fx()³gx()即证xex+-lnx-x-2³0，82022年安徽省中小学教育教学论文同构变形后会发现elnxx++³lnx++2，利用切线不等式xe³x+1可快速得到结果，当然在大题证明时切线不等式放缩这种二级结论需要证明。解析（1）gx()=lnx+2定义域为(0,+¥),g¢() 1=-lnx，xx2则xÎ(0,e)时，g¢() 1=-lnx>0，gx()在(0,e)单调递增，x2xÎ(e,+¥)时，g¢() 1=-lnx<0，gx()在(e,+¥)单调递减，ex2故函数gx()的极大值为g() 1

=+2e，无极小值。（2）证明fx()³gx()等价证明xex+-2³lnx+x（x>0），等价lnxx++³lnx++2，构造函数hx()=ex-x-1，则hx()=ex-1令hx()>0，可得x>0，令hx()<0，可得x<0，故hx()在(-¥,0)上单调递减，在(0,+¥)上单调递增，hx()³h(0)=0，即xe³x+1elnxx++³lnx+++11，即elnxx++³lnx++2，故命题得证.这道题如果不用切线不等式放缩会如何呢？我们来看一看。不等式等价于xex+-lnx-x-2³0.1+x=(x+1)æex+1-1ö令hx()=xex+1-lnx-x-2(x>0),则hx()(x+1)ex+1-xç

èx÷，ø令j()=ex+1-1，则j()在(0,+¥)上单调递增，x92022年安徽省中小学教育教学论文而jæö=çè10÷ ø e11-10<e2-10<0,j()=e-1>0，10故j()在(0,¥)上存在唯一零点0x，且x0Îç

æè10

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