第一节定积分概念

第一节定积分概念第1页，共29页，2023年，2月20日，星期三第一节定积分概念

为了解决具有可加性的连续分布的非均匀量的求和问题，人们从大量实际问题的研究中抽象出来的具有重大理论意义的定积分概念———计算一个取和式的极限。第2页，共29页，2023年，2月20日，星期三一、定积分概念的引入1.曲边梯形的面积

闭曲线围成图形的面积，通常可以化为两个（或多个）曲边梯形面积的代数和。所以求任意闭曲线围成图形面积的过程可以统一，归结到求曲边梯形的面积上来。第3页，共29页，2023年，2月20日，星期三

曲边梯形是由三条直边和一条曲线边围成的“梯形”(见右图）。曲线由定义在区间上的连续函数给出，三条直边分别是：第4页，共29页，2023年，2月20日，星期三实例一：计算曲边梯形面积的方法

首先将曲边梯形划分成若干窄曲边梯形，再用矩形面积近似替代窄曲边梯形面积，然后通过求和逼近的途径解决。第5页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑴分割：将总量划分为若干部分量在区间上，任意插入个分点：各区间长度为：第6页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑵近似：用局部线性化的方法求部分量的近似值。在子区间上任取一点以为底

为高的窄矩形面积为第7页，共29页，2023年，2月20日，星期三作为第个窄曲边梯形面积的近似值。第8页，共29页，2023年，2月20日，星期三第9页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑶求和：以部分量近似值之和作为总量的近似值。

将得到的个窄曲边梯形面积近似值的和作为曲边梯形面积 的近似值第10页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑷逼近：无限细分，求和式极限，由近似值过渡到精确值。

设最大子区间长度为，即令，所有的子区间长度都将趋于零，此时，和式面积曲边梯形面积第11页，共29页，2023年，2月20日，星期三

定义:

时和式的极限为曲边梯形的面积，即第12页，共29页，2023年，2月20日，星期三实例二：计算直线运动中变力做功的方法

设质点沿轴做直线运动，与运动方向平行的力作用于质点，力的大小是变化的，可以表示为质点坐标的函数，即按物理学概念，恒力的功定义为：第13页，共29页，2023年，2月20日，星期三

如何在恒力做功定义的基础上，确定变力在质点由移动到全过程中所做的功呢？问题：第14页，共29页，2023年，2月20日，星期三

我们可以类似于曲边梯形面积的计算，将整个过程分为很多子过程，变力在全过程中所做的功等于它在所有子过程中做功的代数和。

即在足够短的子过程中近似认为力为恒力，从而利用恒力做功的定义求解总功。第15页，共29页，2023年，2月20日，星期三

故在质点运动区间上，任意插入 个分点：将区间划分为个子区间：各子区间长度分别为：第16页，共29页，2023年，2月20日，星期三在子区间上任取一点

按恒力做功的定义，用质点在该点所受的力与这个子区间的长度的乘积近似表示变力在这个子过程中所做的功.

因此，变力在全过程中所做功的近似值为第17页，共29页，2023年，2月20日，星期三

设，定义变力在全过程中对质点所做的功为

上述两个问题分属几何学和力学，没有直接联系，但是分析方法相同，若抽去问题的具体内容，抓住变量在区间上积累的共同本质，就可以概括出定积分的概念：第18页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑴函数在区间上的定积分，是函数在区间上的积累，或者说是这个变化过程在区间产生的总效果。⑵解决定积分的基本方法是局部线性化方法和极限方法的结合。定积分概念包含以下两方面内容：第19页，共29页，2023年，2月20日，星期三二、定积分定义

设函数,在区间上,任意插入个分点：把分成个子区间区间长度分别为第20页，共29页，2023年，2月20日，星期三

在区间上任取一点,将函数值与子区间长度的乘积 取和有——称为Riemann和记第21页，共29页，2023年，2月20日，星期三

如果不论分点对区间如何分割，也不论在子区间上如何选取点，只要 时，Riemann和趋于确定的常数，则称此极限值为函数在该区间上的定积分，记为——称为Riemann和的极限第22页，共29页，2023年，2月20日，星期三——称为Riemann和的极限式中，称为积分变量，称为被积函数， 称为被积表达式；称为积分区间， 分别称为积分下限和上限。第23页，共29页，2023年，2月20日，星期三但是，如果Riemann和的极限存在就不再与分割方式和选法有关了。

应该指出，的极限过程必然是，而不一定有。注意：⑴Riemann和随区间的分割方式，以及在子区间上的选法不同而不同。第24页，共29页，2023年，2月20日，星期三⑵当Riemann和的极限存在时，定积分只与被积函数和积分区间 有关，与积分变量的字母表示无关，即(3)这里需要注意：定积分是个数值。第25页，共29页，2023年，2月20日，星期三三、函数可积的充分条件如果存在，则称函数可积分。

函数在区间上可积的充分条件由下述定理给出：第26页，共29页，2023年，2月20日，星期三定理1

如果函数在区间上连续，则函数在区间上可积。定理2

如果函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则函数在区间 上可积。注：表示在区间上可